Le e,5-8marzo2003
Modelli matemati i per le appli azioni del GPS nel
ampo della limatologia
Fran es o Vespe 1
, GabriellaZammillo 2
1
AgenziaSpazialeItaliana-CentrodiGeodesiaSpaziale\G.Colombo"-Matera
2
DipartimentodiMatemati a\E.DeGiorgi"-UnivesitadiLe e
vespeasi.it,gabriella.zammillounile.it
Sommario
Ilsistema GPS e stato realizzato dal Dipartimento della Difesa
Ameri anoperappli azioni nel ampodella navigazione satellitare.
Tuttavia,inquestiultimianni,gli sviluppite nologi i esoprattutto
la messa a punto di modelli matemati i sempre piu raÆnati han-
nopermessodiestenderel'utilizzo dellate nologiaGPSnelleOsser-
vazioni della Terra. Di parti olare importanza, dal punto di vista
della modellizzazione matemati a,e la sua appli azione nel ampo
della limatologiaemeteorologia. Infattil'usodellate ni adellara-
dioo ultazione,appli atoalsistemaGPS,hafornitounostrumento
aggiuntivodadedi areall'indaginesullevariazioni limati he.Ilpre-
sentelavoro pertanto sara, nella primaparte, dedi atoadillustrare
iprin ipiedimodellimatemati isulqualesifondailsistemaGPS.
Nella se onda parteinve e verranno des ritti i modelli matemati i
heservono perestrarreinformazioniditipo limatologi o onl'uso
dellate ni adiradioo ultazione.
1 Introduzione
IlsistemaGPS(GlobalPositioningSystem),sistemadiposizionamento
globale, onos iutoan he ome NAVSTAR (NavigationSystemwithTime
andRanging) messoapunto dalDipartimento della Difesa degliUSAnel
1973pers opimilitari,maprogettatoinmanieratale hepotesseessereusa-
todai ivilian hese onpre isioneminore,eunsistema satellitarebasato
su una ostellazione di 24 satelliti (21 attivi e 3 di riserva) he orbitano
attornoallaterraadunaquotadi ir a20.200Km, apa edifornire24ore
su24laposizioneplanimetri aedaltimetri adi unqualunque punto della
super ie delpianeta,siaimmobile hemobile.
I 24 satelliti, distribuiti su 6 diversi piani orbitali, sono in linati di 55 0
rispetto all'equatore. I 4 satelliti di ias un gruppo sono posizionati in
manierauniformesulpianoorbitale,mataleposizionevariaase ondadelle
esigenzedel entrodi ontrolloterrestre.
Figura1: Costellazionedi24satelliti.
Ilgrandeinteresses ienti osus itatodalsistemadinavigazionesatel-
litareel'intensosviluppoalgoritmi o onseguente,hannoresopossibiledif-
fondereleappli azioniprati hean henelsettorenonmilitare: dal ontrollo
dellanavigazioneaereaemarittimanelleareetraÆ atealladeterminazione
dellaposizionedimezzinavalieterrestriimpiegatinelle estrazionipetroli-
fere;dall'utilizzonelleautomobili ome indi atore ontinuodellaposizione
su di una mappa rappresentata su un monitor ad utile strumento di po-
sizione,sia stati o hedinami o, nelle misure geodeti he, geo si he adal-
trettanto mezzod'indagine nel ampodella limatologia.
Ilsistemaedivisoin tresegmenti:
1. SegmentoSpaziale: formatodauna ostellazionedi 24satelliti;
2. Segmentodell'Utilizzatore: ostituitodauna seriediri evitori;
3. Segmento di Controllo: ostituito da una rete di monitoraggio e di
mezziperil ontrollodeisatelliti.
Ilsistemadi ontrolloterrestrehalafunzionediseguireilmotoorbitale
deisatellitiedilfunzionamentodeiloroorologiequindidi aggiornare on-
tinuamente i dati onservati nelle memorie di bordo. In se ondo luogo,
ompitodelsistema di ontrolloterrestreequellodiinterveniremodi an-
do la posizione dei satelliti quando si allontanano troppo dalla posizione
assegnataoppuredisattivarliosostituirliin asodi attivofunzionamento.
Tale sistemae ompostodaunaseriedistazionidislo ateinmanierapiuo
Figura2: segmentidi ontrollo
Figura3: Stazioni
Centro operativodelsistema elaMasterStation Control nelColorado
Sprigs. Tuttelealtrestazionisvolgonolafunzione distazionimonitor, ioe
misurano on ontinuitaladistanzadaisatellitiestimanoaltridatiutili a
garantireil orrettofunzionamento degliapparatidi bordo. I datirilevati
sonora oltiedinviatiallaMasterStationControl heprovvedea al olare
idatiorbitalidituttiisatelliti,le orrezionidegliorologi ollo atiabordo
edaltridatidestinatiafarepartedelmessaggio heverrainoltratoaisingoli
satellitidalleStazionidiAggiornamento(MonitorStation).
I dativengono immagazzinatiogniottoore su unafrequenza di servizio e
poi heil orretto utilizzo del sistema ri hiede grande pre isione nella de-
terminazione del tempo, la Master Station Control e dotata di una serie
al qualevengonoriferiti tutti glialtri orologi,sia aterra hea bordo dei
satelliti.
2 Prin ipio di funzionamento
La ostellazione dei 24 satelliti e stata progettata in maniera tale da
onsentirelapresenzadi almeno4diessisopral'orizzontediuna qualsiasi
lo alitaterrestree onunaelevazionesuperiorea5 0
.
Dal punto di vista analiti o il ri evitore ri avadal messaggio di navi-
gazione( odi eD),laposizioneistantaneadeisatellitirispettoadunsistema
di assi artesiani on l'originenel entro della terra, gli assi X eY orien-
tati nelpianoequatoriale(pre isamenteX nelladirezionedel meridianodi
Greenwi h,Y indirezione90 0
est)eZ oin idente onl'assepolare.
Indi ando on X
S ,Y
S ,Z
S
le oordinate del satellite e on X,Y,Z le
oordinategeneri hediunosservatoreO diquotaQsiottiene:
(X X
S )
2
+(Y Y
S )
2
+(Z Z
S )
2
=R 2
V
(1)
he rappresental'equazionedella sferadi posizione, ioedellasfera heha
per entro ilsatellite onsideratodove:
R
V
= R+ e
R
(2)
on
R = distanzamisurata;
= velo itadellalu e;
e = erroresugliorologi.
Larisoluzione del sistema di quattroequazioni onsente di determinare le
oordinateX,Y,Z delri evitoreel'erroredell'orologio.
Notele oordinateX,Y,Z epossibileri avare'e.
3 Misura delle distanze
Per al olareledistanze fra il punto di ui sivuoledeterminare lapo-
sizione ed i satelliti he vengono presi in onsiderazione, il sistema GPS
misurailtempo heleonderadioemesseda ias unsatelliteimpieganoper
raggiungereilpuntoin questione.
Figura4: Misuradelledistanze
Cias unsatellitetrasmette ontinuamente deisegnali odi ati. I ri e-
vitoriterrestri,medianteunproprioorologiointerno,misuranoladi erenza
tral'istantediri ezioneel'istanteditrasmissionedelsegnale;taledi eren-
zamoltipli ataperlavelo itadipropagazionedelleondeelettromagneti he
(300.000Kmal se ondo) onsentedi ri avarela distanzafra ilsatellite ed
ilri evitore. Quindi:
vt=R : (3)
Ovviamentelamisuradell'intervalloditempodeveesserepre isa. Basti
pensare he, se il satellite he viene preso in onsiderazione si trova sulla
verti aledelpunto( ioeallasuaminimadistanzadaesso),ilsegnaleemesso
dalsatelliteimpiegasolo0,06se ondiperraggiungereilri evitore.
4 Il segnale trasmesso
Isatellititrasmettonoisegnalisuduebandedifrequenzadiverse(dette
frequenzeportanti)entrambemultiplediunafrequenzafondamentale(f =
10:23MHz). EssesonodenominateL
1 edL
2 .
L
1
= 10;23154=1575;42MHz (=19 m)
L
2
= 10;23120=1227;60Mhz (=24 m)
dove
= lalunghezzad'onda;
= velo itadellalu e;
f = frequenza.
I segnali he vengonotrasmessi sullafrequenza L
1
sono modulati se ondo
tre odi i:
il odi eC/A( odi edi liberoa esso);
il odi eP( odi eprotetto);
il odi eD(messaggiodinavigazione).
I segnalitrasmessi inve e sullafrequenza L
2
sono modulatisolo sul odi e
PeD.
Tali odi i onsistono in sequenze di ifre binarie (bit 0 e 1) generate
apparentementea aso,in realtalesequenze sono ripetute ad intervalli di
1mse peril odi eC/Aedi 7giorniperil odi eP. Perquesto motivoi
odi iC/AePsonodettiditipoPSEUDORANDOM.
Se ol odi eC/Asi possonoraggiungere pre isioniassolutedi posiziona-
mentodell'ordinedi 15m(100mdegradandoarti ialmenteilsegnaleri or-
rendoalla SELECTIVEAVAILABILITY),il odi eP onsente unapre i-
sioneassolutamoltomaggioredell'ordinedi1mediventaina essibilequan-
dosiri orreall'ANTI-SPOOFING, ioequandolosi ripta introdu endoil
odi eY.
Il odi eC/Ageneratodalsatellitearrivaall'utilizzatore onunritardo
t= R
(4)
doveR eladistanzatrail satelliteeilri evitore.
Ilri evitore,asuavolta,generadi odi eC/Aanalogoaquelloindotazione
deisatelliti.
Entrambii odi idovrebberoesseresin ronizzati onilGPSTime,matale
sin ronismo non risulta perfetto per via degli orologi interni al ri evitore
pertanto aiduesegnali vieneappli atalate ni adell'auto orrelazione.
Ilsegnalerisultantedalla orrelazioneassumevaloremassimoquandoidue
sfasati.
La tensione in us ita dal orrelatore omanda il dispositivo he genera il
ritardostessoin mododa ottenereautomati amenteil valoremassimodel
segnale.
Dopolafasediaggan ioindividuatodalvaloremassimodelsegnale,qualsia-
sivariazionedidistanzaprodottadalmotorelativofrasatelliteeri evitore,
produ eunosfasamentonei odi iiningressoal orrelatore.Inquestomo-
dolamisuradelritardo,equindidelladistanza,e ontinua.
Nelle gureeevidenziatoilritardodipropagazionedelsegnaleelasu es-
sivasin ronizzazione.
Figura5: Ritardo
Figura6: Sin ronizzazione
I ri evitori a standard geodeti o sono in grado di e ettuare an he la
misuradifasedellaportante.
L'equazionedellamisuradi faseedatada:
s
(t
r )=
s
( t
r
)+ (Æt s
Æt
r ) Æ
ion +Æ
trop +Æ
rel
N(t
0 ) (5)
dove
= lalunghezzad'ondaportante;
s
r (t
r
) = ladistanzageometri atrasatelliteeri evitore;;
Æt s
= l'erroredi sin ronismodell'orologiodelsatllite;
Æt
r
= l'erroredi sin ronismodell'orologiodelri evitore;
Æ
ion
= l'erroredovutoallaionosfera;
Æ
trop
= l'erroredovutoallatroposfera;
Æ
rel
= l'erroredovutoaglie ettirelativisti i;
N(t
0
) = l'ambiguitadi faseiniziale.
Suentrambelefrequenzevengonotrasmessimessaggidinavigazione he
ontengonoinformazionisu:
lee emeridi, ioelaposizioneesattaperundatoistanteeiparametri
relativiall'orbitadel satellite;
istanteditrasmissionedel messaggio;
le orrezionidell'orologiodi bordo;
informazionisullostatodelsatellite;
la orrezioneperiritardi ausatidallarifrazione ionosferi aetropo-
sferi a.
Questeinformazionivengonoelaboratedallestazionidi ontrolloetrasmesse
alsatelliteadintervallidi ir a1ora. Iparametri ontenutinellee emeridi
restanovalidiper ir a4ore.
Poi he il segnale proveniente dal satellite per giungere al ri evitore deve
attraversare la ionosfera ( ostituita da parti elle ari he) e la troposfera
( omposta da strati piu o meno densi e ari hi di vapori), la velo ita di
propagazionedei radiosegnalivienealterata.
Glierrori ausatidallatroposferasonosimiliaquelli ausatidallaionosfera
an hesepiudiÆ ilidadeterminareequindida orreggere.
Figura7: Errori
piu s hemati amente:
Figura8: Errori
Altretipologied'erroredanontras urarenellemisureGPSsono:
erroridipendentidaisatelliti(orologioeposizione);
erroridipendentidalri evitoreedalleantenne;
erroriintrodottidalsistemadi ontrolloterrestre;
erroriindottidalle ondizioniambientali(multipath).
Figura9: Multipath
Mentre tutte le altre tipologie di errore possono essere ridotte on le
te ni hedi erenzialidelDGPS(Di erenzialGPS),quellidovutialrumore
prodottodal ri evitoreopermultipath, ( omein gura, ioepersdoppia-
mento del segnalequando questogiunge all'antennanon direttamente dal
satellite, ma ri esso da una o piu super i a terra) non possono essere
eliminati onlastessate ni a.
5 Te ni a del di erenziale
Un ri evitorepostoinunastazionedi riferimentodi uisononotele o-
ordinategeogra heel'altezza, onfrontain ontinuazionelasuaposizione
on quella al olata. Dal onfronto delle due posizioni si possono deter-
minareglierrori hesiritienesiano omuniatuttiiri evitorisituatientro
una determinata area attorno alla stazione. Tali orrezioni vengono poi
trasmesse onmodalitadiversease ondadellastazioneDGPS.Per hepoi
possanoessereutilizzate,unri evitoreGPSdeveesseredotatodiun'oppor-
tuno optionaledi unri evitore supplementarefunzionante nellabanda di
trasmissionedellastazionediriferimento.
In questo modo gli errori dovuti direttamente ai satelliti vengono om-
pletamente annullati, mentre quelli ausati dalla propagazioneionosferi a
e troposferi a si ridu ono all'aumenntare della distanza dalla stazione di
riferimento.
6 Te ni a della Radio O ultazione
LaRadioO ultazione(RO)eunate ni a hepermettedi utilizzarela
ostellazioneGPSpers opibendiversidaquelli per uiilsistema stessoe
nato: ioeil posizionamento aterraelanavigazione. Ilmetodo dellaRO,
planetarie. Le missioni interplanetarie hanno infatti usato in modo mas-
si ioquesta parti olare te ni aper ri avarei pro li verti ali di numerosi
parametriatmosferi i omelatemperatura,lapressioneeglielementi himi-
i. Solo nel 1988 Yun k et al.[10℄ hanno pensato di adoperarela ROper
l'atmosferaterrestre.
IlsegnaleGPSeuna omuneondaelettromagneti aelasuapropagazione
attraverso l'atmosfera terrestre obbedis e alle equazioni di Maxwell. Se-
ondoqueste, ognimezzo dipropagazionee aratterizzatodaunindi e di
rifrazionedispersivo omplesso(i.e. dipendente dallafrequenza) edavente
distribuzionespazialeetemporale.
Nel asodelsegnaleGPSedeglistudidiRO,siesolitiassumere hel'indi e
di rifrazione sia mono romati o ereale (i.e. indipendente dallafrequenza
e on assorbimento nullo). Lalunghezza d'onda dei segnali GPS, inoltre,
epi ola rispetto alledimensionilineari aratteristi hedelproblemaeper
questo,in prima approssimazione,si possono utilizzareperlostudio della
ROimetodidell'otti ageometri a.
La te ni a di RO terrestre e basata sulla geometria di g.10, in ui vi e
unsatellite GPS trasmettitore (T) ed un satelliteri evitore (R) in orbita
ir olarebassa, omunementedettoLEO(LowEarthOrbit),la uialtezza
puovariaretra400kme1500km.
IduesatellitisonopostirispettoallaTerrainmodotale heilsegnaleradio
attraversi sia gli strati dell' atmosfera ionizzata (ionosfera) he gli strati
dell'atmosfera neutra (stratosfera e troposfera). Tale te ni a, indi ata in
letteraturaan he ol nome\Limb Sounding", si de nis e in questo modo
proprioper hetale on gurazionegeometri asirealizza quandoil satellite
GPS,vistodalLEO,staperesseree lissatodaldis oterrestre.
In assenza d'atmosfera, un segnale trasmesso dal punto T e ri evuto nel
puntoRdovrebbepropagarsilungolatraiettoriainlinearetta,indi atain
guradalvettore unitarioe.^
Dato he l'atmosferaeri adi gasneutrieionizzati, l'ondaelettromagne-
ti aein urvatadallarifrattivitadi erenzialedellastessa(rispettoalla di-
stanzadallasuper ieterrestre)etalein urvamentoprodu eunamodi a
infaseedampiezzadelsegnale. A ausadi io,ilsegnaledalGPSalLEOsi
propagheralungouna traiettoriadiversadaquellageometri a, le ui linee
tangentialtrasmettitoreedalri evitorehanno,rispettivamente,ladirezione
deiversori e^
t ede^
r
. Inqueste ondizioni,il segnalesarari evutodalLEO
an hequandoe\o ultato"geometri amentedaldis oTerrestre.
Figura10: Lageometriad'o ultazionedelsegnalenell'atmosfera
La onseguenzadi questo in urvamento dellatraiettorianell'atmosfera
saraunoshiftDoppleraggiuntivo,misuratodalri evitore,rispettoaquello
atteso. Taleshiftaddizionalee hiamato\perturbazioneatmosferi a"della
frequenza (Fjeldboet al.[3℄)evieneespressoin funzionedei pre edentitre
versorie,^ e^
t ede^
r
,dellavelo itadeltrasmettitorev~
t
ediquelladelri evitore
~ v
r
se ondoleequazioni:
f =
f
[(~v
t
e^
t
~ v
r
e^
r ) (~v
t
e^ v~
r
^e)℄; (6)
f =
f
[~v
t
(e^
t
^ e) v~
r
(e^
r
^ e)℄;
Assumendo he l'atmosfera abbia simmetria sferi a, la perturbazione
dellafrequenzafpuoesseremessainrelazione onl'angolod'intersezione
traleduelineetangentiallatraiettoriadelsegnale(TeunissenP.S.G.,Kleus-
bergA.[8℄). Questoangolononealtro helamisuradellade essionetotale
subitadalsegnalea ausadell'attraversamentodell'atmosfera.
Ora tenendo onto della legge di Snell sulla rifrattivita per un mezzo a
simmetriasferi a,risulta:
a=n(r)rsin'( r)=n(r
0 )r
0 sin'(r
0
): (7)
Poi helemutueposizionigeometri hedeltrasmettitoreedelri evitore
ambiano ontinuamente,dis endendoorisalendoall'internodell'atmosfera,
si ottienetutta una serie di misure dell'e esso Doppler, orrispondentiai
diversistratidell'atmosfera.
I prin ipalivantaggidi talimisure, ome giaa ennato, onsistononel
fatto he possonoesseree ettuate in qualsiasi ondizione meteorologi a e
nonhannobisognodi alibrazioneinquantogliorologi vengonoperiodi a-
mentesin ronizzatidallaMSCmentre ilri evitore al olaledi erenzesin-
goletra due epo he permettendo di eliminare, dalle misure di fase, il ter-
minedi ambiguitaed ogni tipo di bias. Il se ondo passaggio onsiste nel
trasformarel'e essoDopplerinde essione geometri adellaradiazione:
8
>
<
>
:
f= f
h
(~v
t
e^
t
~ v
r
e^
r ) (~v
t
^e v~
r
^e) i
R
t
sin( + )=R
t
sin(+Æ)
(8)
dove:
=angolo ompresofraiversorie^
t ede^
=angolo ompresofraiversoriede^
t ed
^
R
t
Æ=angolo ompresofrai versoriede^
r ede^
=angolo ompresofraiversoriede^
r ed
^
R
Leo
on = +Æ herappresentalade essione .
Ilterzoequellodiesprimerelade essioneinfunzionedellarifrattivita:
(a)=2a Z
1
p
n 2
r 2
a 2
dln (n)
dr
dr (9)
Ilpassosu essivoeinve equellodioperareunainversioneditipointegrale
appli andouna trasformatadi Abelperisolarenellarelazione(9)il valore
dellarifrattivitain funzionedi\a 00
:
ln(n(a))= 1
Z
(x)
x 2
a 2
dx (10)
Questopassaggioe ru ialepoi hesiefattal'ipotesi he larifrattivitasia
solofunzionedelladistanzaradialedallaterraedellasimmetriasferi adel-
Queste ondizionisonopiu heragionevolinellastratosferaenell'altaeme-
diatroposfera;ris hianodiessereperopo opre iseperlabassatroposfera.
Perquestomotivosista er andodifarel'assimilazioneneimodellimeteo-
rologi ie limatologi idell'atmosferadirettamentedegliangolidirifrazione
senzaattraversarele\for he audine"dellatrasformazionedi Abel.
Su essivopasso equello di trasformareil pro lodi rifrattivitatrovato in
quello di temperatura e pressione. A questo punto sono ne essarie due
equazioni:
N =a
1 P
T +a
2 P
w
T 2
(11)
dP
dh
= gm
d
a
1 R
N+ a
2 gm
d
a
1 R
P
w
T 2
+ g(m
d m
w )
R P
w
T
(12)
Nella (11)eespressa la nota equazione di Smith eWeintraub he lega la
rifrattivita alla temperatura, pressione totale e pressione dovuta al on-
tenuto di vapor d'a qua presente nell'atmosfera. Nella (12) inve e ab-
biamol'equazionedell'equilibrioidrostati oespressosempreinfunzionedei
3parametri. Abenvederesonoin ballodueequazioniin trein ognite,ma
per la stratosfera e l'alta troposfera possiamo onsiderareil ontenuto di
vapord'a qua,edi onseguenza,larelativapressionePwtras urabile.
Inquestomodopossiamoestrarreipro li ditemperatura.
Perquanto riguardainve ei pro lidellabassa troposferailproblemaeri-
solvibile se prendiamo, dai modelli atmosferi i ECMWF o NCEP i valori
di pressioneetemperatura he ipermettono osdi hiudereil sistema di
equazioni.
Alternativamentepossiamoinserire ometerzaequazionequelladelritardo
troposferi ozenitalestimatodalGPSdi terra:
ZTD=10 6
Z
1
ground GPS
a
1 P(h)
T(h) +a
2 P
w (h)
T(h) 2
dh (13)
Ultimamente, in un lavoro di Vespe et al. [9℄ e stato proposto un nuovo
metodo hepermettedideterminarean heilpro lodivapord'a quasenza
lane essitadiinseriredatiesterniallaRO.
Ilmetodo onsistenel\ ttare"idatidirifrattivitastimatiperlapartesupe-
rioredell'atmosfera( onT <250K) onunmodellodiariase a(Hop eld)
e ri avare il ontributo dellarifrattivitadellaparte umida neglistrati piu
interniperdi erenza,fralarifrattivitaosservataequellaestrapolata onil
modellodovutaallasola omponentese a.
Perestrarreipro li, ipassaggisono omplessiedarti olati.
Nella gura11siillustrauntipi opro loditemperaturaestratto onla
te ni adellaradioo ultazione,in gura12inve e,sipresentaun onfronto
dei pro li di pressione di vapord'a qua ri avati on metodi e te ni he di
Finoadoraabbiamosolodes rittoiprin ipisuiqualisibasalaROela
atenaalgoritmi a heportaallastimadeipro liditemperaturaepressione.
Tuttaviala osaepiu omplessadiquantoappaiapoi henellaequazione(6)
sonoimpli ite al une ompli azioni herendonoparti olarmentedeli atoil
trattamentodiquestotipodidati.
Laprima ompli azione onsistenelfatto helamisuradifasedellaportante
e aitta drammati amente dagli errori degli orologi: in parti olar modo
quellodelri evitore.
Inse ondoluogo,la orrettamisuradell'e essodopplerdipendedallabonta
di omeedeterminata la posizione siadei satelliti GPS, siadel ri evitore
omeindi ato daiversorinellaformula(6). Perovviare aquestediÆ olta
o orre poggiarsi su di una rete di stazioni globali (20 possonoessere piu
hesuÆ ienti) dausare ome spondaperabbattere gli errorisulle misure
dellafaseesulladeterminazionedell'orbita.
Figura11: Pro loestratto onlaradioo ultazione(missioneGps-Metdel
1995)
Figura 12: Pro li di pressione di vapor d'a qua ottenuti on la RO, at-
traversolamissioneCHAMP(lineaverdeesimboloGFZ,daipallonisonda
(linearossaesimboloRAOB),quelliestrattidaimodelli(lineabluesimbolo
ECMWF)edil metodopropostodaVespeetal.. (lineaMagenta, simbolo
BPV.
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