Progetto delle reti correttrici

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Progetto delle reti correttrici

• Si consideri il seguente sistema retroazionato:

- - R(s) ^- G(s) ^-

6

r e m y

• Le specifiche su cui si basa il progetto del regolatore R(s) riguardano:

– la precisione: gli errori a regime in risposta ai segnali tipici e il comportamento a regime in presenza di disturbi e di variazioni parametriche;

– la stabilit`a (“comportamento dinamico soddisfacente”): massima sovraelongazione nella risposta al gradino, il picco di risonanza, i margini di ampiezza e di fase e il coefficiente di smorzamento dei poli dominanti;

– velocit`a di risposta: il tempo di ritardo, il tempo di salita, il tempo di assestamento, la banda passante.

• Il primo parametro che si determina in fase di progetto, `e il numero h di integratori da inserire nel regolatore R(s):

R(s) = 1 s^h

E necessario introdurre uno o pi´u poli nell’origine quando si vuole avere´ errori a regime nulli per ingressi a gradino, a rampa o a parabola. Il valore di h dipende anche dal numero di poli nell’orignine presenti all’interno della funzione G(s).

Un altro caso in cui é opportuno inserire un polo nell’origine nel regolatore R(s) é quando il sistema G(s) é di tipo zero ed é dominato da un ampio ritardo finito.

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• Il secondo parametro di progetto che si determina all’interno del regolatore R(s) ´e la costante di guadagno K:

R(s) = K s^h

Il valore di K viene scelto sufficientemente elevato da garantire errori a regime sufficientemente piccoli, oppure per rendere il sistema retroazionato pi´u robusto alle variazioni parametriche e ai disturbi esterni agenti sul sistema. Con una opportuna scelta dei parametri h e K si riesce tipicamente a soddisfare tutte le specifiche di precisione.

• Nel caso in cui le specifiche di precisione siano soddisfatte dalla scelta del parametro h, il guadagno K pu´o essere scelto a piacere. In questo caso, tipicamente si utilizza il luogo delle radici applicato alla funzione

G(s)

s^h per fare una scelta ottimale del parametro K in modo da garantire la stabilit´a del sistema retroazionato ed eventualmente il minimo tempo di assestamento alla risposta al gradino.

• Dopo aver soddisfatto le specifiche di precisione utilizzando i parametri h e K, accadde spesso che il sistema retroazionato sia instabile, oppure sia stabile ma con bassi margini di stabilit´a e quindi transitori iniziali insoddi- sfacenti. In questo caso all’interno del regolare R(s) si inserisce una rete correttrice C(s):

R(s) = KC(s) s^h

e si utilizzano i gradi di libertá in essa presenti per soddisfare le specifiche di stabilitá ed, eventualmente, di velocitá di risposta.

• La rete correttrice C(s) ha tipicamente una struttura dinamica del primo o del secondo ordine:

C(s) = 1 + τ₁s

1 + τ₂s, C(s) = (1 + τ₁s) (1 + τ₂s) 1 + ^τ_α² s

1 + α τ₁s

Si utilizzano tipicamente reti correttrici C(s) con guadagno statico unita- rio, C(0) = 1, per non influire sulle specifiche di precisione precedente- mente soddisfatte dalla scelta del parametro K.

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Rete ritardatrice

La funzione di trasferimento di una rete ritardatrice `e:

G(s) = 1 + α τ s

1 + τ s ⇒ G(s) = 1 + τ₁s

1 + τ₂s dove α < 1 oppure ατ = τ₁ < τ₂ = τ . Diagrammi di Bode e Nyquist:

La rete attenua il modulo e ritarda la fase per tutte le pulsazioni finite. Il massimo ritardo di fase ϕm si ottiene in corrispondenza della pulsazione ω_m, media geometrica delle pulsazioni 1/τ e 1/(α τ ):

ϕ_m = −arcsen 1 − α

1 + α, ω_m = 1

τ √ α

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Rete anticipatrice

La funzione di trasferimento di una rete anticipatrice `e:

G(s) = α¯ 1 + τ s

1 + α τ s ⇒ G(s) = 1 + τ₁s

1 + τ2s dove α < 1 e τ = τ₁ > τ₂ = ατ . Diagrammi di Bode e Nyquist:

Nichols

1 1 α

(log)ω

1 1

α

Dopo aver compensato con un guadagno aggiuntivo 1/α l’attenuazione α a basse frequenze, si ottiene una rete che amplifica il modulo e anticipa la fase per tutte le pulsazioni finite. Il massimo anticipo di fase ϕ_m si ottiene in corrispondenza della pulsazione ωm:

ϕ_m = arcsen 1 − α

1 + α, ω_m = 1

τ √ α

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Rete a ritardo e anticipo

La funzione di trasferimento di una rete a ritardo e anticipo `e:

G(s) = (1 + τ1s) (1 + τ2s) 1 + ^τ_α² s

1 + α τ₁s

dove α < 1 e τ₁ < τ₂. Diagrammi frequenziali di Bode e Nyquist:

Nyquist

Questa rete attenua all’interno della banda frequenziale _τ^α

2 < ω < _ατ¹

1. In corrispondenza della pulsazione ω = ω_n la rete attenua di un fattore γ:

ω_n = 1

√τ1τ2

, γ = τ₁ + τ₂

ατ1 + ^τ_α²

Per ω = ωn, l’attenuazione reale γ `e maggiore dell’attenuazione asintotica:

γ > α.

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Calcolo delle reti correttrici

Facendo l’ipotesi di corrente nulla fornita al carico, la funzione di trasferimen- to G(s) delle reti correttrici pu`o essere determinata utilizzando le impedenze complesse e la regola del partitore di tensione.

1) Rete ritardatrice: 2) Rete anticipatrice: 3) Rete ritardo-anticipo:

1) Rete ritardatrice:

G(s) = R₂ + _{C s}¹

R₁ + R₂ + _{C s}¹ = 1 + R₂C s

1 + (R1+R2) C s = 1 + α τ s 1 + τ s in cui si `e posto τ := (R₁ + R₂) C α := _R^R²

1+R₂ < 1.

2) Rete anticipatrice:

G(s) = R₂

R₂ + 1

(1/R1) + C s

= R₂(1 + R₁C s)

R₁ + R₂ + R₁R₂C s = α 1 + τ s 1 + α τ s in cui si `e posto τ := R₁C α := _R^R²

1+R₂ < 1 . 3) Rete ritardo-anticipo:

G(s) =

R₂ + 1 C₂s R₂ + 1

C₂s + 1

(1/R₁) + C₁s

= (1 + τ₁s) (1 + τ₂s) (1 + τ₁s) (1 + τ₂s) + τ₁₂s in cui si `e posto τ₁:= R₁C₁, τ₂:= R₂C₂, τ₁₂:= R₁C₂.

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Diagrammi di bode delle reti correttrici del primo ordine

Rete ritardatrice:

10^-3 10^-2 10^-1 10⁰ 10¹ 10²

-30 -20 -10 0 10

10^-3 10^-2 10^-1 10⁰ 10¹ 10²

-90 -45 0

Diagramma dei moduli

Diagramma delle fasi

Ampiezza[db]Fase[gradi]

Pulsazione ω [rad/s]

τ₁ τ₂

Effetto stabilizzante: attenuazione alle alte frequenze (anche molto ampia).

Rete anticipatrice:

10^-3 10^-2 10^-1 10⁰ 10¹ 10²

-10 0 10 20 30

10^-3 10^-2 10^-1 10⁰ 10¹ 10²

0

qualitativa

Ampiezza[db] Fase[gradi]

τ₁ τ₂

Effetto stabilizzante: anticipo di fase nella zona centrale (di ampiezza limitata).

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Azione stabilizzante di una rete ritardatrice

• Una rete ritardatrice attenua e sfasa a tutte la pulsazioni.

C(s) = 1 + τ₁s

1 + τ₂s con τ₁ < τ₂.

• Azione stabilizzante di una rete ritardatrice `e essenzialmente data dall’attenuazione alle alte pulsazioni.

• Esempio di sintesi sul piano di Nyquist:

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2

−5

−4

−3

−2

−1 0

0.7 0.8

0.9 1

1.1 1.2

1.3 1.4

0.2 0.3

0.4 0.5

0.6 0.7

0.8 0.911.1 2.3

• L’attenuazione alle alte frequenze ha come effetto negativo la riduzione della banda passante del sistema.

• Nell’esempio riportato sopra, il sistema senza rete correttrice ha larghezza di banda ω_f = 2.3, quello con rete correttrice ω_f = 0.8. Il sistema retroazionato avr`a un tempo di salita pi`u lungo.

• Un vantaggio della rete ritardatrice rispetto a quella anticipatrice `e la sua capacit`a di poter stabilizzare anche sistemi con margini di fase fortemente negativi.

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Azione stabilizzante di una rete anticipatrice

• Una rete anticipatrice amplifica e anticipa a tutte la pulsazioni C(s) = 1 + τ₁s

1 + τ₂s con τ₁ > τ₂.

• Azione stabilizzante di una rete anticipatrice `e essenzialmente data dal- l’anticipo di fase.

• Esempio di sintesi sul piano di Nyquist:

−3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5 0 0.5

1.2

1.5

1.8 2.1

2.4

2.7 33.3

1.5 1.8

2.1 2.4

2.7 3

3.3

M=0.71

S=24.5%

delle

• L’azione amplificatrice ha come effetto positivo l’allargamento della banda passante.

• Nell’esempio riportato sopra, il sistema senza rete correttrice ha larghezza di banda ωf = 2.3, quello con rete correttrice ωf = 3.

• Il massimo anticipo di fase ϕ^m che può essere fornito da una rete anticipatrice è ϕm = ^π₂, per cui una rete anticipatrice può essere utilizzata solamente per migliorare il transitorio di sistemi già stabili o per stabilizzare sistemi con margini di fase negativi ma piccoli.

(10)

Stabilizzazione mediante riduzione del guadagno

• Diagrammi di Bode:

10⁰ 10¹ 10² 10³

-40 -20 0 20 40

10⁰ 10¹ 10² 10³

-270 -225 -180 -135 -90 -45 0

M_ϕ

M_α

G(s) = ₍₁₊^s ⁴⁰

10)(1+₁₀₀^s )² G(s)

G(s)/6

• Diagrammi di Nichols:

-270 -225 -180 -135 -90 -45 0

-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40

1.81 3.92.7 6.85.6 108.2 12 1815 2722 3933 47 56 68 82 100 120 150 180 220 270 330 390 470

1 2.71.8 5.63.9 8.26.8 1210 1815 2722 3933 47 56 68 82 100 120 150 180 220 270 330 390

M_ϕ M_α

Diagramma

Diagramma di Nichols

Ampiezza[db]

Fase [gradi]

G(s)

G(s)/6

• Intervento sconsigliabile, in quanto i sistemi in retroazione funzionano tan- to meglio, come prontezza e insensibilità ai disturbi, quanto più elevato è il guadagno di anello.

(11)

Stabilizzazione mediante rete ritardatrice

10⁰ 10¹ 10² 10³

-40 -20 0 20 40

10⁰ 10¹ 10² 10³

-270 -225 -180 -135 -90 -45 0

G(s) = ₍₁₊^s ⁴⁰

10)(1+100^s )² C(s)G(s)

C(s)

G(s) C(s)G(s)

C(s)

• Diagrammi di Nyquist e di Nichols:

-8 -6 -4 -2 0 2 4

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1

A

B

39 47

56 68

82 100

120

6.8 8.2 10 12 15 18 22 27 33 47

Diagramma di Nyquist

Imag

Real

-270 -225 -180 -135 -90 -45 0

-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40

A

B

1.81 3.92.7 6.85.6 108.2 12 1815 2722 3933 5647 68 82 100 120 150 180 220 270 330 390 470 560

1.21 1.81.5 2.72.2 3.3 4.7 6.8 10 15 22 27 3933 47 56 68 82 100 120 150 180 220 270

Mϕ Mα

Ampiezza[db]

Fase [gradi]

G(s)

C(s)G(s)

• Si usa per stabilizzare sistemi che abbiamo un margine di fase fortemente negativo (per esempio gli amplificatori operazionali). L’inconveniente principale `e la riduzione della banda passante: risposta transitoria meno pronta e neutralizzazione meno efficace dei disturbi ad alta frequenza.

(12)

Stabilizzazione mediante rete anticipatrice

10⁰ 10¹ 10² 10³ 10⁴

-40 -20 0 20 40

10⁰ 10¹ 10² 10³ 10⁴

-270 -225 -180 -135 -90 -45 0 45 90

G(s) =_s(1+^s¹⁰⁰

10)(1+₁₀₀^s ) C(s)G(s)

C(s)

C(s)G(s) G(s)

C(s)

• Diagrammi di Nyquist e di Nichols:

-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1

A

B 18

22 27

33 39 47 56

33 39

47 56

68 82

100

Diagramma di Nyquist

Imag

Real G(s)

C(s)G(s)

-270 -225 -180 -135 -90 -45

-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40

A

B 2.2 3.3 5.64.7 6.8 8.2 10 12 15 18 22 27 33 39 47 56 68 82 100 120 150 180

2.2 3.3 4.7 6.8 10 15 22 33 47 56 68 82 100 120 150 180 220 270

Ampiezza[db]

Fase [gradi]

G(s)

C(s)G(s)

• La rete anticipatrice ha l’effetto di aumentare sia il margine di fase (diminuzione dell’overshoot) che il guadagno alle alte frequenze (la risposta pi`u pronta perch`e aumenta la banda passante).