Esercizio 1 Si consideri la curva parametrizzata γ : R → R

Esame scritto di Geometria 2

Appello del 20 settembre 2016

Esercizio 1 Si consideri la curva parametrizzata γ : R → R

data da γ(s) =



4

+

,

, cos s

 .

1. Si calcolino il vettore unitario tangente t(s), il vettore normale n(s) e la curvatura κ(s) in ogni punto.

2. Si determini il vettore binormale b(s) e la torsione τ (s) in ogni punto.

3. Considerato il cammino indotto sulla sfera unitaria dal vettore tangente unitario s 7→ t(s) ∈ S

se ne calcoli la curvatura geodetica in ogni punto.

Esercizio 2

Si consideri la curva parametrizzata γ : (0, +∞) → R

, γ(s) =

 1

coshs , 0, s − tanhs

 , e sia S la superficie ottenuta ruotando γ intorno all’asse z.

1. Si calcoli la curvatura Gaussiana di S in ogni punto.

2. Si dimostri che l’area di S ` e finita e se ne calcoli esplicitamente il valore.

3. Si determini il valore assoluto della curvatura geodetica dei paralleli di S.

4. Data una funzione differenziabile 2π-periodica f : R → R si consideri la curva su S definita da α

(θ) = R

γ(f (θ)), essendo R

la rotazione in R

lungo l’asse z di angolo θ. Si dimostri che il supporto di α non ` e mai una curva geodetica su S.

Esercizio 3

Si considerino i seguenti sottospazi di R

(in cui ` e fissato un sistema di coor- dinate Oxyz): B la palla piena aperta di centro l’origine e raggio 2, S la sfera bordo di B, C la circonferenza di centro (−3, 0, 0) e raggio 2 giacente sul pia- no di equazione z = 0, D il sottospazio {(x, y, z) ∈ S | x > 1}, H la semisfera {(x, y, z) ∈ S | x ≤ 0}, G = C ∩ Int(B) e chiamiamo X lo spazio (C \ G) ∪ (S \ D), Y lo spazio C ∪ (S \ D).

1. Scrivere una retrazione per deformazione di S \ D su H;

2. dimostrare che X ` e connesso per archi e calcolare il suo gruppo fondamentale;

3. dimostrare che Y ` e connesso per archi e calcolare il suo gruppo fondamentale.

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