Si consideri la curva in R 3 , γ : (−π, π) → R 3 data nella parametrizzazione γ(t) = cos(t/2)(cos t, sin t, √

Esame scritto di Geometria 2

Appello del 16 giugno 2017

Esercizio 1

Si consideri la curva in R ³ , γ : (−π, π) → R ³ data nella parametrizzazione γ(t) = cos(t/2)(cos t, sin t, √

3)) .

1. Si discuta se γ sia una curva regolare e se ne calcoli la lunghezza.

2. Si determini la curvatura di γ. La curva γ ` e biregolare?.

3. Si determini la torsione di γ per t = 0.

4. Si verifichi che γ sia contenuto nel cono dato dall’equazione z ² = 3(x ² + y ² ).

Considerata come curva in tale cono se ne calcoli la curvatura geodetica e normale.

Esercizio 2 Si consideri la curva sul piano Oxz data dalla parametrizzazione γ(z) = (e ^−z

^/2 , 0, z) e sia S la superificie di rivoluzione ottenuta ruotando γ intorno all’asse Oz.

1. Si calcoli la prima e la seconda forma fondamentale di S in una parametriz- zazione locale scelta.

2. Si determinino i punti ellittici di S.

3. Si orienti S utilizzando la normale che punta verso l’asse Oz e per ogni m ∈ R si calcoli la curvatura geodetica del parallelo P m = {(x, y, z) ∈ S|z = m}

orientato in modo che giri in senso antiorario rispetto all’asse Oz.

4. Sia S _m = {(x, y, z) ∈ S|z ∈ (−1, m)}. Si calcoli lim _m→+∞ R

S

K(x)dA _S , dove K(x) ` e la curvatura di Gauss.

Esercizio 3 Siano

X = {(x, y, z) ∈ R ³ | y ² − x ² = 1, z = 0, y > 0} , Y = {(x, y, z) ∈ R ³ | y ² − x ² = 1, z = 0} . 1. Dimostrare che R ³ − X `e connesso per archi.

2. Determinare il gruppo fondamentale di R ³ − X.

3. Determinare il gruppo fondamentale di R ³ − Y .

4. Dire se R ³ − X e R ³ − Y sono omotopicamente equivalenti.

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