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4 febbraio 2016

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(1)

4 febbraio 2016

Cognome e Nome: Matricola:

Corso di Laurea: Anno di corso:

1. Siano V uno spazio vettoriale reale e G = {u

1

, . . . , u

k

} una lista di vettori di V . Dire a quale condizione G `e una lista di generatori di V e fornire un esempio di generatori di R

2

che non siano linearmente indipendenti.

2. Siano A e B due matrici in M

R

(n). Stabilire quali delle seguenti affermazioni sono vere.

(a) Se A e B sono invertibili allora A B `e invertibile. s`ı no

(b) Anche se A e B sono simmetriche, A + B pu`o non essere simmetrica.

s`ı no

(c) Se le colonne di A sono un sistema di vettori ortogonali allora A `e ortogonale.

s`ı no

(d) Se A e B sono ortogonali allora A B `e ortogonale. s`ı no 3. Sia A = (A

1

| . . . |A

4

) ∈ M

R

(4) una matrice quadrata Il sistema A X = A

1

− 2A

3

`e risolubile? In caso affermativo, fornirne almeno una soluzione (motivare la risposta).

4. Indicare con ⊗ tra le matrici seguenti quelle che rappresentano una forma qua- dratica definita (positiva oppure negativa):

1 1 0 1



3 0 −3 0



1 1 −1 1



1 1 1 1



2 1 1 2



5. Si consideri la funzione L : R

2

→ R definita da L x y



= x

2

+ y + 1. Posto v

1

= 2 1



e v

2

= 1 1



si calcoli

L(v + v ) = L(v ) + L(v ) =

(2)

 −1 0

(b)

 3 0 0

−2

 ,

 3 1

−1

−2

 ,

 0 1

−1 0

s`ı no

(c)

 1

−1 0

−1

 ,

 0

−1 1 0

 ,

 3 0 0

−2

s`ı no

(d)

 3 0 0

−2

 0 1

−1 0

 ,

 1 0 1 1

s`ı no

7. Sia A = 2 1 1 2



. Stabilire per quale/i delle seguenti matrici N la matrice N

−1

AN

`e diagonale:

1 1 −1 1



3 0 0 1



 2 −2 1 1



1 1 1 1



8. Sia A =

1 1 −1 2 2 −2 2 1 −2

!

. Stabilire se i seguenti vettori sono autovettori di A, specificandone l’autovalore λ corrispondente:

(a) 1 1 1

!

; s`ı λ = no

(b) 1 2 2

!

; s`ı λ = no

(c) 1 0 1

!

; s`ı λ = no

(d) 1 2 1

!

. s`ı λ = no

(3)

4 febbraio 2016

Cognome e Nome: Matricola:

Corso di Laurea: Anno di corso:

1. Siano V uno spazio vettoriale reale e S = {u

1

, . . . , u

k

} una lista di vettori di V . Dire a quale condizione i vettori di S sono linearmente indipendenti e fornire un esempio di una lista di vettori in R

4

linearmente indipendenti che non siano generatori di R

4

.

2. Siano A e B due matrici in M

R

(n). Stabilire quali delle seguenti affermazioni sono vere.

(a) Se A `e simmetrica, 3A `e simmetrica. s`ı no

(b) Se A B `e invertibile allora A e B sono invertibili. s`ı no

(c) Se le colonne di A sono un sistema di vettori ortonormali allora A `e ortogo- nale. s`ı no

(d) Anche se A e B sono ortogonali A B pu`o non essere ortogonale.

s`ı no

3. Sia A = (A

1

| . . . |A

3

) ∈ M

R

(4, 3) la matrice dei coefficienti del sistema lineare A X = B; sia inoltre X

0

=

1 1 1

!

una soluzione (ossia, A X

0

= B). Il sistema A X = A

1

+ B `e risolubile? In caso affermativo, fornirne almeno una soluzione (motivare la risposta).

4. Indicare con ⊗ tra le matrici seguenti quelle che rappresentano una forma qua- dratica semidefinita (positiva oppure negativa):

2 2 2 2



1 0 0 2



2 0 1 2



2 2 −1 2



 1 −1 −1 1



5. Si consideri la funzione L : R

2

→ R definita da L x y



= 2x + y

2

+ 1. Posto v = 1 2



si calcoli

3L(v) = L(3v) =

(4)

 −1 0

(b)

 1 0 1 1

 ,

 0 1

−1 0

s`ı no

(c)

 3 0 0 1

 ,

 3 1

−1 1

 ,

 0 1

−1 0

s`ı no

(d)

−1

−1 0

−1

 ,

 0

−1 1 0

 ,

 3 0 0 1

s`ı no

7. Sia A = 2 2 2 5



. Stabilire per quale/i delle seguenti matrici N la matrice N

−1

AN

`e diagonale:

1 0 0 6



 2 −2 −1 1



−2 1 1 2



 4 −1 −2 −2



8. Sia

0 0 1 0 2 1 0 0 2

! .

Quali dei seguenti vettori sono autovettori di A relativi all’autovalore 0.

0 0 0

!

2 0 0

!

0 1 0

!

1 1 2

!

.

(5)

4 febbraio 2016

Cognome e Nome: Matricola:

Corso di Laurea: Anno di corso:

1. Siano V uno spazio vettoriale reale e G = {u

1

, . . . , u

k

} una lista di vettori di V . Dire a quale condizione G `e una lista di generatori di V e fornire un esempio di generatori di R

3

che siano linearmente indipendenti.

2. Siano A e B due matrici in M

R

(n). Stabilire quali delle seguenti affermazioni sono vere.

(a) Se A `e ortogonale allora 2A `e ortogonale. s`ı no

(b) Se A e B sono invertibili allora A B `e invertibile. s`ı no (c) Se A e B sono simmetriche, A + B `e simmetrica. s`ı no (d) Se A e B sono ortogonali allora A B `e ortogonale. s`ı no 3. Sia A = (A

1

| . . . |A

4

) ∈ M

R

(3, 4). Il sistema A X = 7A

2

− A

4

`e risolubile? In caso

affermativo, fornirne almeno una soluzione (motivare la risposta).

4. Indicare con ⊗ tra le matrici seguenti quelle che rappresentano una forma qua- dratica indefinita:

1 0 0 1



3 0 −3 0



−1 1 1 1



2 1 1 1



−1 1 −1 1



5. Si consideri la funzione L : R

2

→ R definita da L x y



= x

2

y + 1. Posto v

1

= 2 1



e v

2

= 1 1



si calcoli

L (v

1

+ v

2

) = L (v

1

) + L(v

2

) =

(6)

 −1 0

(b)

−1 1 0

−1

 ,

−1 0 1 0

 ,

 0 3 0

−2

s`ı no

(c)

 0 3 0

−2

 1 0

−1 0

 ,

 0 1 1 1

s`ı no

(d)

 0 3 0

−2

 ,

 1 3

−1

−2

 ,

 1 0

−1 0

s`ı no

7. Sia A = 2 1 1 2



. Stabilire per quale/i delle seguenti matrici N la matrice N

−1

AN

`e diagonale:

3 0 0 1



1 1 −1 1



 2 −2 1 1



1 1 −2 2



8. Sia A =

1 1 −1 2 2 −2 2 1 −2

!

. Stabilire se i seguenti vettori sono autovettori di A, specificandone l’autovalore λ corrispondente:

(a) 1 1

−1

!

; s`ı λ = no

(b) −2 0

−2

!

; s`ı λ = no

(c) 1 2

−2

!

; s`ı λ = no

(d) 1 2 4

!

. s`ı λ = no

(7)

4 febbraio 2016

Cognome e Nome: Matricola:

Corso di Laurea: Anno di corso:

1. Siano V uno spazio vettoriale reale e S = {u

1

, . . . , u

k

} una lista di vettori di V . Dire a quale condizione i vettori di S sono linearmente indipendenti e fornire un esempio di una lista di vettori in R

4

linearmente indipendenti che siano generatori di R

4

.

2. Siano A e B due matrici in M

R

(n). Stabilire quali delle seguenti affermazioni sono vere.

(a) Se A `e ortogonale, allora −A `e ortogonale. s`ı no

(b) Se A e B sono simmetriche, allora A − B `e simmetrica. s`ı no (c) Anche se A e B sono ortogonali A B pu`o non essere ortogonale. s`ı no (d) Anche se A o B non sono invertibili, pu`o accadere che A B sia invertibile.

s`ı no

3. Sia A = (A

1

| . . . |A

4

) ∈ M

R

(3, 4) la matrice dei coefficienti del sistema lineare A X = B; sia inoltre X

0

=

 1

−1 1 2

 una soluzione (ossia, A X

0

= B). Il sistema A X = −A

1

+ B `e risolubile? In caso affermativo, fornirne almeno una soluzione (motivare la risposta).

4. Indicare con ⊗ tra le matrici seguenti quelle che rappresentano una forma qua- dratica semidefinita (positiva oppure negativa):

1 0 0 2



2 2 2 2



2 1 1 2



 2 −2 −2 2



2 2 −1 2



5. Si consideri la funzione L : R

2

→ R definita da L x y



= 2xy + 1. Posto v = 1 2

 si calcoli

3L(v) = L (3v) =

(8)

 −1 0

  0 1

  1 0

(b)

 0 1 0

−1

s`ı no

(c)

 1 0 1 1

 ,

 0 1 0

−1

s`ı no

(d)

 3 0 1 0

 ,

 3 1 1

−1

 ,

 0 1 0

−1

s`ı no

7. Sia A = 2 2 2 5



. Stabilire per quale/i delle seguenti matrici N la matrice N

−1

AN

`e diagonale:

1 0 0 6



 2 −1 −2 −1



 1 −2 1 2



 4 −1 −2 −2



8. Sia

0 0 1 0 2 1 0 0 2

! .

Quali dei seguenti vettori sono autoettori di A relativi all’autovalore 2.

0 0 0

!

2 0 0

!

0 1 0

!

1 1 2

!

.

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