1. Stabilire se i seguenti integrali impropri sono convergenti.

Analisi e Geometria 1 Integrali impropri

1. Stabilire se i seguenti integrali impropri sono convergenti.

(a) I = Z _+∞

1

x ln x + x √

x e ^x + p 1 + √

x artg x e ^2x p

x ⁵ + x ³ + x √

x + x ² e ^{artg x} dx (b) I =

Z _+∞

0

artg x (1 + √

x e ^x

⁻¹ )(x + e ^{x √ x+2} ) √

1 + e ^−x e ^{x √ x+x}

√

x ⁴ + x ² + 3 + e ^{x √ x} √

x ³ + x ² + x artg x dx (c) I =

Z _+∞

0

(x + e ^x )(1 + xe ^x ) √ x + x ² (1 + x ³ √

x)(x ² + e ^2x ) artg x dx (d) I =

Z ₂

1

(3 + sin x)(2 − cos x) p

(x − 1) ⁵ p

(2 − x) ³ dx (e) I =

Z ₁

0

e ^−x ln x dx (f) I =

Z _+∞

1

e ^−x

√ x ⁴ − 1 dx

2. Mostrare che i seguenti integrali impropri sono convergenti e calcolarli.

(a) I = Z _+∞

1

dx (1 + x ² ) artg x (b) I =

Z _+∞

0

x artg x ² 1 + x ⁴ dx (c) I =

Z _+∞

0

artg √ 1 + x (2 + x) √

1 + x dx (d) I =

Z ₁

−1

x ² ln x ² dx (e) I =

Z ₁

−1

ln(1 − x ² ) dx 3. Studiare la funzione integrale

F (x) = Z _x

0

e ^−t

p |1 − t ² | dt .

Soluzioni 1. (a) La funzione f : [1, +∞) → R , definita da

f (x) = x ln x + x √

x e ^x + p 1 + √

x artg x e ^2x p

x ⁵ + x ³ + x √

x + x ² e ^{artg x} ,

`e continua ed `e positiva su tutto l’intervallo [1, +∞) . Per x → +∞ , si ha f (x) ∼ x √

x e ^x x ² √

x e ^2x = 1

xe ^x = xe ^−x · 1 x ² ≤ 1

x ² .

Poich´e la funzione 1/x ² ( α = 2 > 1 ) `e integrabile in senso improprio in un intorno di +∞ , per il criterio del confronto asintotico e per il criterio del confronto anche la funzione f `e integrabile in senso improprio in un intorno di +∞ e l’integrale I `e convergente.

(b) La funzione f : [0, +∞) → R , definita da f (x) = artg x (1 + √

x e ^x

⁻¹ )(x + e ^{x √ x+2} ) √

1 + e ^−x e ^{x √ x+x}

√

x ⁴ + x ² + 3 + e ^{x √ x} √

x ³ + x ² + x artg x ,

`e continua ed `e positiva o nulla su tutto l’intervallo [0, +∞) . Per x → +∞ , si ha f (x) ∼ π

2

√

x e ^x

⁻¹ · e ^{x √ x+2} x ² e ^{x √ x+x}

= πe

2 1 x ^5/3 .

Poich´e la funzione 1/x ^5/3 ( α = 5/3 > 1 ) `e integrabile in senso improprio in un intorno di +∞ , per il criterio del confronto asintotico anche la funzione f `e integrabile in senso improprio in un intorno di +∞ e l’integrale I `e convergente.

(c) La funzione f : (0, +∞) → R , definita da

f (x) = (x + e ^x )(1 + xe ^x ) √ x + x ² (1 + x ³ √

x)(x ² + e ^2x ) artg x ,

`e continua ed `e positiva su tutto l’intervallo (0, +∞) , ed `e illimitata per x → 0 <sup>+</sup> . Dobbiamo quindi studiare l’integrabilit`a di f in un intorno destro di 0 e in un intorno di +∞ .

Per x → 0 ⁺ , si ha

f (x) ∼

√ x x = 1

√ x . Poich´e la funzione 1/ √

x ( α = 1/2 < 1 ) `e integrabile in senso improprio in un intorno destro di 0 , per il criterio del confronto asintotico anche la funzione f `e integrabile in senso improprio in un intorno destro di 0 .

Per x → +∞ , si ha

f (x) ∼ e ^x · xe ^x · x x ³ √

x · e ^2x · π/2 = 2 π

1 x √

x = 2 π

1 x ^4/3 .

Poich´e la funzione 1/x ^4/3 ( α = 4/3 > 1 ) `e integrabile in senso improprio in un intorno di +∞ , per il criterio del confronto asintotico anche la funzione f `e integrabile in senso improprio in un intorno di +∞ .

In conclusione, la funzione f `e integrabile in senso improprio su (0, +∞) e

l’integrale I `e convergente.

(d) La funzione f : (1, 2) → R , definita da

f (x) = (3 + sin x)(2 − cos x) p

(x − 1) ⁵ p

(2 − x) ³ ,

`e continua su tutto l’intervallo (1, 2) ed `e illimitata in entrambi gli estremi.

Inoltre, essendo 2 ≤ 3 + sin x ≤ 4 e 1 ≤ 2 − cos x ≤ 3 per ogni x ∈ R , si ha 0 ≤ f (x) ≤ 4 · 3

p

(x − 1) ⁵ p

(2 − x) ³ per ogni x ∈ (1, 2) . Pertanto, per x → 1 ⁺ , si ha

f (x) ≤ 12

p

(x − 1) ⁵ p

(2 − x) ³ ∼ 12 (x − 1) ^5/8 .

Poich´e la funzione 1/(x − 1) ^5/8 ( α = 5/8 < 1 ) `e integrabile in senso improprio in un intorno destro di 1 , per il criterio del confronto e per il criterio del confronto asintotico anche la funzione f `e integrabile in senso improprio in un intorno destro di 1 . Analogamente, per x → 2 ⁻ , si ha

f (x) ≤ 12

p

(x − 1) ⁵ p

(2 − x) ³ ∼ 12 (2 − x) ^3/5 .

Poich´e la funzione 1/(2 − x) ^3/5 ( α = 3/5 < 1 ) `e integrabile in senso improprio in un intorno sinistro di 2 , per il criterio del confronto e per il criterio del confronto asintotico anche la funzione f `e integrabile in senso improprio in un intorno sinistro di 2 . Di conseguenza, la funzione f `e integrabile in senso improprio sull’intervallo (1, 2) e l’integrale I `e convergente.

(e) La funzione f : (0, 1] → R , definita da f (x) = e ^−x ln x , `e continua e negativa o nulla su tutto l’intervallo (0, 1] . Poich´e f (x) ∼ ln x per x → 0 <sup>+</sup> , essendo ln x integrabile in senso improprio in un intorno destro di 0 , per il criterio del confronto asintotico si ha che anche la funzione f `e integrabile in senso improprio in un intorno destro do 0 e che l’integrale I `e convergente.

(f) La funzione f : (1, +∞) → R , definita da f (x) = ^{√ e}

x

−1 , `e continua e positiva su tutto l’intervallo (1, +∞) ed `e illimitata per x → 1 ⁻ .

Per x → 1 ⁻ , si ha

f (x) = e ^−x

p (x − 1)(x + 1)(x ² + 1) ∼ e ⁻¹ 2

1 (x − 1) ^1/2 .

Poich´e la funzione 1/(x − 1) ^1/2 ( α = 1/2 < 1 ) `e integrabile in senso improprio in un intorno destro di 1 , per il criterio del confronto asintotico anche la funzione f `e integrabile in senso improprio in un intorno destro di 1 .

Per x → +∞ , si ha e ^−x → 0 e quindi f (x) ∼ e ^−x

x ² ≤ 1 x ² .

Poich´e la funzione 1/x ² ( α = 2 > 1 ) `e integrabile in senso improprio in un intorno di +∞ , per il criterio del confronto e per il criterio del confronto asintotico anche la funzione f `e integrabile in senso improprio in un intorno di +∞ .

In conclusione, la funzione f `e integrabile in senso improprio sull’intervallo

(1, +∞) e l’integrale I `e convergente.

2. (a) La funzione f : [1, +∞) → R , definita da

f (x) = 1

(1 + x ² ) artg x ,

`e continua ed `e positiva su tutto l’intervallo [1, +∞) . Inoltre, artg x ≥ ^π ₄ per ogni x ≥ 1 , ossia _{artg x} ¹ ≤ _π ⁴ per ogni x ≥ 1 . Pertanto, per x → +∞ , si ha

f (x) = 1

(1 + x ² ) artg x ≤ 1

1 + x ² ∼ 1 x ² .

Poich´e la funzione 1/x ² ( α = 2 > 1 ) `e integrabile in un intorno di +∞ , per il criterio del confronto e per il criterio del confronto asintotico anche la funzione f

`e integrabile in un intorno di +∞ e l’integrale I `e convergente.

Infine, si ha I =

Z _+∞

1

dx

(1 + x ² ) artg x = Z _+∞

1

(artg x) ⁰ artg x dx =

h

ln | artg x|

i _+∞

1 =

= lim

x→+∞ ln | artg x| − ln | artg 1| = ln π 2 − ln π

4 = ln µ π

2 4 π

¶

= ln 2 . (b) La funzione f : [0, +∞) → R , definita da

f (x) = x artg x ² 1 + x ⁴ ,

`e continua ed `e positiva o nulla su tutto l’intervallo [0, +∞) . Per x → +∞ , si ha

f (x) = x artg x ² 1 + x ⁴ ∼ π

2 x x ⁴ = π

2 1 x ³ .

Poich´e la funzione 1/x ³ ( α = 3 > 1 ) `e integrabile in un intorno di +∞ , per il criterio del confronto asintotico anche la funzione f `e integrabile in un intorno di +∞ e l’integrale I `e convergente.

Per calcolare l’integrale I , poniamo t = x ² . Allora, si ha x = √

t , dx = ₂ ^{dt √} _t e

I = Z _+∞

0

x artg x ² 1 + x ⁴ dx =

Z _+∞

0

√ t artg t 1 + t ²

dt 2 √

t = 1 2

Z _+∞

0

artg t 1 + t ² dt =

= 1 2

· (artg t) ² 2

¸ _+∞

0

= 1 4 lim

x→+∞ (artg t) ² − 1

4 (artg 0) ² = 1 4 · π ²

4 − 0 = π ² 16 . (c) La funzione f : [0, +∞) → R , definita da

f (x) = artg √ 1 + x (2 + x) √

1 + x ,

`e continua ed `e positiva su tutto l’intervallo [0, +∞) . Per x → +∞ , si ha f (x) = artg √

1 + x (2 + x) √

1 + x ∼ π 2

1 x √

x = π 2

1 x ^3/2 .

Poich´e la funzione 1/x ^3/2 ( α = 3/2 > 1 ) `e integrabile in un intorno di +∞ , per

il criterio del confronto asintotico anche la funzione f `e integrabile in un intorno

di +∞ e l’integrale I `e convergente.

Per calcolare l’integrale I , poniamo t = √

1 + x . Allora, si ha x = t ² − 1 , dx = 2tdt e

I = Z _+∞

0

artg √ 1 + x (2 + x) √

1 + x dx = Z _+∞

1

artg t

(1 + t ² )t 2tdt = 2 Z _+∞

1

artg t 1 + t ² dt =

= 2

· (artg t) ² 2

¸ _+∞

1

= lim

x→+∞ (artg t) ² − (artg 1) ² = π ² 4 − π ²

16 = 3 16 π ² . (d) La funzione f : [−1, 0) ∪ (0, 1] → R , definita da f (x) = x ² ln x ² , `e continua ed `e

negativa su tutto l’insieme [−1, 0) ∪ (0, 1] . Per x → 0 ⁺ , si ha f (x) = x ² ln x ² = 2x ² ln x → 0 .

Essendo f pari, un risultato analogo vale anche quando x → 0 ⁻ . Di conseguenza, la funzione f `e integrabile in senso improprio in un intorno di 0 e l’integrale I

`e convergente. Per simmetria, si ha I =

Z ₁

−1

x ² ln x ² dx = 2 Z ₁

0

x ² ln x ² dx = 4 Z ₁

0

x ² ln x dx . Integrando per parti, si ha

Z

x ² ln x dx = x ³

3 ln x dx − Z x ²

3 dx = x ³

3 ln x dx − x ³ 9 . Pertanto, si ha

I = 4

· x ³

3 ln x dx − x ³ 9

¸ ₁

0

= − 4 9 .

(e) La funzione f : (−1, 1) → R , definita da f (x) = ln(1 − x ² ) , `e continua ed `e negativa o nulla su tutto l’intervallo (−1, 1) . Per x → 1 ⁻ , si ha

f (x) = ln[(1 − x)(1 + x)] = ln(1 − x) + ln(1 + x) ∼ ln(1 − x) + ln 2 . Poich´e ln(1 − x) `e integrabile in senso improprio in un intorno sinistro di 1 , per il criterio del confronto asintotico si ha che anche f `e integrabile in senso improprio in un intorno sinistro di 1 . Essendo f pari, questo ˜e vero anche quando x → −1 ⁺ . Di conseguenza, la funzione f `e integrabile in senso improprio sull’intervallo (−1, 1) e l’integrale I `e convergente. Per simmetria, si ha

I = Z ₁

−1

ln(1 − x ² ) dx = 2 Z ₁

0

ln(1 − x ² ) dx . Iniziamo ad osservare che

Z

ln(1 − x ² ) dx = Z

ln[(1 − x)(1 + x)] dx = Z

ln(1 − x) dx + Z

ln(1 + x) dx . Integrando per parti, si ha

Z

ln(1 − x ² ) dx = x ln(1 − x) +

Z x

1 − x dx + x ln(1 + x) −

Z x

1 + x dx =

= x ln(1 − x) +

Z 1 − (1 − x)

1 − x dx + x ln(1 + x) +

Z 1 − (1 + x) 1 + x dx

= x ln(1 − x) +

Z µ 1 1 − x − 1

¶

dx + x ln(1 + x) +

Z µ 1 1 + x − 1

¶ dx

= x ln(1 − x) − ln(1 − x) − x + x ln(1 + x) + ln(1 + x) − x

= (x − 1) ln(1 − x) + (1 + x) ln(1 + x) − 2x .

Pertanto, si ha I =

h

(x − 1) ln(1 − x) + (1 + x) ln(1 + x) − 2x i ₁

0 = 2(2 ln 2 − 2) = 4 ln 2 − 4 .