dire se ` e chiusa nel suo insieme di definizione D, dire se ` e esatta in D, e in caso affermativo calcolarne una primitiva.

(1) Data la forma differenziale ω(x, y) = (e

+ sin(x)) dx + (xe

+ cos(y)) dy

dire se ` e chiusa nel suo insieme di definizione D, dire se ` e esatta in D, e in caso affermativo calcolarne una primitiva.

[ U (x, y) = x e

− cos(x) + sin(y) + c ] (2) Data la forma differenziale

ω(x, y) =

dx +

dy

dire se ` e chiusa nel suo insieme di definizione D, dire se ` e esatta in D, e in caso affermativo calcolarne una primitiva.

[ U (x, y) = log(1 + e

+ y

) + c ] (3) Data la forma differenziale ω(x, y) =

√y

x [ 1+y log²(x) ]

dx +

dy dire se ` e chiusa nel suo insieme di definizione D, dire se ` e esatta

in D, e in caso affermativo calcolarne una primitiva.

Calcolare R

γ

ω dove γ ` e il segmento da (1, 1) a ( √ e, 4).

[ U (x, y) = arctan( √

y log(x)) + c , R

γ

ω =

]

(4) Data la forma differenziale ω(x, y) = P (x, y)dx + Q(x, y)dy = [

+ e

] dx + [

+

] dy.

dire se ` e chiusa nel suo insieme di definizione D, dire se ` e esatta in D, e in caso affermativo calcolarne una primitiva.

Calcolare R

γ

ω dove γ ` e la curva di equazioni parametriche x =

4

π

arctan(t), y =

, 0 ≤ t ≤ 1.

[ U (x, y) = log(1 + x

y

) + e

+ arctan(y) + c , R

γ

ω = log(2) + e +

− 1 ]

(5) Trovare una funzione g(x, y) di classe C

(R

) tale che la forma differenziale

ω(x, y, z) = 2x

z dx + (2yz + cos(y))dy + g(x, y)dz sia chiusa in R

.

Calcolarne poi la primitiva che vale 2 +

nel punto (1,

, 1).

[ g(x, y) =

x

+ y

, U (x, y, z) =

x

z + y

z + sin(y) +

. ] (6) Data la forma differenziale ω(x, y) =

dx +

dy

a) Trovare l’ insieme di definizione D e calcolare per ogni a ∈ R l’ integrale di ω sul segmento che va da (0 − 2) a (1, −2).

b) Dire se esistono valori di a ∈ R per i quali la forma `e esatta (in ogni componente connessa di D) e se esistono calcolare una primitiva per ognuno di essi.

1

2

[ D = R

\ [y = −x

] ; L’ integrale vale

log 2 (e non dipende da a, perch´ e ?) , esatta se a =

, e quindi ω =

dx+

1

2(x²+y)

dy, una cui primitiva ` e U (x, y) =

log(x

+ y) ] (7) Data la forma differenziale ω(x, y) = √

1−(x²+4y²)²

dx+ √

1−(x²+4y²)²

dy a) Trovare l’ insieme di definizione D, verificare che l’ ellisse γ di equazione cartesiana 4x

+ 16y

= 1 ` e contenuta in D e calcolare per ogni a ∈ R l’ integrale di ω su γ.

b) Dire se esistono valori di a ∈ R per i quali la forma `e esatta (in ogni componente connessa di D) e se esistono calcolare una primitiva per ognuno di essi.

[ D = [x

+ 4y

< 1], l’ integrale ` e nullo per ogni scelta di a ∈ R. Chiusa ed esatta se a = 8.

U (x, y) = arcsin(x

+ 4y

) + c. ]

(8) Data la forma differenziale ω(x, y) = P (x, y)dx + Q(x, y)dy =

x−y

x²+y²

dx +

dy

a) Trovare l’ insieme di definizione D e dire se ` e chiusa in D.

b) Calcolare R

γ

ω dove γ ` e la circonferenza unitaria di equazione x

+ y

= 1 percorsa in senso antiorario

c) Dire se ` e esatta nei seguenti insiemi: D = R

\ {(0, 0)}, A = {(x, y) ∈ R

: x > 0}, B = {(x, y) ∈ R

: x < 2, y >

−3, (x, y) 6= (0, 0)}

d) Calcolare R

γ1

ω dove γ

` e l’ ellisse di equazione

+

= 1 percorsa in senso orario

e) Calcolare R

γ2

ω dove γ

` e il quadrato di semilato 1 e centro (2, 2) percorso in senso orario.

[ La forma ` e chiusa in D = R

\ {(0, 0)} e R

γ

ω = 2π.

Si noti che il resto dell’ esercizio non richiede altri calcoli, si basa sulla teoria.

ω non ` e esatta in D n´ e in B, perch´ e una circuitazione su una curva contenuta in essi non ` e nulla ( e NON perch´ e i domini non sono semplicemente connessi, forme chiuse in domini non semplicemente connessi possono essere o meno esatte).

La forma ` e invece esatta in A, che ` e semplicemente connesso.

R

γ1

ω = −2π essendo ω chiusa e γ

omotopa in D a −γ, curva opposta a γ.

Infine R

γ2

ω = 0 perch´ e γ

⊂ A dove ω `e esatta (equivalente-

mente γ

` e omotopa a un punto in D) ]

3

(9) Siano date la forma differenziale ω(x, y) = (1 +

)e

dx − 2ye

dy e la curva γ di equazioni parametriche x = t

, y =

, 1 ≤ t ≤ 2.

a) Trovare l’ insieme di definizione D di ω e dire se ω ` e chiusa in (ogni componente connessa di) D.

b) Dire se ` e esatta in (ogni componente connessa di) D e in caso affermativo calcolarne una primitiva.

c) Calcolare l’ integrale curvilineo di prima specie R

γ

p4x

+ xy

ds e l’ integrale curvilineo di seconda specie R

γ

ω.

[ ω ` e chiusa ed esatta nelle due componenti connesse D

= [ x > 0 ] e D

= [ x < 0 ] con primitive U (x, y) = x e

+ c.

R

γ

p4x

+ xy

ds =

(2

− 1) + 1 −

=

R

γ

ω = U (4,

) − U (1, 1) = 4e

− e

. ]

(10) Siano date la forma differenziale ω(x, y) = [

] dx + [

] dy

e per 0 < α < 2 le curve γ

di equazioni parametriche r

(t) = x(t)

y(t)



con x(t) = 1

1 + t , y(t) =

√ 2t + t

1 + t , α ≤ t ≤ 2 a) Trovare l’ insieme di definizione D di ω, verificare che ω

`

e chiusa in D.

Dire se ` e esatta in D, e in caso affermativo calcolarne le primitive U (x, y) (in ogni componente connessa di D).

b) Dire se le curve γ

sono curve regolari semplici e calcolare l’ integrale curvilineo di prima specie R

γα

y x

ds

c) Dire per quali α > 0 ( con α < 2 ) il sostegno di γ

` e contenuto in D

d) (dopo aver verificato che per α = 1 il sostegno di γ

` e contenuto in D) calcolare l’ integrale curvilineo R

γ1

ω

[ a) Chiusa e quindi esatta nelle due componenti (sem- plicemente) connesse D

= [ y < x ], D

= [ y > x ] con U (x, y) =

+ c (come viene integrando la parte in dy), ma anche come U (x, y) =

+c (come viene integrando la parte in dy). Le due scritture coincidono perch´ e

=

= 1 +

. b) R

γα

y

x

ds = log(

).

c) γ

ha sostegno nella componente connessa [y > x] di D per α > √

2 − 1.

d) Essendo ω esatta, P

= (

,

√3

2

) il punto iniziale e P

= (

,

√ 2

3

) il punto finale di γ

, si ha che R

γ1

ω =

√ 3−2√

2 (2√

2−1)(√

3−1)

]