Risolvere i seguenti esercizi, spiegando il procedimento usato 1. Dire se esiste (e in caso affermativo, calcolarlo) il limite lim

ANALISI MATEMATICA II (Braides) A.A. 2010-11 Quinto appello del 5/9/2011

COGNOME: NOME:

Risolvere i seguenti esercizi, spiegando il procedimento usato 1. Dire se esiste (e in caso affermativo, calcolarlo) il limite lim

(x,y)→(0,0)

(x

− y

)

x

+ y

2. Dire per quali valori del parametro α l’insieme {(x, y) : (y − 2 + αx)(x

+ y

− 1) = 0}

` e una curva regolare nell’intorno di ogni suo punto.

3. Trovare eventuali punti stazionari di f (x) = (x

− 2x + y

)

e dire se sono punti di massimo o minimo.

4. Determinare gli insiemi su cui ` e convessa la funzione f (x, y) = log(x

− y) disegnandoli nel piano cartesiano.

5. Determinare e risolvere l’equazione differenziale soddisfatta da una funzione f (x) di modo che la forma differenziale ω = f

(x)y dx + (f

(x) + y

) dy sia chiusa. Scelta una tale f (non nulla) determinarne quindi un potenziale.

6. Usando ove possibile i moltiplicatori di Lagrange, trovare massimo e minimo assoluti di f (x, y) = x − 3y sull’insieme {(x, y) : |y| ≤ (|x| − 1)

, |x| ≤ 1} .

7. Calcolare ZZ

D

(cos x tan y + |x|) dx dy, dove D = {(x, y) : |y| ≤ (|x| − 1)

, |x| ≤ 1}.

8. Calcolare il dominio di convergenza e la somma di

∞

X

n=1

3n x

4

9. Dire per quali valori y

esiste una soluzione di (

y

= y

y(0) = y x

definita in x = 3.

10. Dire qual ` e la dimensione dello spazio affine delle soluzioni di y

− y = 0 tale che esiste finito il lim

x→−∞

y(x).