Esercizio 2. Calcolare l’integrale ∫

Calcolo differenziale e integrale II

Prova scritta del 2/7/2014 A.A. 2013/2014

Esercizio 1. Studiare la convergenza puntuale e uniforme della successione f _n (x) = nxe ^−nx , ∀x ∈ [0, 1].

Esercizio 2. Calcolare l’integrale ∫

Ω

(x + y)dxdy dove Ω = {(x, y) ∈ R ² | 0 < y < ^√ ₂ ² , y < x < √

1 − y ² }.

Esercizio 3. Studiare la continuit` a e la differenziabilit` a della seguente funzione:

f (x, y) =

{ x ² y ² cos( _x

¹ _y

), xy ̸= 0;

0, xy = 0.

Esercizio 4. Classificare i punti critici della funzione f (x, y) = 2(x ² + y ² + 1) − (x ⁴ + y ⁴ ).

Esercizio 5. Data la forma ω(x, y) =

( 1

√ 1 − x ² + 1 x ln y

) dx +

(

√ 1

1 − y ² − ln x y(ln y) ²

) dy,

trovarne linsieme di definizione, l’insieme in cui ` e esatta e determinarne le primitive.