INGEGNERIA MECCANICA COMPITO A CALCOLO DIFFERENZIALE E INTEGRALE IeII

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INGEGNERIA MECCANICA COMPITO A CALCOLO DIFFERENZIALE E INTEGRALE IeII

PROVA SCRITTA DEL 11-12-2006

Cognome Nome Matricola

ESERCIZIO 1

Studiare la funzione y = ^{log x−2} _{log x−3} e tracciarne un grafico qualitativo. Non ` e richiesto lo studio della derivata seconda.

ESERCIZIO 2

Determinare le soluzioni dell’equazione differenziale

y ⁰⁰ − (1 + α)y ⁰ + αy = e ^2x al variare del parametro α ∈ R.

ESERCIZIO 3

Studiare la convergenza delle seguenti serie numeriche:

a)

+∞

X

n=1

hp 3 + n ^3/2 − p

2 + n ^3/2 i

; b)

+∞

X

n=1

h

log(3 + n ^3/2 ) − log(2 + n ^3/2 ) i .

ESERCIZIO 4

Dato il numero complesso z = ⁻⁵⁺

√ 3i 2+ √

3i , a) scrivere z in forma algebrica;

b) scrivere z in forma trigonometrica;

c) calcolarne le radici quadrate.

ESERCIZIO 5

Determinare la natura dei punti critici della funzione f (x, y) = ^x

³

^+y ₃

³

− ^5x

²

^+2y ₂

²

.

ESERCIZIO 6

Stabilire quali delle seguenti affermazioni sono vere, giustificando la risposta.

a) x ⁷ + x ¹⁴ ∼ x ⁷ per x → 0; b) x ⁷ + x ¹⁴ ∼ x ¹⁴ per x → 0;

c) x ⁷ + o(x ⁸ ) ∼ o(x ⁸ ) per x → 0; d) x ⁷ + o(x ⁸ ) ∼ x ⁷ per x → 0.

1

(2)

INGEGNERIA MECCANICA COMPITO B CALCOLO DIFFERENZIALE E INTEGRALE IeII

PROVA SCRITTA DEL 11-12-2006

Cognome Nome Matricola

ESERCIZIO 1

Studiare la funzione y = ^{log x−3} _{log x−2} e tracciarne un grafico qualitativo. Non ` e richiesto lo studio della derivata seconda.

ESERCIZIO 2

Determinare le soluzioni dell’equazione differenziale

y ⁰⁰ − (2 + α)y ⁰ + 2αy = e ^x al variare del parametro α ∈ R.

ESERCIZIO 3

Studiare la convergenza delle seguenti serie numeriche:

a)

+∞

X

n=1

hp 4 + n ^5/2 − p

3 + n ^5/2 i

; b)

+∞

X

n=1

h

log(4 + n ^5/2 ) − log(3 + n ^5/2 ) i .

ESERCIZIO 4

Dato il numero complesso z = ²⁺⁶

√ 3i 2− √

3i , a) scrivere z in forma algebrica;

b) scrivere z in forma trigonometrica;

c) calcolarne le radici quadrate.

ESERCIZIO 5

Determinare la natura dei punti critici della funzione f (x, y) = ^x

³

^+y ₃

³

− ^2x

²

^+5y ₂

²

.

ESERCIZIO 6

Stabilire quali delle seguenti affermazioni sono vere, giustificando la risposta.

a) x ⁵ + x ¹⁰ ∼ x ¹⁰ per x → 0; b) x ⁵ + x ¹⁰ ∼ x ⁵ per x → 0;

c) x ⁵ + o(x ⁶ ) ∼ x ⁵ per x → 0; d) x ⁵ + o(x ⁶ ) ∼ o(x ⁶ ) per x → 0.

2

(3)

INGEGNERIA MECCANICA COMPITO C CALCOLO DIFFERENZIALE E INTEGRALE IeII

PROVA SCRITTA DEL 11-12-2006

Cognome Nome Matricola

ESERCIZIO 1

Studiare la funzione y = ^{log x−5} _{log x−1} e tracciarne un grafico qualitativo. Non ` e richiesto lo studio della derivata seconda.

ESERCIZIO 2

Determinare le soluzioni dell’equazione differenziale

y ⁰⁰ − (4 + α)y ⁰ + 4αy = e ^2x al variare del parametro α ∈ R.

ESERCIZIO 3

Studiare la convergenza delle seguenti serie numeriche:

a)

+∞

X

n=1

hp 3 + n ^7/4 − p

2 + n ^7/4 i

; b)

+∞

X

n=1

h

log(3 + n ^7/4 ) − log(2 + n ^7/4 ) i .

ESERCIZIO 4

Dato il numero complesso z = ³

√ 3+i

− √ 3+2i , a) scrivere z in forma algebrica;

b) scrivere z in forma trigonometrica;

c) calcolarne le radici quadrate.

ESERCIZIO 5

Determinare la natura dei punti critici della funzione f (x, y) = ^x

³

^+y ₃

³

+ ^2x

²

^+5y ₂

²

.

ESERCIZIO 6

Stabilire quali delle seguenti affermazioni sono vere, giustificando la risposta.

a) x ⁹ + x ¹⁸ ∼ x ⁹ per x → 0; b) x ⁹ + x ¹⁸ ∼ x ¹⁸ per x → 0;

c) x ⁹ + o(x ¹⁰ ) ∼ x ⁹ per x → 0; d) x ⁹ + o(x ¹⁰ ) ∼ o(x ¹⁰ ) per x → 0.

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(4)

INGEGNERIA MECCANICA COMPITO D CALCOLO DIFFERENZIALE E INTEGRALE IeII

PROVA SCRITTA DEL 11-12-2006

Cognome Nome Matricola

ESERCIZIO 1

Studiare la funzione y = ^{log x−1} _{log x−5} e tracciarne un grafico qualitativo. Non ` e richiesto lo studio della derivata seconda.

ESERCIZIO 2

Determinare le soluzioni dell’equazione differenziale

y ⁰⁰ − (3 + α)y ⁰ + 3αy = e ^x al variare del parametro α ∈ R.

ESERCIZIO 3

Studiare la convergenza delle seguenti serie numeriche:

a)

+∞

X

n=1

hp 4 + n ^9/4 − p

3 + n ^9/4 i

; b)

+∞

X

n=1

h

log(4 + n ^9/4 ) − log(3 + n ^9/4 ) i .

ESERCIZIO 4

Dato il numero complesso z =

√ 3−5i

√ 3+2i , a) scrivere z in forma algebrica;

b) scrivere z in forma trigonometrica;

c) calcolarne le radici quadrate.

ESERCIZIO 5

Determinare la natura dei punti critici della funzione f (x, y) = ^x

³

^+y ₃

³

+ ^5x

²

^+2y ₂

²

.

ESERCIZIO 6

Stabilire quali delle seguenti affermazioni sono vere, giustificando la risposta.

a) x ⁶ + x ¹² ∼ x ¹² per x → 0; b) x ⁶ + x ¹² ∼ x ⁶ per x → 0;

c) x ⁶ + o(x ⁷ ) ∼ o(x ⁷ ) per x → 0; d) x ⁶ + o(x ⁷ ) ∼ x ⁶ per x → 0.

4

INGEGNERIA MECCANICA COMPITO A CALCOLO DIFFERENZIALE E INTEGRALE IeII

INGEGNERIA MECCANICA COMPITO A CALCOLO DIFFERENZIALE E INTEGRALE IeII

PROVA SCRITTA DEL 11-12-2006

Cognome Nome Matricola

ESERCIZIO 1

Studiare la funzione y = log x−2 log x−3 e tracciarne un grafico qualitativo. Non ` e richiesto lo studio della derivata seconda.

ESERCIZIO 2

Determinare le soluzioni dell’equazione differenziale

y 00 − (1 + α)y 0 + αy = e 2x al variare del parametro α ∈ R.

ESERCIZIO 3

Studiare la convergenza delle seguenti serie numeriche:

a)

+∞

X

n=1

hp 3 + n 3/2 − p

2 + n 3/2 i

; b)

+∞

X

n=1

h

log(3 + n 3/2 ) − log(2 + n 3/2 ) i .

ESERCIZIO 4

Dato il numero complesso z = −5+

√ 3i 2+ √

3i , a) scrivere z in forma algebrica;

b) scrivere z in forma trigonometrica;

c) calcolarne le radici quadrate.

ESERCIZIO 5

Determinare la natura dei punti critici della funzione f (x, y) = x

+y 3

− 5x

+2y 2

.

ESERCIZIO 6

Stabilire quali delle seguenti affermazioni sono vere, giustificando la risposta.

a) x 7 + x 14 ∼ x 7 per x → 0; b) x 7 + x 14 ∼ x 14 per x → 0;

c) x 7 + o(x 8 ) ∼ o(x 8 ) per x → 0; d) x 7 + o(x 8 ) ∼ x 7 per x → 0.

1

INGEGNERIA MECCANICA COMPITO B CALCOLO DIFFERENZIALE E INTEGRALE IeII

PROVA SCRITTA DEL 11-12-2006

Cognome Nome Matricola

ESERCIZIO 1

Studiare la funzione y = log x−3 log x−2 e tracciarne un grafico qualitativo. Non ` e richiesto lo studio della derivata seconda.

ESERCIZIO 2

Determinare le soluzioni dell’equazione differenziale

y 00 − (2 + α)y 0 + 2αy = e x al variare del parametro α ∈ R.

ESERCIZIO 3

Studiare la convergenza delle seguenti serie numeriche:

a)

+∞

X

n=1

hp 4 + n 5/2 − p

3 + n 5/2 i

; b)

+∞

X

n=1

h

log(4 + n 5/2 ) − log(3 + n 5/2 ) i .

ESERCIZIO 4

Dato il numero complesso z = 2+6

√ 3i 2− √

3i , a) scrivere z in forma algebrica;

b) scrivere z in forma trigonometrica;

c) calcolarne le radici quadrate.

ESERCIZIO 5

Determinare la natura dei punti critici della funzione f (x, y) = x

+y 3

− 2x

+5y 2

.

ESERCIZIO 6

Stabilire quali delle seguenti affermazioni sono vere, giustificando la risposta.

a) x 5 + x 10 ∼ x 10 per x → 0; b) x 5 + x 10 ∼ x 5 per x → 0;

c) x 5 + o(x 6 ) ∼ x 5 per x → 0; d) x 5 + o(x 6 ) ∼ o(x 6 ) per x → 0.

2

INGEGNERIA MECCANICA COMPITO C CALCOLO DIFFERENZIALE E INTEGRALE IeII

Studiare la funzione y = ^{log x−2} _{log x−3} e tracciarne un grafico qualitativo. Non ` e richiesto lo studio della derivata seconda.

y ⁰⁰ − (1 + α)y ⁰ + αy = e ^2x al variare del parametro α ∈ R.

hp 3 + n ^3/2 − p

2 + n ^3/2 i

log(3 + n ^3/2 ) − log(2 + n ^3/2 ) i .

Dato il numero complesso z = ⁻⁵⁺

Determinare la natura dei punti critici della funzione f (x, y) = ^x

^+y ₃

− ^5x

^+2y ₂

a) x ⁷ + x ¹⁴ ∼ x ⁷ per x → 0; b) x ⁷ + x ¹⁴ ∼ x ¹⁴ per x → 0;

c) x ⁷ + o(x ⁸ ) ∼ o(x ⁸ ) per x → 0; d) x ⁷ + o(x ⁸ ) ∼ x ⁷ per x → 0.

Studiare la funzione y = ^{log x−3} _{log x−2} e tracciarne un grafico qualitativo. Non ` e richiesto lo studio della derivata seconda.

y ⁰⁰ − (2 + α)y ⁰ + 2αy = e ^x al variare del parametro α ∈ R.

hp 4 + n ^5/2 − p

3 + n ^5/2 i

log(4 + n ^5/2 ) − log(3 + n ^5/2 ) i .

Dato il numero complesso z = ²⁺⁶

Determinare la natura dei punti critici della funzione f (x, y) = ^x

^+y ₃

− ^2x

^+5y ₂

a) x ⁵ + x ¹⁰ ∼ x ¹⁰ per x → 0; b) x ⁵ + x ¹⁰ ∼ x ⁵ per x → 0;

c) x ⁵ + o(x ⁶ ) ∼ x ⁵ per x → 0; d) x ⁵ + o(x ⁶ ) ∼ o(x ⁶ ) per x → 0.

Studiare la funzione y = ^{log x−5} _{log x−1} e tracciarne un grafico qualitativo. Non ` e richiesto lo studio della derivata seconda.

y ⁰⁰ − (4 + α)y ⁰ + 4αy = e ^2x al variare del parametro α ∈ R.

hp 3 + n ^7/4 − p

2 + n ^7/4 i

log(3 + n ^7/4 ) − log(2 + n ^7/4 ) i .

Dato il numero complesso z = ³

Determinare la natura dei punti critici della funzione f (x, y) = ^x

^+y ₃

+ ^2x

^+5y ₂

a) x ⁹ + x ¹⁸ ∼ x ⁹ per x → 0; b) x ⁹ + x ¹⁸ ∼ x ¹⁸ per x → 0;

c) x ⁹ + o(x ¹⁰ ) ∼ x ⁹ per x → 0; d) x ⁹ + o(x ¹⁰ ) ∼ o(x ¹⁰ ) per x → 0.

Studiare la funzione y = ^{log x−1} _{log x−5} e tracciarne un grafico qualitativo. Non ` e richiesto lo studio della derivata seconda.

y ⁰⁰ − (3 + α)y ⁰ + 3αy = e ^x al variare del parametro α ∈ R.

hp 4 + n ^9/4 − p

3 + n ^9/4 i

log(4 + n ^9/4 ) − log(3 + n ^9/4 ) i .

Determinare la natura dei punti critici della funzione f (x, y) = ^x

^+y ₃

+ ^5x