RP = arco sotteso dall’angolo α;

(senza pretesa di completezza) Misura degli angoli in radianti

In una circonferenza avente centro nell’origine degli assi e raggio arbitrario, consideriamo l’angolo orientato α.

Chiamiamo:

RP = arco sotteso dall’angolo α;

Il rapporto fra la lunghezza dell’arco orientato RP ed il raggio OR non dipende dalla particolare circonferenza, ma solo dall’ampiezza dell’angolo α. In altre parole, tale rapporto è una funzione dell’angolo α. Definiamo allora come misura in radianti dell’angolo orientato α il rapporto fra la lunghezza dell’arco orientato RP sotteso dall’angolo α e la lunghezza del raggio OR della circonferenza.

r l

rad

= α

Es.: misura dell’angolo giro in radianti.

Poiché, per l’intera circonferenza, è l = 2πr , applicando la formula troviamo che, per l’angolo giro, α

rad

= 2π. Similmente, per l’angolo piatto si ottiene α

rad

= π.

Per passare dai gradi ai radianti, e viceversa, possiamo dunque utilizzare questa proporzione:

180 : : α ° = π α

_rad

Quindi:

gradi 0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360°

radianti 0 π/6 π/4 π/3 π/2 π 3π/2 2π

D’ora in poi utilizzeremo sempre la misura degli angoli in radianti; di conseguenza ometteremo sempre il pedice “

rad

” ed indicheremo gli angoli con una lettera greca (α, β, γ, …) o con la lettera x.

Seno, coseno, tangente di un angolo

Consideriamo un triangolo rettangolo. Indichiamo con α uno dei due angoli acuti.

Definiamo:

o = cateto opposto all’angolo a = cateto adiacente all’angolo i = ipotenusa

Consideriamo ora due triangoli rettangoli simili, di lati rispettivamente o, a, i ed o', a', i' (v. figura).

Dalla similitudine dei triangoli segue l’uguaglianza dei rapporti tra i lati corrispondenti:

' ' i o o = ; i

' ' i a a = ; i

' ' a o a o = .

È chiaro, quindi, che tali rapporti non dipendono dalle dimensioni del triangolo, ma solo dalla misura dell’angolo α. Conviene allora dare loro un nome.

a

o i

α

a a'

o o' i

i'

O

P

α R

l

r

Definiamo:

• seno di α

i

= o α

sen (cateto opposto / ipotenusa)

• coseno di α

i

= a α

cos (cateto adiacente / ipotenusa)

• tangente di α

a

= o α

tg (cateto opposto / cateto adiacente)

N.B.: Nei testi americani e sulle calcolatrici si trova “sin” al posto di “sen”, e “tan” al posto di “tg”.

Notiamo che:

α

=

=

⋅

= α =

α tg

cos sen

a o a i i o i a i o

; di conseguenza,

α

= α α cos tg sen .

Relazioni tra gli elementi di un triangolo rettangolo

i = ipotenusa

a = cateto adiacente (all’angolo α) o = cateto opposto (all’angolo α)

• i

= o α sen

• i

= a α cos

• α

= α

=

α cos

tg sen a

o , (per α ≠

₂^π

)

o = i · sen α = i · cos β a = i · cos α = i · sen β o = a · tg α; a = o · tg β

Il seno e il coseno come funzioni dell’angolo α

Nel piano cartesiano consideriamo una circonferenza con centro nell’origine del sistema di assi coordinati, e raggio r = 1. La circonferenza di raggio unitario è detta circonferenza goniometrica;

nella circonferenza goniometrica la misura di un angolo è numericamente uguale a quella dell’ arco sul quale esso insiste.

Sulla circonferenza goniometrica prendiamo un punto P, e congiungiamo P al centro O; il segmento OP forma con l’asse orizzontale un certo angolo, che indicheremo con la lettera α.

Consideriamo il triangolo rettangolo OHP. La sua ipotenusa coincide con il raggio della circonferenza, e quindi ha lunghezza pari ad 1.

Si definisce seno dell’angolo α (e si indica con sen α) il rapporto tra la misura del segmento orientato HP e quella del raggio OP; tenendo conto che la lunghezza di OP è pari a 1, avremo dunque:

sen α = HP/OP = y

P

.

Si definisce invece coseno dell’angolo α (e si indica con cos α) il rapporto tra la misura del segmento orientato OH e quella del raggio OP; dunque:

cos α = OH/OP = x

P

.

Le funzioni definite tramite la circonferenza goniometrica si chiamano funzioni trigonometriche (o goniometriche).

Il seno ed il coseno visti come funzioni possono assumere sia

i α

o

a β

O

P(xP, yP)

sen α

cos α

H K

α

sen α:

+ sopra – sotto cos α:

+ a destra

– a sinistra

di sopra dell’asse x, e negativa quando P si trova al di sotto dell’asse x; analogamente, l’ascissa di P è positiva quando P si trova a destra dell’asse y, e negativa quando P si trova a sinistra dell’asse y.

Di conseguenza sarà:

sen α > 0 quando P è nel semipiano delle y positive, sen α < 0 quando P è nel semipiano delle y negative; invece, cos α > 0 quando P è nel semipiano delle x positive, cos α < 0 quando P è nel semipiano delle x negative. I segni delle funzioni seno e coseno nei vari quadranti saranno perciò quelli evidenziati qui a lato.

Per il teorema di Pitagora applicato al triangolo OHP, si ha inoltre (sen α)

²

+ (cos α)

²

= 1. Poiché non abbiamo fatto alcuna ipotesi circa l’angolo α, è facile convincersi che quest’equazione vale qualunque sia l’angolo α in questione. Quest’equazione è detta perciò l’identità fondamentale della goniometria e più spesso si scrive, con notazione abbreviata,

1 cos

sen

²

α +

²

α = ,

dove sen

²

α è da intendersi come una notazione compatta per (sen α)

²

, e cos

²

α una notazione compatta per (cos α)

²

.

La tangente come funzione dell’angolo α

Si definisce tangente dell’angolo α (e si indica con tg α) il rapporto tra la misura del segmento orientato HP e quella del segmento orientato OH:

tg α = HP/OH = sen α / cos α = y

P

/x

P

.

Sia R il punto di coordinate (0; 1); la tangente in R alla circonferenza incontra il prolungamento del lato OP nel punto T. Per le proprietà dei triangoli simili, il rapporto tra le lunghezze dei segmenti orientati HP ed OH è uguale a quello tra le lunghezze dei segmenti orientati RT ed OR; tenendo conto del fatto che OR è il raggio della circonferenza goniometrica, avremo dunque:

tg α = RT/OR = y

T

.

Il segno di tg α nei vari quadranti si ricava dal prodotto dei segni di sen α e cos α; esso sarà pertanto positivo quando le coordinate di P hanno segno concorde (nel 1° e nel 3° quadrante), negativo quando le coordinate di P hanno segno discorde (nel 2° e nel 4° quadrante).

Funzioni goniometriche di alcuni angoli particolari

α° α

rad

sen α cos α tg α

0° 0 0 1 0

30° 6

π

2 1

2 3

3 3

45° 4

π

2 2

2

2 1

60° 3

π

2 3

2

1 3

O

P

sen α

cos α tg α

H K

R T

α

tg α: –

tg α: – tg α: +

tg α: +

sen α cos α

tg α

90° 2

π 1 0 –

180° π 0 –1 0

270°

2

3π –1 0 –

360° 0 0 1 0

Angoli associati (angoli che differiscono da α per un multiplo intero di π/2)

Osservando la figura e tenendo inoltre conto della periodicità delle funzioni goniometriche, è immediato stabilire le relazioni che intercorrono tra le funzioni goniometriche relative all’angolo α e quelle relative agli angoli associati, ossia:

–α π/2 ± α π ± α 2π ± α

Abbiamo dunque:

( ) − α = − sen α

sen cos ( ) − α = cos α tg ( ) − α = − tg α

α

 =



 



 π + α 2 cos

sen  = − α



 



 π + α 2 sen

cos  = − α



 

  + π 2 ctg

tg x

α

 =



 



 π − α 2 cos

sen  = α



 



 π − α 2 sen

cos  = α



 



 π − α 2 ctg tg

( ^{π + α} ) ^{= − sen α}

sen ^cos ( ^{π + α} ) ^{= − cos α tg} ( ^{π + α} ) ^{= − tg α}

( π − α ) = sen α

sen cos ( π − α ) = − cos α tg ( π − α ) = − tg α

( 2 π + α ) = sen α

sen cos ( 2 π + α ) = cos α tg ( 2 π + α ) = tg α

( 2 π − α ) = − sen α

sen cos ( 2 π − α ) = cos α tg ( 2 π − α ) = − tg α

Formule di addizione e sottrazione

β α

± β α

=

= β

± α

sen cos cos

sen ) sen(

β α β

α

=

= β

± α

sen sen cos

cos ) cos(

∓ α β

β

±

= α β

±

α 1 tg tg

tg ) tg

tg( ∓

Formule di duplicazione (caso particolare di quelle di addizione, quando β = α) α

α

=

α ) 2 sen cos 2

sen( 1 2 sen 2 cos 1

sen cos

) 2 cos(

2 2

2 2

− α

= α

−

=

= α

− α

= α

α

−

= α

α

₂

tg 1

tg ) 2

2 tg(

Formule di bisezione cos

sen α = ± 1 − α 1 cos

cos α = ± + α α = ± 1 − cos α

tg

O

α π/2 + α

– α π + α

π/2 – α

π – α

(servono per trasformare una somma di funzioni goniometriche in un prodotto)

cos 2 sen 2

2

sen sen

β α β

±

= α

= β

± α

∓

cos 2 cos 2

2

cos cos

β

− α β +

= α

= β + α

sen 2 sen 2

2 cos cos

β

− α β +

− α

=

= β

− α

N.B.: Attenzione alla differenza tra i segni ± e ∓ . Formule per la risoluzione dei triangoli

Le seguenti formule sono valide per triangoli qualsiasi, anche non rettangoli.

Indichiamo i vertici del triangolo con le lettere A, B, C, i corrispondenti angoli con α, β, γ, ed i lati opposti con a, b, c.

Teorema dei seni

= γ

= β

α sen sen

sen

c b

a

Teorema del coseno o di Carnot

a

²

= b

²

+ c

²

– 2bc cos α;

b

²

= a

²

+ c

²

– 2ac cos β;

c

²

= a

²

+ b

²

– 2ab cos γ Area di un triangolo

β

= α

= γ

= sen

2 sen 1 2 sen 1 2

1 ab bc ac

S

Teoremi di frequente impiego

Teorema di Pitagora: a

²

= b

²

+ c

²

(ovvero il quadrato costruito sull’ipotenusa è la somma dei quadrati costruiti sui cateti) Primo teorema di Euclide: b

²

= b

1

· a, c

²

= c

1

· a

(ovvero il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo che ha per lati l’ipotenusa e la proiezione del cateto sull’ipotenusa; o ancora, un cateto è medio proporzionale tra l’ipotenusa e la sua proiezione sull’ipotenusa)

Secondo teorema di Euclide: h

²

= b

1

· c

1

(ovvero il quadrato costruito sull’altezza relativa all’ipotenusa è uguale al rettangolo che ha per lati le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa; o ancora, l’altezza relativa all’ipotenusa è media proporzionale tra le due proiezioni dei cateti sull’ipotenusa)

h

a

c b

c1 b1

A

B C H

Grafico della funzione y = sen x

La funzione y = sen x ha come dominio l’insieme dei numeri reali (D

sen x

= R) e come insieme immagine l’intervallo chiuso I = [–1; +1].

• È una funzione periodica, di periodo 2π.

Definizione. Una funzione y = f(x) è detta periodica se esiste un numero positivo T, detto periodo, tale che, per ogni x, risulta f(x + T) = f(x). [Si assume come periodo il più piccolo tra i numeri che godono di questa proprietà.]

Il periodo della funzione y = sen x è T = 2π. Infatti, sen x = sen (x + k·2π), dove k è un numero intero qualsiasi.

• È una funzione limitata.

Definizione. Una funzione y = f(x) è detta limitata se esiste un numero positivo M, tale che, per ogni x nel dominio, risulta –M ≤ f(x) ≤ M.

In questo caso, –1 ≤ sen x ≤ 1.

Osservando il grafico della funzione y = sen x, possiamo inoltre dire che essa è una funzione continua. La definizione esatta di funzione continua sarà data più avanti durante il corso; per il momento diciamo solo che il grafico di una funzione continua è costituito da un’unica linea, senza interruzioni.

Grafico della funzione y = cos x

La funzione y = cos x, come la precedente, ha come dominio l’asse reale (D

cos x

= R) e come insieme immagine l’intervallo chiuso I = [–1; +1].

-1 -0.5 0 0.5 1

-2pi -3pi/2 -pi -pi/2 0 pi/2 pi 3pi/2 2pi

-0.5 0 0.5 1

-2pi -3pi/2 -pi -pi/2 0 pi/2 pi 3pi/2 2pi

• periodica, di periodo 2π

• limitata

• continua

Grafico della funzione y = tg x

La funzione y = tg x ha come dominio l’insieme dei numeri reali, esclusi i punti per i quali cos x = 0 (quindi, D

tg x

= {x ∈ R | x ≠ π/2 + kπ}) e come insieme immagine l’intero insieme R.

La funzione y = tg x è una funzione:

• periodica, di periodo π

• non limitata

• non continua

La funzione tangente è periodica di periodo π, poiché, in tutti i punti x in cui essa è definita, risulta tg x = tg(x + kπ).

Abbiamo detto che la funzione tangente non è definita per x = π/2 + kπ. Ci interessa vedere che cosa succede quando x si avvicina ad uno di questi valori, ad esempio a π/2. Il comportamento è differente, a seconda che x tenda a π/2 da sinistra (x → π/2

^–

) o da destra (x → π/2

⁺

).

Si intuisce facilmente che:

• tg x prende valori positivi e grandi a piacere in valore assoluto, quanto più x prende valori vicini a π/2 ma inferiori a tale numero (cioè, quando x tende a π/2 “da sinistra”)

• tg x prende valori negativi e grandi a piacere in valore assoluto, quanto più x prende valori vicini a π/2 ma superiori a tale numero (cioè, quando x tende a π/2 “da destra”)

Utilizzando il formalismo matematico, questo si scrive:

+∞

−

=

→π

x

x

tg lim

2

−∞

+

=

→π

x

x

tg lim

2

“Il limite di tg x, per x che tende a π/2 da sinistra, è +∞.”

“Il limite di tg x, per x che tende a π/2 da destra, è –∞.”

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-2pi -3pi/2 -pi -pi/2 0 pi/2 pi 3pi/2 2pi