yet ti to NI

Melodie numerici per Qapprossimatione della solutione

Ii ^an problema ^di Cauchy 20197 ^{25 11}

y ^CH flt yet ^{to Cto tott}

yet _yo

Si divide lientauallo to to ^{1T in N}

soHoonfewalli de agnate ampiezza h NI

E to ^{i h i 0,1 N}

Si ^cerace un approssimatione della fanzione

soleezione del problema ^di Cauchy _y ^{Al Mei} ponti ti

U y ti ^{i L N}

C di solito ^so _{prende Uo} go ^y lol

La soluzione ^esa Ha ^{de una} fanzione

y ^Cto to ^{1T IR} _g ^{E C}

Ma la soluzione approssimata ^{e un Oe Hore}

lenore si pero ^{Misurare ad} esempio ⁱⁿ questo ^Modo

echt _{ozn.EE h} I yet ^Uil

h I

N

If ^metodo Ii Eulero ^si pao ^{derioare ossewando} che

y ^Ctc Yltial ^gail

T

Ci aspeHiamo quindi ^{che l} appossimatione

migliore quando ^{h o} y Hai ^yik

a f y'Hit flti.yck.tl

x

Comosco

y to _yo

yet ^I yltolthfcto.gl ^oll yothfCto.yd ^U

P ^{p l}

yltzlqyct.lthfct.iyct.llqu.thfct.ie _{s Perche mon sono pier} ^uz

a listenta initial dove ^conosco

oolaeesaltoyctj yctzlthfctuyctdln il uzthfctz.az Us

Eulero esplicito ^{Cim avanti}

i Eo fi

4 ^{4 th} f ^{Cti Ui}

Voglio ^stimare ly ^{Ct Ui per i o}

^{N I} Definisco

Ua yltit hflti.yct.is

ylti ⁱ ui.I ^{tycti i uEe.lt} uii ui.fi

yCte i fyCtil hfCti.yCtilD

yCti i ^yCkd hyktil hIy ^Ei

C ti tite

Supponiamo ^M _{te Eto} ^Max ly ^{Ct to}

Kott

CH E HI ^{M t l} _{U't Unit}

y Itis ^th f ^Cti _yet ^ill uit

ui hflto.uc.su

yCtil uithffCki.yctill ^fCti.uiI uE ^ui lui ^ua.IE _p ^{yctel uiI hL1yCtil uil c i}

f ^{It z he} uniformemente lipschitz'cana

me ^a Seconda variable ^{con costante} L

I I 1hL ly ^{ti uit}

ly ^{tea un l E} HIM ^{CHHL Ig Cfd Uil}

c HIM ^{ath L HIM ath L} ly ti ^{Ui I}

HIM ^{I t Cah Ll t ath} 42 ly ^{ti il Ui I}

HIM ^{Itatha ath} 42 _HIM tathhlylti.zt ui.cl HIM ^{It Chhath 1hL t ClthLP} lytta ^{U l}

E E HIM

j CithuitathL _{ly to} ^u _I

Se abbiamo definite _Uo yo ^{y to}

HIM efficient _me ^e

hz ^{Me e lh t e} hz th ^e

LD ^{I th L e e h L}

Y lti.nl ^{4 1 E} E ^{Me L e'T}

one.EE yctil uolEhzMze _{h o} ^o

Abbiamo ^{dimostnato che il motodo di Eulero}

e comoergente

e e ch

h 20

plena ^{e e un} infinitessimo ^{in h}

L dime di quest unfinitessimo ^{mi da}

l _{dime di} convergenza del ^me Todo

Il ^me Todo di Eulero _converge ^on Ondine T

r

i

to ^ti _t

U Uo ^th f ^{Lto Uol} _y Holtby ^to

Uz ^U th f ^{Ct u}

u yct.lt ^h f ^Ct yall

j ^{Cta UE th Ctu} fyctilthflti.ylk.lt

Zit ^{h Ende di tomcamento locale}

Ende de taoncamento globale

Echl _Ima.gg I Zi ^{Chi l}

Un ^{me Todo si dice consistent e se}

ee E ^{Ch o}

h 20

cio e se Henare ^di tioncamentoglobale ^{d on}

infinitessimo ^{in h L ondine di} consistenza e

l ^{a dime Ii} questo infinitessimo Nel ^{me Todo} di Eulero

f ^{get it 4 th Ctu} _ylkil hfcti.yct.it

th E ^{y t}

Echl ^E hz ^{M M _max IS CHI}

tectatott

Il ^{metodo di} Eulero ^e consistente ^com

Ordine T

If ^metodo di Gant Nicolson ^si _pub

derioare ^on questo ^Modo

tit ^tit

J ^{y LH} _B ^{dt fit yHD} _Il ^dt

ti _ti

Il

y Ctu yai hzffcti.ylkdltflta.iylti.tl

T ^{YI g t}

Formula dellenae _pee 4

il ^{me todo} del trapezio _it

ylta.I ^{ycto.lt he} fcti.yltibtflti.ylti.nl

ihIyMt

ylta.leyCtilthzfflti.y ^ti flta.iglki.tl

consider Lytta ^{y Hel} hzfflti.yltiltfk i.u.ylta.tl ^{YIg B}

MeTodo ^di Cronk ^Nicolson

Uo Yo

Per i ^o N ^I

Ui ^uit hz ff ^{Cti 4 f ta Ui 7}

y tin ⁴ y ^l ta UE ^t UE _uit

p ^Tm

u yltdthzfflf.yctittftti.my ^Hi

h y ^{t's t 4 uit}

D

u y ti th flti.ylh.tl ^{tf tiny Cta} D

Uiµ Uithz ^{flki ui} tfCti ^Ui

4 f ^{uit y Lt I ai th} fflti.ylt.it ^{fit u}

fait ylti fltaiui.it

lui uit ^{l E} ly ^ft _me 4 ^I th ^{LLly CH mr u 1L lytta 4}

lytta nail ^E Ely ^{C3 I HEL lyu.it u}

hzllycti.it 4 til

E ³ M ^{I 1 L} ly ^ti Uil

rt ^max ly ^CHI EL lytta ^{tui I}

tefto.t.tt

I f ^{L ly ti uit l t h M tH lyla at}

lytta _ua.IE thzLj hzIFet2Ihhe 1yCtil

uilSepeeodimostnare

che ^{il me Todo de}

Gant Nicolson ^d comoergente ^com ordine 2

Abbiamo demostrato ^{che il metodo de}

Gantz Nicolson ^e consistente com online 2

fly ^{Hit uit} YI ^{y E}

Qeiondi

E h ^E YI ^M

y tin y Cli fflte.yctilltflti.n.gl B

OCh3 c ^hz3y4sd

ylte ^{l yltilth} flti.yctill ^Q.ch

CHEYNE

f ^{e Lipschitz iama nella seconda oariabile}

ylta.l yct.tk fCti.ylteDtfCtEh gltilthfCti.y4M I

ki _t 0 tf Ta

Il ^{me Todo di} Heun uo y ^Cto

Per ^{i o N l} K f ^{Cti Uil}

Kz f te ^{th uit h Kil}

U it Uit Hz ^{K t} ka

Il ^{me todo} di Heun ^{e um} metodoesplia.to Abbiamo dimostrato ^che ha ^adina di consistonza

2

Si pero dimostnane che e conoagate ^{com ordine}

di convergenta ^Ieee