su s u p pi ia an ni i

G Ge eo om me et tr ri ia a m me et t ri r ic ca a: : P Pr ro od do ot tt to o s sc ca al la ar re e

v ve et tt to or ri ia al le e m mi is st to o P

Pe e rp r pe en nd di ic co ol la ar ri it tà à r re et tt te e- -p pi ia an ni i Pr P ro oi ie e zi z io on ni i o or rt to og go on na al l i i d di i p pt ti i

su s u p pi ia an ni i

Rosalba Barattero

ESERCITAZIONE N.8 23 aprile 2008

Vedi in appendice il brano scritto da Federigo Enriques 1

P ROPRIETA ’ G RAFICHE E P ROPRIETA ’ M ETRICHE

Proprietà geometriche

Proprietà grafiche Proprietà metriche

retta – piano:

giacenza/parallelismo

incidenza Distanza(lunghezza)

angolo

2

• L ^UNGHEZZA ( MODULO ) DI OP

in R

ⁿ

, con O=(0,0,…,0), P=(a

1

, a

2

,…, a

n

) || ^OP || =

2 2^{2 2}

1

a ... a

_n

a _{+ + +} in R

²

in R

³

1. P RODOTTO SCALARE DI VETTORI

⇔ u ⋅v=||u|| ||v|| cos θ ^(=numero) 0 ≤θ ≤π

1. ⇒ O RTOGONALITA ’

(concetto non definito in Geometria affine )

v

u

θ= u v

u ⋅v =0 ⇔ u ⊥ v

∀ u≠ 0, ∀ v ≠ 0 a

1

a

2

T EOREMA DI P ITAGORA T EOREMA DI P ITAGORA applicato 2 volte

u=( a

1

, a

2

), v= (b

1

, b

2

) in R

²

u=( a

1

, a

2

, a

3

), v= (b

1

,b

2

,b

3

) in R

³

u⋅v = a

1

b

₁

+a

₂

b

₂

u⋅v = a

1

b

1

+a

2

b

2

+a

3

b

3

3

2. P RODOTTO VETTORIALE DI VETTORI

uxv = (a

₂

b

₃

-a

₃

b

₂

, -( a

₁

b

₃

-a

₃

b

₁

), a

₁

b

₂

-a

₂

b

₁

)

• direzione ⊥ u, v

^(*)

• verso t.c. u, v, uxv formino terna dx

• modulo= ||u|| ||v|| sen uv (=area parallelogramma di lati u,v)

2. ⇒ PARALLELISMO

^(*)

⇒ A,B,C allineati ⇔ (B-A)x(C-A)=(0,0,0)

(*)

il concetto di parallelismo è già noto nell’affine, tramite il concetto di giacitura u=( a

1

, a

2

, a

3

)

v=( b

1

, b

2

, b

3

) nello spazio

Minori a segno alterno di

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

3 2 1

3 2 1

b b b

a a a

v u

uxv

v u

vxu

uxv=0(vettore nullo)⇔u // v ∀u≠ 0,v ≠ 0

(*)

u=( a

₁

, a

₂

, a

₃

) v=( b

₁

, b

₂

, b

₃

)

3 2 1

3 2 1

3 2 1

b b b

a a a

a a a

=0 ( R

₁

=R

₂

)

sviluppo con Laplace lungo R

1

: a

1

3 2

3 2

b b

a a - a

2

3 1

3 1

b b

a a + a

3

2 1

2 1

b b

a

a =0

u⋅ (uxv) =0 e analogamente v⋅ (uxv) =0

vettore

4

3. P RODOTTO M ISTO DI VETTORI

_u⋅vxw =

3 2 1

3 2 1

3 2 1

c c c

b b b

a a a

3. ⇒ C OMPLANARITA ’

A,B,C,D complanari ⇔ (B-A)⋅[(C-A)x(D-A)]=0

prima operazione da eseguire

numero

u=( a

₁

, a

₂

, a

₃

) v=( b

₁

, b

₂

, b

₃

) w=( c

₁

, c

₂

, c

₃

) nello spazio R

³

u ⋅vxw =0 ⇔ u, v, w complanari

∀ u≠ 0, v ≠ 0, w≠ 0

Se 3 dei 4 pti sono allineati , ad es. A,C,D, allora (C-A)x(D-A)=0 e quindi anche

(B-A)⋅[(C-A)x(D-A)]=0 e i 4 pti sono complanari.

Escludendo questo caso si ha:

A,B,C,D complanari ⇔

= 2

⎟ ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎜

⎝

⎛

−

−

− A D

A C

A B ρ

⇔ B-A ∈ <(C-A),(D-A)>

⇔ B-A ⊥ (C-A)x(D-A)

⇔ (B-A) ⋅[(C-A)x(D-A)] =0 A

D

B

C (C-A)x(B-A)

5

A PPLICAZIONI

1. I L PRODOTTO MISTO È UGUALE IN VALORE ASSOLUTO AL VOLUME DEL PARALLELEPIPEDO INDIVIDUATO DAI TRE VETTORI

Volume = Area base ⋅ altezza

Se indichiamo con θ l’angolo tra i vettori w e uxv, si ha:

Area base = ||uxw|| ( pag.3)

Altezza = h = ||w|| cos θ (vedi figura)

Nel caso della figura è θ<π/2, quindi cos θ>0 e di con- seguenza h>0, altrimenti se π/2<θ<π e quindi cos θ<0, si considera h= ||w|| | cos θ|

(ossia il cosθ è assunto in valore assoluto per avere h>0).

Quindi nel caso della figura ( cos θ>0) si ha : Volume = ||uxw|| (||w|| cos θ)

= (uxv)⋅w ( per def. di prodotto scalare)

E in generale :

Volume = | (uxv)⋅w ^|

=′valore assoluto del prodotto misto dei tre vettori′

w

h=||w|| cosθ θ

uxv

u

v

Area base = ||uxv||

6

2.Verificare che le rette r:

⎩ ⎨

⎧

=

−

= + +

2 0 1 2

z y

y

x , s:

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧

= +

=

−

= 1

2 3 2 z

t y

t

x

sono sghembe.

Sappiamo già verificare con gli strumenti della geometria affine se due rette sono sghembe, ma può essere interes- sante notare che l’introduzione del prodotto misto ci con- sente di affermare che:

r ed s sono sghembe ⇔ A,B,C,D non sono complanari, con A, B pti distinti su r, e C,D pti distinti su s.

Verifichiamo questa proprietà nel caso dell’esempio:

A(-1 ,1,-1)∈ r , B(0,-1,-3)∈ r, C(2,3,1)∈ s, D(0,7,1)∈ s A,B,C,D complanari ⇔ (B-A)⋅[(C-A)x(D-A)]=0

2 6 1

2 2 3

2 2

1 − −

⎯

⎯

⎯

⎯ →

⎯

_R1→R1+R2

= = 2 6 1

2 2 3

0 0 4

-32 ≠0 ⇒ r,s sghembe

…Applicabilità del metodo: de gustibus!

3. Individuazione di un piano tramite 3 pti non allineati Sempre con l’uso del prodotto misto precisiamo la forma cartesiana del piano per A(a

1

, a

2

, a

3

), B(b

1

, b

2

, b

3

), C(c

1

, c

2

, c

3

) ( che sapevamo già calcolare nell’ambito affine )

Detto P(x,y,z) il pto corrente su π , si ha P-A, B-A, C-A complanari

⇒ π: ⁰

3 3 2 2 1 1

3 3 2 2 1 1

3 2

1

=

−

−

−

−

−

−

−

−

−

a c a c a c

a b a b a b

a z a y a x

7

4. Un ausilio per passare dalla forma cartesiana alla forma parame- trica di una retta di R

³

, mediante l’uso del prodotto vettoriale.

r: ² ₂ ³ _{5 11} ^{1 0} _{0 :} ^:

⎩ ⎨

⎧

=

−

− +

=

− +

−

β α z

y x

z y

x

Se u∈D(r) si ha u ⊥ N

α

, u ⊥ N

β

⇒ si può scegliere u= N

_α

x N

_β

N

_α

=(2,-3,1), N

_β

=(1,2,-5)

Della matrice ⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

−

− 5 2 1

1 3

2 determiniamo i minori di ordine 2 a segno alterno: ⇒ u= N

_α

x N

_β

(13,11,7)

Ora basta trovare un pto di r , ad es. P(5,3,0) e si ha : r: P+<(13,11,7)>

⇒ r: _⎪

⎩

⎪ ⎨

⎧

= +

= +

= t z

t y

t x

7 11 3

13 5

t ∈R : forma parametrica di r

Osservazione. Al di là dell’applicazione ( facoltativa), questa informazio-

ne fornita dal prodotto vettoriale è di interesse anche nella teoria dei

sitemi : ci dice come trovare una soluzione particolare del sistema

omogeneo associato ! (essendo D(r) l’insieme delle ∞

¹

sol. del s.o.a. )

8

ESERCIZIO 1.

Rette - piani nello spazio – ortogonalità

Dato il piano π: x-y+2z-1=0 e il punto P(1,0,-1), determinare:

a) due piani passanti per P e perpendicolari a π b) la retta passante per P e perpendicolare a π c) il punto Q proiezione ortogonale di P su π.

a) Controlliamo se P∈ π sostituendo in π le cooordinate di P:NO ! Occorre sapere che un piano si individua tramite un vettore normale e un suo pto

P Q

N

N= (a,b,c) vettore ortogonale ad ogni vettore di D(π)

Q(x

0

, y

0

, z

0

) pto di π P(x,y,z) pto corrente su π

⇒ P-Q∈ D(π)

⇒ N ⋅ P-Q =0

⇒ (a,b,c)⋅( x- x

0

, y- y

₀

, z- z

₀

)=0

⇒ a(x- x

0

)+ b(y- y

0

)+c(z- z

0

)=0 equazione cartesiana di π

P π

π ⊥α ⇔ N

π

⊥ N

α

α : a(x-1) +b(y-0) +c(z+1) =0 N

_π

= (1,-1,2), N

_α

=(a,b,c)

⇒ N

_π

⋅ ^N

α

=0 ⇒ a-b+2c=0

⇒ Infiniti piani , ad esempio

⇒ N

_α

=(a,b,c) = (1,1,0) α : (x-1) + (y)=0

α : x+y-1=0

Un altro piano β :2(y)+1(z+1)=0.

π

9

b) Retta r per P , ⊥ π

da a) è immediato che r= α∩β : _⎩ ^{⎨ ⎧} ₂ y ⁺ ₊ z ⁻ ₊ ¹ ₁ ⁼ ₌ ⁰ ₀ y

x

A prescindere dai 2 piani trovati in a) Si può procedere ad esempio così:

Se X(x,y,z) è il pto corrente su r, N

_π

= (1,-1,2), P(1,0,-1) si ha:

X-P = t N

_π

⇔ X= P+ t N

_π

⇔ r: _⎪

⎩

⎪ ⎨

⎧

+

−

=

−

= +

= t z

t y

t x

2 1 1

t∈R

c) Per def. il pto P.O. di P su π è

il pto Q di π t.c. (P-Q) ⋅ (R-Q) = 0 ∀ R∈ π

r ⊥ π ⇔ u

r

⁄⁄ N

π

⇔ D(r)=< N

π

>

P π

u

r

N

_π

P

Q R

In questo caso, sapendo che r ( già determinata) è ortogonale al piano e quindi a tutte le rette del piano, ne segue : Q = r∩ π

⇒

⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪

⎨

⎧

= +

+

−

=

−

= +

=

0 1 - 2z y - x

2t 1 z

t y

t 1 x

⇒ … t=1/3

⇒ Q(4/3, -1/3, -1/3)

10

ESERCIZIO 2.

Proiezione ortogonale di un pto su un piano

Determinare la proiezione ortogonale del pto P(3,3,3) sul piano π nei seguenti casi:

a) π: {(x,y,z)∈R

³

| (x,y,z)=(1,1,1)+ s(2,1,-1)+t(1,0,1)}

b) π: 3x+2y-z=5.

a)

Per def. il pto P.O. di P su π è il pto Q di π t.c.

(P-Q) ⋅ (R-Q) = 0 ∀ R∈ π

u=(2,1,-1)∈ D(π), v=(1,0,1) ∈ D(π) , u, v L.I. , quindi u,v sono una base per D(π) , quindi:

(P-Q)⋅u = 0 e (P-Q)⋅v = 0 ⇒ (P-Q)⋅(R-Q)=0 ∀ R∈ π Da notare che si può scrivere u=R

₁

– Q , v= R

₂

– Q con R

1

, R

2

pti di ∈ π !

Il pto Q corrente su π è Q(1+2s+t,1+s,1-s+t) e deve risultare:

(P-Q)⋅u = 0 e (P-Q)⋅v = 0

⇔ _⎩ ^{⎨ ⎧} ₃ ^{( 3} ₋ ⁻ ₁ ¹ ₋ ⁻ ₂ ² _s ^s ₋ ⁻ _t ^t _{, 3} ^{, 3} ₋ ⁻ ₁ ¹ ₋ ⁻ _s ^s _{, 3} ^{, 3} ₋ ⁻ ₁ ¹ ₊ ⁺ _s ^s ₋ ⁻ _t ^t ₎ ⁾ _⋅ ^⋅ _{( 1} ^{( 2} _{, 0} ^{, 1} _{, 1} ^{, −} ₎ ¹ ₌ ⁾ ₀ ^{= 0} P

u Q

v

A(1,1,1) B(3,2,0) pti di π (s=0,t=0) (s=1,t=0)

B-A=u=(2,1,-1) vettore di D(π) E non di π !!!

Da non confondere !

11

⇒ ⎩ ⎨ ⎧

=

⋅

− +

−

−

−

=

−

⋅

− +

−

−

−

0 ) 1 , 0 , 1 ( ) 2 , 2 , 2 2 (

0 ) 1 , 1 , 2 ( ) 2 , 2 , 2 2 (

t s s t s

t s s t s

⇒ ⎩ ⎨ ⎧

=

− + +

−

−

= +

−

−

− +

−

−

0 2

2 2

0 2

2 2 4 4

t s t s

t s s t s

⇒ …

⎪ ⎪

⎩

⎪⎪ ⎨

⎧

=

=

11 20 11 4

t s

⇒ Q(1+2s+t,1+s,1-s+t) con s, t trovati dà … Q ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

11 , 27 11 , 15 11

39 .

^(*)

b) P.O. di P(3,3,3) su π: 3x+2y-z=5.

La retta r passante per P e con vettore direz. u=N(3,2,-1) interseca π in Q. Il pto Q è il pto cercato, poiché P-Q ⊥ v ∀ v∈D(π) e in particolare (P-Q) ⊥ (R-Q) = 0 ∀ R∈ π

r :

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧

−

= +

= +

= t z

t y

t x

3 2 3

3 3

⇒ r∩π :

⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪

⎨

⎧

=

−

− +

−

= +

= +

=

0 5 2

3 3

2 3

3 3

z y x

t z

t y

t x

⇒ r∩π :

⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪

⎨

⎧

=

−

−

− + + +

−

= +

= +

=

0 5 ) 3 ( ) 2 3 ( 2 ) 3 3 ( 3

3 2 3

3 3

t t

t t z

t y

t x

⇒ r∩π :

⎪ ⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎪

⎨

⎧

−

=

−

= +

= +

=

2 1 3

2 3

3 3

t

t z

t y

t x

⇒ r∩π =Q ^⎜ _⎝ ^⎛ ₂ ^{3 , 2 ,} ₂ ^{7 ⎟} _⎠ ^⎞

(*) Utile esercizio:rifare a) con la tecnica seguita in b) seguente, utilizzando la formula 3. di pag.5

12 A

PPENDICE

Così descrive la differenza tra geometria affine e metrica Federigo Enriques, uno dei grandi geometri italiani del Novecento.

13