To: Y(1) To: Y(1) Amplitude Amplitude To: Y(1) To: Y(1) Amplitude Amplitude

RISPOSTA PERMANENTE NEI SISTEMI LINEARI

- -

u(t) G(s) = B(s) y _f (t)

A(s) = b n s ⁿ + · · · + b ⁰ s ⁿ + · · · + a ⁰

• Classe di funzioni di ingresso

U (s) = Q(s) P (s) =

l

Q

i=1

(s − z ⁱ )

r

Q

i=1

(s − p ⁱ )

, l ≤ r

• Forma di Y ^f (s) (caso p i distinti e 6= dai poli di G(s))

Y _f (s) = G(s)U (s) = H(s) +

n

X

i=1

k i

s − p ⁱ

• Scomposizione risposta forzata: y ^f (t) = y _f ^G (t) + y _f ^U (t).

– Parte dipendente dai poli di G(s) (“transitorio”: tende a zero se G(s) ` e stabile) y _f ^G (t) = L ⁻¹ {H(s)}

– Parte dipendente dai poli di U (s) (“regime permanente”) y _f ^U (t) = L ⁻¹

( _n X

i=1

k i

s − p ⁱ

)

RISPOSTA PERMANENTE NEI SISTEMI LINEARI

• ` E di pi` u semplice valutazione rispetto all’intera risposta forzata.

• Fornisce indicazioni della risposta dopo il transitorio iniziale.

• Sono di pratico interesse i casi in cui l’ingresso ` e una funzione limitata del tempo (e che non tende a zero):

1. Risposta permanente al Gradino:

u(t) = U 1 (t) ←→ U(s) = U s y _f ^U (t) = U G(0) 1 ^(t)

2. Risposta Armonica (o Risposta in Frequenza):

u(t) = U sin ωt ←→ U(s) = U ω s ² + ω ² y _f ^U (t) = U |G(jω)| sin(ωt + ⁶ G(jω))

- -

U sin ωt G(s) U |G(jω)| sin(ωt + ⁶ G(jω))

RISPOSTA ARMONICA

Esempio - Sistema del I ordine:

u(t) = sin ωt G(s) = 1

s + 1

Time (sec.)

Amplitude

ω= 0.5

0 5 10 15 20 25

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

From: U(1)

To: Y(1)

Time (sec.)

Amplitude

ω= 1

0 5 10 15 20 25

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

From: U(1)

To: Y(1)

Time (sec.)

Amplitude

ω= 5

0 5 10 15 20 25

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

From: U(1)

To: Y(1)

Time (sec.)

Amplitude

ω= 10

0 5 10 15 20 25

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

From: U(1)

To: Y(1)

RISPOSTA ARMONICA

Esempio - Sistema del II ordine:

u(t) = sin ωt

G(s) = 1

s ² + 0.5s + 1

Time (sec.)

Amplitude

ω= 0.5

0 5 10 15 20 25

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

From: U(1)

To: Y(1)

Time (sec.)

Amplitude

ω= 1

0 5 10 15 20 25

−2

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5 2

From: U(1)

To: Y(1)

Time (sec.)

Amplitude

ω= 5

0 5 10 15 20 25

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

From: U(1)

To: Y(1)

Time (sec.)

Amplitude

ω= 10

0 5 10 15 20 25

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

From: U(1)

To: Y(1)

RISPOSTA ARMONICA: DIAGRAMMI DI BODE

Rappresentazione grafica della risposta in frequenza:

• Diagramma di Bode (Modulo): Ascisse: log 10 (ω) — Ordinate: |G(jω)| dB

= 20 log . ₁₀ |G(jω)|

• Diagramma di Bode (Fase): Ascisse: log ₁₀ (ω) — Ordinate: ⁶ G(jω) .

= arctan

n Im [G(jω)]

Re [G(jω)]

o

Frequency (rad/sec)

Phase (deg); Magnitude (dB)

Bode Diagrams

10⁻¹ 10⁰ 10¹

−200

−150

−100

−50 0

−40

−30

−20

−10 0 10 20

RISPOSTA ARMONICA: DIAGRAMMI DI BODE

E utile per G(s) la forma in costanti di tempo (o di Bode) `

G(jω) = K B (1 + τ ₁ ⁰ jω) · · · (1 + τ m ⁰ jω) (jω) ^h (1 + τ 1 jω) · · · (1 + τ ⁿ jω)

Principali propriet` a dei diagrammi di Bode.

• La scala in decibel trasforma prodotti in somme:

|G(jω)| dB = |K ^B | dB + |1 + τ ₁ ⁰ jω| dB + · · · + |1 + τ m ⁰ jω| dB −

−h|ω| dB − |1 + τ ¹ jω| dB − · · · − |1 + τ ⁿ jω| dB

• La fase di prodotti ` e anch’essa uguale alla somma delle fasi:

6 G(jω) = ⁶ K _B + ⁶ (1 + τ ⁰ ₁ jω) + · · · + ⁶ (1 + τ ⁰ _m jω)−

−h(π/2) − ⁶ (1 + τ 1 jω) − · · · − ⁶ (1 + τ n jω)

• Inoltre:

¯

¯ G(jω) ⁻¹ ¯

¯ dB = − |G(jω)| _dB

6 G(jω) ⁻¹ = − ⁶ G(jω)

DIAGRAMMI DI BODE DI SISTEMI ELEMENTARI

Guadagno semplice: G(s) = K =⇒ |G(jω)| ^dB = 20 log ₁₀ |K| , ⁶ G(jω) = ⁶ K = 0 (π)

Frequency (rad/sec)

Phase (deg); Magnitude (dB)

Bode Diagrams

−20

−15

−10

−5 0 5 10 15 20

10⁻¹ 10⁰ 10¹

−45 0 45 90 135 180 225

K<0

K>0

|K|dB

Integratore: G(s) = 1

s =⇒ |G(jω)| dB = −20 log 10 (ω) , ⁶ G(jω) = −π/2

Frequency (rad/sec)

Phase (deg); Magnitude (dB)

Bode Diagrams

−40

−30

−20

−10 0 10 20

10⁻¹ 10⁰ 10¹

−180

−135

−90

−45 0

DIAGRAMMI DI BODE DI SISTEMI ELEMENTARI

Polo semplice: G(s) = 1 1 + sτ

|G(jω)| ^dB = −20 log 10

p 1 + ω ² τ ^{2 6} G(jω) = −arctan(ωτ )

Frequency (rad/sec)

Phase (deg); Magnitude (dB)

Bode Diagrams

−20

−15

−10

−5 0 5 10

10⁻¹ 10⁰ 10¹

−90

−45 0

ωτ

DIAGRAMMI DI BODE DI SISTEMI ELEMENTARI

Poli complessi coniugati: G(s) = 1 1 + 2ζ _ω ^s

n

+ _ω ^s

|G(jω)| ^dB = −20 log 10

s

·

1 −

³ _ω

ω n

´ ² ¸ ²

+ 4ζ ²

³ _ω

ω n

´ ²

6 G(jω) = −arctan

"

2ζ ¡ _ω

ω

¢

1 − ¡ _ω

ω

¢ 2

#

Frequency (rad/sec)

Phase (deg); Magnitude (dB)

Bode Diagrams

−40

−30

−20

−10 0 10 20

10⁻¹ 10⁰ 10¹

−180

−135

−90

−45 0

ω / ω

ζ

ζ

DIAGRAMMI DI BODE DI SISTEMI ELEMENTARI

Elemento di ritardo: G(s) = e ^−sT , ( T > 0 )

|G(jω)| ^dB = 0 6 G(jω) = −ωT

Frequency (rad/sec)

Phase (deg); Magnitude (dB)

Bode Diagrams

−50

−40

−30

−20

−10 0 10

10⁻² 10⁻¹ 10⁰

−200

−150

−100

−50 0 50

PARAMETRI CARATTERISTICI RISPOSTA ARMONICA

• B ³ : Banda a 3dB

Pulsazione corrispondente ad una attenuazione di 3dB rispetto al modulo per ω = 0

=⇒ |G(jB ³ )| = |G(0)|/ √ 2

• M ^r : Picco di risonanza

Picco del modulo della risposta in frequenza

=⇒ M r = max

ω |G(jω)|

• ω ^r : Pulsazione di risonanza

Pulsazione corrispondente al picco del modulo della risposta in frequenza

PARAMETRI CARATTERISTICI SISTEMI ELEMENTARI

Sistemi del I ordine:

• Banda a 3dB

B 3 = 1/|τ|

Sistemi del II ordine:

• Banda a 3dB

B 3 = ω n

q

1 − 2ζ ² + p

2 − 4ζ ² + 4ζ ⁴

• Picco di risonanza

M r = 1

2ζ p

1 − ζ ²

• Pulsazione di risonanza

ω r = ω n

p 1 − 2ζ ²

RELAZIONI PARAMETRI SISTEMI II ORDINE

• B ³ in funzione di ζ: B 3 = ω n

q

1 − 2ζ ² + p

2 − 4ζ ² + 4ζ ⁴

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6

ζ B₃/ω_n

• M ^r in funzione di ζ: M r = ¹

2ζ √

1−ζ

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

ζ Mr

ESEMPI DI TRACCIAMENTO DIAGRAMMI DI BODE

G(s) = 8(s ² + s + 15)

s ³ + 9s ² + 15s + 120 , G(s) = e ^−sT 1 + s

s(1 + 10s)(1 + 0.1s) ²

• Forma di Bode

G(s) =

1 + 2ζ z s

ω

+ _ω ^s

(1 + sτ p )(1 + 2ζ p s

ω

+ _ω ^s

)

ω n

≈ 3.873; ζ z ≈ 0.129; τ p ≈ 0.113; ω n

≈ 3.685; ζ p ≈ 0.022

10

10

10

10

−40

−20 0 20

Frequency (rad/sec)

Gain dB

10

10

10

10

−30

−60

−90 0 30

Frequency (rad/sec)

Phase deg

DIAGRAMMI POLARI O DI NYQUIST DI G(jω)

Il diagramma polare ` e la curva nel piano di complesso descritta da G(jω) al variare della pulsazione ω in [0, ∞].

• Diagramma di Nyquist: Ascisse: Re[G(jω)] — Ordinate: Im[G(jω)]

Real Axis

Imaginary Axis

Nyquist Diagrams

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

DIAGRAMMI DI NYQUIST DI SISTEMI ELEMENTARI

Guadagno semplice: G(s) = K =⇒ Re[G(jω)] = K , Im[G(jω)] = 0

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

K

°

Integratore: G(s) = 1

s =⇒ Re[G(jω)] = 0 , Im[G(jω)] = − ¹ _ω

Real Axis

Imaginary Axis

Nyquist Diagrams

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−10

−8

−6

−4

−2 0 2 4 6 8 10

DIAGRAMMI DI NYQUIST DI SISTEMI ELEMENTARI

Sistema del I ordine: G(s) = 1

1 + sτ , (τ > 0)

=⇒ Re[G(jω)] = 1

1 + ω ² τ ² , Im[G(jω)] = −ωτ 1 + ω ² τ ²

Real Axis

Imaginary Axis

Nyquist Diagrams

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8

DIAGRAMMI DI NYQUIST DI SISTEMI ELEMENTARI

Sistema del II ordine: G(s) = 1 1 + 2ζ _ω ^s

n

+ _ω ^s

n

, (ω _n > 0 , 0 ≤ ζ < 1)

=⇒ Re[G(jω)] = 1 − ¡ _ω

ω

¢ ² h

1 − ¡ _ω

ω

¢ 2 i ²

+ 4ζ ² ¡ _ω

ω

¢ 2 , Im[G(jω)] = −2ζ ¡ _ω

ω

¢ h

1 − ¡ _ω

ω

¢ 2 i ²

+ 4ζ ² ¡ _ω

ω

¢ 2

Real Axis

Imaginary Axis

Nyquist Diagrams

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−3

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1

ζ

DIAGRAMMI DI NYQUIST DI SISTEMI ELEMENTARI

Elemento di ritardo: G(s) = e ^−sT , ( T > 0 )

=⇒ Re[G(jω)] = + cos ωT , Im[G(jω)] = − sin ωT

Real Axis

Imaginary Axis

Nyquist Diagrams

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

SINGOLARIT ` A DEI DIAGRAMMI DI NYQUIST

G(s) = 1

s ^h G ⁰ (s)

• Un polo in zero (h = 1) → asintoto verticale.

G(s) = G ⁰ _o

s + G ⁰ ₁ + G ⁰ ₂ s + G ⁰ ₃ s ² + . . .

G ⁰ _o .

= G ⁰ (0); G ⁰ ₁ .

= d

ds G ⁰ (s) _|s=0 ; G ⁰ ₂ .

= 1 2!

d ²

ds ² G ⁰ (s) _|s=0 ;

• Un polo doppio in zero (h = 2) → genericamente asintoto parabolico.

G(s) = G ⁰ _o

s ² + G ⁰ ₁

s + G ⁰ ₂ + G ⁰ ₃ s . . .

• Esempi.

G(s) = 1

s(s + 1) G(s) = 1

s ² (s + 1)

SINGOLARIT ` A DEI DIAGRAMMI DI NYQUIST

G(s) = 1

s ² + ˆ ω ² G ⁰ (s)

• Un polo per s = jˆ ω → asintoto obliquo.

G(s) = 1

s ² + ˆ ω ² G ⁰ (s) = 1

s − jˆ ω G ⁰⁰ (s)

G(s) = G ⁰⁰ _o

s − jˆ ω + G ⁰⁰ ₁ + G ⁰⁰ ₂ (s − jˆ ω) + . . .

G ⁰⁰ _o .

= G ⁰⁰ (jˆ ω); G ⁰⁰ ₁ .

= d

ds G ⁰⁰ (s) _{|s=jˆ ω} ; G ⁰⁰ ₂ .

= 1 2!

d ²

ds ² G ⁰⁰ (s) _{|s=jˆ ω}

• Esempio.

G(s) = 1

(1 + s)(1 + s ² )