ESERCIZI su CAMPI VETTORIALI Calcolare il lavoro dei seguenti campi vettoriali lungo la curva assegnata 1

15. ESERCIZI su CAMPI VETTORIALI Calcolare il lavoro dei seguenti campi vettoriali lungo la curva assegnata 1. F(x, y) = (x², xy) lungo di equazione cartesiana x = y², y 2 [0, 1];

2. F(x, y) = (y, x²) lungo la curva semplice avente per sostegno la frontiera positivamente orientata del dominio D in figura

3. F(x, y, z) = (y z, z +x, x+y) lungo curva di parametrizzazione '(t) = (2 cos t,p

2 sin t,p

2 sin t), t2 [0, 2⇡]

4. F(x, y, z) = (z, y², (x 2)²) lungo la curva semplice di sostegno l’intersezione della sfera x²+ y²+ z²= 4x con il piano x = z + 2 nella regione y 1 e percorsa in modo tale che il vettore T tangente alla curva nel punto P (2, 2, 0) verifichi T· k < 0

Dopo aver stabilito se i seguenti campi vettoriali risultano irrotazionali e conservativi nel loro dominio, determinarne, se esiste, un potenziale e calcolarne il lavoro lungo la curva data.

5. F(x, y) =⇣

xy + 2 sin x,^x₂² + cos y⌘

, lavoro lungo la curva di equazione cartesiana x = ⇡² y², y2 [ ⇡, ⇡];

6. F(x, y) = (_x^y2, +¹_y, ¹_{x y}^x2), lavoro lungo la curva '(t) = (t²+ 1, t + 1), t2 [0, 1];

7. F(x, y) =⇣

y²x

x² 1+ x², y log(x² 1)⌘

, lavoro lungo la curva '(t) = (3 + cos t, sin t), t2 [0, ⇡];

8. F(x, y, z) = (xz², yz², z(x²+ y²+ z²)), lavoro lungo la curva '(t) = (cos t, sin t, t), t2 [0, 2⇡]

Utilizzando il Teorema di Green calcolare l’area delle seguenti regioni del piano

9. la regione del primo quadrante del piano delimitata dall’astroide '(t) = (cos³t, sin³t), t2 [0,^⇡2]

10. la regione del piano delimitata da un petalo della rodonea di equazione polare ⇢(✓) = sin(2✓), ✓2 [0,^⇡2] Calcolare il flusso dei seguenti campi vettoriali attraverso la superficie indicata

11. F(x, y, z) = 2xy², 2x²y, (x²+ y²)z² uscente dalla superficie lateraleS del cilindro x²+ y²= 4, z2 [0, 2]

12. F(x, y, z) = (y, x, z) uscente dalla superficieS di sostegno una sfera di centro l’origine e raggio r

13. F(x, y, z) = (y, x, 1) uscente dalla superficie avente per sostegno la porzione di paraboloideS = {(x, y, z) 2 R³| z = x²+ y², z 1};

14. F(x, y, z) = (xy² + z³, x²+ ^y₃³, 2(x²z + ^z₃³ + 2)) uscente dalla superficie semplice S frontiera del solido T ={(x, y, z) 2 R³| x²+ y²+ z² 2, x²+ y² z², y 0, z 0}

. Risolvere gli esercizi 1-30 del capitolo 6 del libro di testo

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Esercizi con video risoluzione

(1) Stabilire se il campo vettoriale F(x, y) = (y²+ cos x, 2xy + 1) `e irrotazionale e conservativo nel suo dominio e calcolarne un potenziale

(2) Stabilire se il campo vettoriale F(x, y) = (1 + log y,^x_y 2) `e conservativo nel suo dominio e calcolarne un potenziale. Calcolarne il lavoro lungo la curva (t) = (2 cos t, 2 sin t), t2 [^⇡4,^3⇡₄ ]

(3) Calcolare il lavoro del campo vettoriale F(x, y, z) = (xy sin z,¹₂x^{2 e}_z^y,^e_z^y2 x cos z) lungo la curva (t) = (2 cos t, sin t, t + ⇡), t2 [0, ⇡]

(4) Stabilire se la forma di↵erenziale ! = yx^{y 1}dx + x^ylog xdy `e esatta e in caso a↵ermativo determinare un suo potenziale.

(5) Stabilire se la forma di↵erenziale ! = (sin y y cos x)dx (sin x x cos y)dy `e esatta e in caso a↵ermativo determinare un suo potenziale.

(6) Stabilire se la forma di↵erenziale ! = (e^y y²)dx + (3y² 2xy + xe^y)dy `e esatta e in caso a↵ermativo determinare un suo potenziale. CalcolareR

! essendo la curva di parametrizzazione (t) = (5+cos(⇡t), t²+1), t2 [0, 1]

(7) Stabilire se la forma di↵erenziale ! = _(x+1)^y2xex2dx + ^2y_x+1^2exdy `e esatta in A ={(x, y) 2 R²| x > 1} e in caso a↵ermativo determinare un suo potenziale. Calcolare, se esiste, R

! essendo = @D⁺ dove D `e il triangolo di vertici (0, 0), (1, 0) e (1, 1).

Per risolvere i precedenti esercizi tradurre in termini di campi vettoriali come indicato qui sotto (vedi anche paragrafo 6 del capitolo 5 del libro di testo)

Si dice forma di↵erenziale lineare in Rⁿ un’applicazione ! definita in A ✓ Rⁿ a valori in (Rⁿ)^⇤, dove con (Rⁿ)^⇤si `e denotato lo spazio duale diRⁿ, costituito dalle applicazioni lineari daRⁿinR. Una forma di↵erenziale

! `e quindi un’applicazione che a ogni elemento x2 A associa un’applicazione lineare !(x) 2 (Rⁿ)^⇤.

Ricordiamo che l’insieme (Rⁿ)^⇤ risulta uno spazio vettoriale di dimensione n. In particolare, denotate con dxi2 (Rⁿ)^⇤le applicazioni

dxi(h) = ei· h = hⁱ, 8h = (h¹, h2, ..., hn)2 Rⁿ,

si pu`o provare che l’insieme{dx<sup>1</sup>; dx2; ...; dxn} costituisce una base di (R<sup>n</sup>)<sup>⇤</sup>, detta base duale. Se ! `e una forma di↵erenziale in A, per ogni x2 A potremo pertanto rappresentare !(x) 2 (Rⁿ)^⇤come

!(x) = a1(x)dx1+ a2(x)dx2+ ... + an(x)dxn

e le funzioni ai: A✓ Rⁿ! R, i = 1, ..., n, verranno dette coefficienti della forma di↵erenziale !.

Si pu`o provare che lo spazio (R<sup>n</sup>)<sup>⇤</sup> risulta isomorfo aR<sup>n</sup>, l’isomorfismo `e dato dall’applicazione g : (Rⁿ)^⇤! Rⁿ che alle forme dxi della base duale di (Rⁿ)^⇤ associa i vettori ei della base canonica diRⁿ, g(dxi) = ei per ogni i = 1, 2, ..., n. Tramite tale isomorfismo abbiamo che a ogni forma di↵erenziale ! : A✓ Rⁿ! (Rⁿ)^⇤ possiamo associare il campo vettoriale F!: A✓ Rⁿ! Rⁿ definito da

F!(x)· h = !(x)(h), 8x 2 A, h 2 Rⁿ. che ha per componenti i coefficienti di !, pertanto

!(x) = a1(x)dx1+ a2(x)dx2+ ... + an(x)dxn , F!(x) = (a1(x), a2(x), ..., an(x)).

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I concetti di campo conservativo e irrotazionale, vengono tradotti in termini di forme di↵erenziali come segue.

Si dice che una forma di↵erenziale ! : A✓ Rⁿ! (Rⁿ)^⇤ `e esatta in A se esiste una funzione U : A✓ Rⁿ ! R derivabile parzialmente in A tale che dU (x) = !(x) per ogni x2 A essendo dU : A ✓ Rⁿ! (Rⁿ)^⇤, il di↵erenziale di U , la forma di↵erenziale:

dU (x) = @U

@x1

(x)dx1+ @U

@x2

(x)dx2+ ... + @U

@xn

(x)dxn, x2 A.

In tal caso la funzione U `e detta primitiva della forma di↵erenziale ! in A. Si ha allora che

! `e esatta in A , F! `e conservativo in A.

Precisamente, U `e una primitiva di ! in A se e solo se U `e un potenziale di F!in A.

Data una forma di↵erenziale ! continua in A ✓ Rⁿ (ovvero di coefficienti continui in A) e data una curva : [a, b]⇢ R ! Rⁿ di classe C¹ si definisce

Z

! = Z

!(x)(T(x))ds

dove T(x) `e il vettore tangente a in x. Abbiamo che se F! `e il campo associato alla forma di↵erenziale !, l’integrale lungo della forma ! corrisponde al lavoro del campo F! lungo :

Z

! = Z

F!· ds.

Infine, una forma di↵erenziale !(x) = a1(x)dx1+ a2(x)dx2+ ... + an(x)dxn di classeC¹ in un aperto A✓ Rⁿ

`e detta forma di↵erenziale chiusa in A se risulta

@ai

@xj

(x) = @aj

@xi

(x), 8x 2 A, i = 1, ..., n.

Abbiamo allora che se F!`e il campo vettoriale associato alla forma di↵erenziale !, si ha

! `e chiusa in A , F! `e irrotazionale in A

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