MATEMATICA – Secondo Biennio

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MATEMATICA – Secondo Biennio

LICEO SCIENTIFICO , SCIENTIFICO opzione SCIENZE APPLICATE e SCIENTIFICO sezione SPORTIVO

PROFILO GENERALE E COMPETENZE

Il percorso liceale fornisce allo studente gli strumenti culturali e metodologici per una comprensione approfondita della realtà, affinché egli si ponga con atteggiamento razionale, creativo, progettuale e critico di fronte alle situazioni, ai fenomeni e ai problemi, acquisendo conoscenze, abilità e competenze adeguate al proseguimento degli studi di ordine superiore o all’inserimento nella vita sociale e nel mondo del lavoro.

In particolare lo studente del liceo scientifico, al termine del secondo biennio, per quanto concerne l’area matematica, avrà appreso i concetti e i metodi elementari della disciplina, inquadrando le teorie studiate nel contesto storico in cui si sono sviluppate.

Inoltre dovrà:

• Padroneggiare i principali concetti e metodi di base della disciplina

• Aver consapevolezza del rapporto tra lo sviluppo del pensiero matematico e il contesto storico, con particolare riferimento alla matematica greca

• Avere familiarità con l’approccio assiomatico

• Saper cogliere la potenzialità delle applicazioni dei risultati scientifici nella vita quotidiana

• Saper utilizzare strumenti di calcolo e di rappresentazione per la modellizzazione e la risoluzione di problemi

• Comprendere il linguaggio formale specifico della matematica

• Utilizzare criticamente strumenti informatici nelle attività di studio e di approfondimento.

Competenze base di matematica a conclusione del secondo biennio:

1. Conoscere ed analizzare vari tipi di funzioni algebriche e trascendenti

2. Utilizzare le funzioni per costruire semplici modelli di crescita o decrescita esponenziale e di andamenti periodici

3. Lo studio dei numeri complessi porterà poi lo studente ad analizzare il problema delle soluzioni di un’equazione polinomiale

4. Analizzare le proprietà delle coniche dal punto di vista sintetico ed analitico, mostrando alcuni modelli per lo studio di fenomeni fisici.

5. Individuare le strategie appropriate per la soluzione di problemi di trigonometria piana nel piano e nello spazio

6. Saper risolvere equazioni e disequazioni algebriche, con valore assoluto, irrazionali, goniometriche, esponenziali e logaritmiche.

7. Analizzare dati e interpretarli

Durante il percorso didattico saranno evitate dispersioni in tecnicismi ripetitivi o casistiche sterili che non contribuiscono in modo significativo alla comprensione dei problemi.

L’approfondimento degli aspetti tecnici e operativi non perderà mai di vista l’obiettivo della comprensione in profondità degli aspetti concettuali della disciplina.

L’indicazione principale è: pochi concetti e metodi fondamentali, acquisiti in profondità.

Inoltre l’uso degli strumenti informatici sarà una risorsa importante che dovrà essere introdotta in modo critico, senza creare l’illusione che essa sia un mezzo automatico di risoluzione di problemi e senza compromettere la necessaria acquisizione di capacità di calcolo mentale.

N.B.

Le indicazioni ministeriali riportano gli obiettivi del biennio, quella che segue è, dunque, solo una delle possibili suddivisioni del programma tra la terza e la quarta classe.

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Durante i due anni del secondo biennio, a seconda delle caratteristiche proprie della classe, si cercherà di svolgere i contenuti indicati e così di raggiungere gli obiettivi che ne conseguono.

I contenuti indicati con l’asterisco (*) potrebbero non essere trattati.

I contenuti indicati con il triangolo (Δ) potrebbero essere trattati parzialmente o trattati anche nel quinto anno.

Classe Terza Aritmetica e algebra

Conoscenze Competenze

Complementi sulle disequazioni algebriche

• disequazioni di primo e secondo grado, o ad esse riducibili;

• disequazioni con valori assoluti;

• disequazioni irrazionali.

• risolvere disequazioni razionali intere e fratte con i grafici di studio dei segni;

• risolvere e discutere disequazioni parametriche;

• operare con i valori assoluti nelle equazioni e nelle disequazioni;

• risolvere disequazioni irrazionali applicandole anche alle condizioni di esistenza delle equazioni.

Relazioni e Funzioni

Funzioni

• funzioni, iniezioni, suriezioni, biiezioni, funzione inversa;

• semplici funzioni numeriche:

lineare, quadratica, potenza, polinomiale, modulo, definita a tratti.

• costruire esempi di funzioni tra insiemi finiti di date caratteristiche;

• rappresentare graficamente le funzioni studiate;

• riconoscere le proprietà di una funzione.

Successioni e progressioni

• successioni,

• progressioni aritmetiche,

• progressioni geometriche

• dare la definizione di successione come funzione;

• costruire successioni numeriche anche in modo ricorsivo,

• operare con le progressioni aritmetiche;

• operare con le progressioni geometriche

Esponenziali e logaritmi

• potenza ad esponente reale di un numero reale positivo

• funzione esponenziale e suo grafico;

• equazioni e disequazioni esponenziali;

• definizione di logaritmo e sue proprietà;

• cambio di base dei logaritmi

• funzione logaritmica e suo grafico;

• equazioni e disequazioni

• giustificare e definire la potenza ad esponente reale di un numero reale positivo

• descrivere le qualità della funzione esponenziali e costruirne una adeguata rappresentazione grafica

• applicare in modo opportuno le proprietà delle potenze ai fini della risoluzione di equazioni e disequazioni esponenziali;

• giustificare e definire il logaritmo di un numero reale positivo;

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logaritmiche;

• risoluzione grafica

approssimata di equazioni e disequazioni di vario tipo.

• descrivere le qualità della funzione logaritmica e il legame esistente con quella esponenziale;

• applicare in modo opportuno le proprietà dei logaritmi ai fini della risoluzione di equazioni e disequazioni logaritmiche;

• utilizzare il cambio di base dei logaritmi;

• costruire modelli, sia discreti che continui, di crescita o decrescita esponenziale, per illustrare fenomeni tratti dalle scienze sperimentali.

Geometria Analitica

Il piano cartesiano e la retta

• rette nel piano cartesiano,

• luoghi geometrici;

• utilizzare il metodo cartesiano;

• applicare la definizione di luogo geometrico per scriverne l’equazione:

retta, asse di un segmento, bisettrice di angoli formati da rette, circonferenza, parabola, ellisse, iperbole.

La parabola

• definizione di parabola

• l’equazione della parabola con assi paralleli agli assi

cartesiani

• riconoscere l’equazione di una parabola individuandone vertice, fuoco, asse, direttrice sia se ad asse parallelo all’asse y sia ad asse parallelo all’asse x e tracciarne il grafico;

• scrivere l’equazione di una parabola sotto condizioni opportune;

• determinare le equazioni delle rette tangenti ad una parabola;

• utilizzare il teorema di Archimede per determinare l’area di un segmento parabolico;

• proprietà della riflessione su superfici paraboliche.

La circonferenza ^• definizione di circonferenza

• equazione della circonferenza

• riconoscere l’equazione di una

circonferenza, individuandone centro e raggio e tracciarne il grafico;

• determinare la lunghezza della circonferenza e l’area del cerchio;

• determinare, noto l’angolo al centro, la lunghezza dell’arco e l’area del settore circolare;

• scrivere l’equazione di una circonferenza note opportune condizioni:

• determinare le equazioni delle tangenti ad una circonferenza;

• descrivere le mutue posizioni tra retta

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e circonferenza nel piano e tra circonferenze del piano:

• dimostrare il teorema delle secanti;

• calcolare la potenza di un punto rispetto ad una circonferenza;

• determinare l’equazione dell’asse radicale.

L’ellisse

• definizione di ellisse

• equazione dell’ellisse con assi paralleli agli assi cartesiani

• riconoscere l’equazione di una ellisse, individuandone semiassi, vertici, fuochi, eccentricità e tracciarne il grafico;

• scrivere l’equazione di una ellisse conoscendone alcune caratteristiche;

• determinare l’area delimitata da una ellisse;

• determinare le equazioni delle rette tangenti ad una ellisse.

• proprietà della riflessione su superfici ottenute mediante rotazioni di ellissi.

L’iperbole

• definizione di iperbole

• equazione dell’iperbole con assi paralleli agli assi cartesiani

• equazione dell’iperbole equilatera con assi paralleli agli assi cartesiani

• equazione dell’iperbole equilatera con asintoti coincidenti con gli assi cartesiani

• la funzione omografica

• riconoscere l’equazione di una iperbole riferita agli assi individuandone vertici, fuochi, semiassi, asintoti, eccentricità e tracciarne il grafico;

• determinare l’equazione di una iperbole conoscendone alcune caratteristiche;

• determinare l’equazione delle rette tangenti ad una iperbole.

• riconoscere l’equazione di una

iperbole equilatera riferita agli asintoti;

• riconoscere la funzione omografica individuandone le proprietà per tracciarne il grafico.

Luoghi geometrici

• equazioni di particolari luoghi geometrici

• equazione della conica generica (*)

• saper determinare alcuni luoghi geometrici,

• riconoscere coniche degeneri,

• classificare coniche reali. (*)

Le isometrie del piano cartesiano

• equazioni delle isometrie del piano: traslazione, simmetria centrale, simmetria assiale con assi paralleli agli assi

cartesiani.

• determinare le equazioni delle isometrie e saperle utilizzare ai fini della determinazione del trasformato di un punto e del trasformato di un luogo geometrico

Dati e Previsioni

Statistica (Δ)

• i dati statistici

• indici di posizione centrale.

• indici di variabilità: varianza e deviazione standard

• distribuzioni doppie

• rappresentazione grafica di dati

• saper determinare gli indici statistici anche dall’analisi della rappresentazione grafica dei dati

• impostare una tabella a doppia

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condizionate e marginali (*)

• significato di modello: correlazione e regressione (*)

entrata; classificare i dati secondo due caratteri e riconoscere in essa i diversi elementi individuabili.

(*)

• valutare criticamente le

informazioni fornite dai media, con riferimento particolare ai giochi di sorte e ai sondaggi. (*)

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Classe Quarta Aritmetica e algebra

Numeri ed Algoritmi (Δ)

• numeri primi e fattorizzazione unica;

• divisione euclidea e le classi resto;

• gli insiemi numerici ℕ, ℤ, ℚ;

• principio di induzione;

• primi cenni di calcolo combinatorio: permutazioni, disposizioni, combinazioni

• dimostrare le principali proprietà dei numeri primi;

• utilizzare l’algoritmo di Euclide e costruire le classi resto;

• applicare il principio di induzione;

• determinare il numero delle permutazioni, delle disposizioni e combinazioni di un n-insieme;

• determinare il numero delle

disposizioni di classe k, semplici e con ripetizione, di un n-insieme;

• determinare il numero delle

combinazioni semplici di classe k di un n-insieme;

• determinare la cardinalità dell’insieme delle parti di un n-insieme;

Numeri reali (Δ)

• l’insieme numerico R:

costruzione e proprietà

• il concetto di potenza e sue generalizzazioni

• concetto intuitivo di limite

• il numero e

• il numero π

• operare con potenze a base ed esponente reale

• eseguire la somma dei termini di una progressione anche nel caso essi siano infiniti

• determinare i numeri e e π come limiti di una successione di infiniti termini

Numeri complessi (Δ)

• l’insieme numerico C

• le operazioni fra numeri complessi

• forma algebrica,

trigonometrica ed esponenziale dei numeri complessi

• le radici n-esime dell’unità

• radici n-esime di un numero complesso

• il teorema fondamentale dell’algebra

• le coordinate polari (*)

• rappresentare un numero complesso nel piano di Gauss;

• operare con i numeri complessi nelle forme algebrica, trigonometrica, esponenziale

• fare semplici operazioni algebriche (somma, prodotto, elevamento potenza) tra numeri complessi

• determinare e rappresentare le radici n-esime dell’unità nel piano di Gauss

• trasformare le coordinate cartesiane in coordinate polari e viceversa

• trovare tutte le soluzioni di un’equazione algebrica

• scrivere l’equazione di una curva in coordinate polari (*)

Geometria

Algebra lineare (Δ)

• vettori;

• matrici (*)

• operare con i vettori: comporre due o più vettori, scomporre un vettore secondo due direzioni date, saper

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operare con le componenti di un vettore;

• operare con le matrici;(*)

• calcolare il determinante associato ad una matrice quadrata. (*)

La geometria euclidea dello spazio (Δ)

• alcuni assiomi relativi allo spazio

• mutue posizioni di rette e piani

• perpendicolarità e parallelismo tra rette e piani

• distanza di un punto da un piano

• angolo diedro

• angoloide

• poliedri

• equivalenza

• aree e volumi dei solidi

• solidi di rotazione

• enunciare assiomi relativi allo spazio

• riconoscere posizioni reciproche tra rette e piani nello spazio

• dimostrare teoremi di perpendicolarità e parallelismo tra rette e piani nello spazio

• applicare le definizioni di distanza di un punto da un piano, di angolo di una retta con un piano, di angolo diedro, di angoloide

• applicare le loro proprietà di diedri e angoloidi

• descrivere e applicare le proprietà dei poliedri e dei poliedri regolari: prisma, piramide, tronco di piramide

• descrivere e applicare le proprietà dei solidi di rotazione: cilindro, cono, tronco di cono e sfera

• applicare il principio di Cavalieri

• calcolare aree e volumi di solidi

• calcolare con i dati convenienti per un dato solido l'area della superficie ed il volume, l'altezza del corpo, lo spigolo laterale, lo spigolo di base, la

diagonale spaziale

• utilizzare le conoscenze di geometria piana e solida in semplici problemi nell’ambito di altri settori della conoscenza

Goniometria 1

• angoli e archi di circonferenza

• le funzioni goniometriche:

seno, coseno, tangente e cotangente di un angolo orientato, le funzioni goniometriche inverse

• la circonferenza goniometrica e l’interpretazione grafica delle funzioni goniometriche elementari

• relazione tra funzioni goniometriche e coppie di angoli associati

• le principali formule goniometriche

• saper esprimere angoli in gradi sessagesimali e radianti

• saper individuare graficamente il seno, coseno, tangente e cotangente di un angolo sulla circonferenza

goniometrica

• saper rappresentare graficamente le funzioni goniometriche elementari e le loro inverse e comprendere le loro proprietà dall’analisi del grafico

• saper determinare i valori delle funzioni goniometriche di angoli particolari e dei loro angoli associati.

• saper determinare la periodicità di seno, coseno, tangente e saperla applicare alla determinazione di seno,

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coseno, tangente di angoli qualsiasi

• saper applicare le formule fondamentali della goniometria

• saper applicare le formule di

addizione, sottrazione, duplicazione, bisezione, parametriche, prostaferesi, Werner

• saper verificare identità goniometriche

Goniometria 2

• identità goniometriche

• equazioni e disequazioni goniometriche

• sistemi di equazioni e di disequazioni goniometriche

• risolvere equazioni e disequazioni elementari

• risolvere equazioni e disequazioni che implicano formule di addizione, sottrazione, duplicazione e bisezione

• risolvere equazioni e disequazioni goniometriche lineari e di secondo grado in una sola variabile o omogenee.

• risolvere graficamente equazioni goniometriche

• risolvere sistemi di equazioni e disequazioni goniometriche

Trigonometria

• risoluzione di triangoli rettangoli e qualsiasi

• principali teoremi: T. della corda, T. dei seni e T. Carnot.

• applicazione della trigonometria a problemi geometrici

• risolvere triangoli rettangoli e triangoli qualsiasi

• applicare la goniometria e la trigonometria alla fisica e ad altre varie discipline (*)

Relazioni e Funzioni

Le funzioni goniometriche

• funzioni goniometriche: seno, coseno, tangente, cotangente

• funzioni goniometriche inverse

• funzioni inverse e composte

• determinare il dominio di una funzione, le simmetrie, l’eventuale periodicità, le intersezioni con gli assi cartesiani, il segno.

• leggere in un grafico: crescenza, decrescenza, segno, massimi e minimi di una funzione.

• conoscere le proprietà e i grafici delle funzioni goniometriche, delle loro inverse,

• determinare l’inversa di una funzione

• determinare la composta di due funzioni

• costruire modelli, sia discreti che continui, di andamenti periodici

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Dati e Previsioni

Probabilità (Δ)

• • Probabilità composta e probabilità condizionata;

• • Teorema di Bayes,

• • Semplici distribuzioni discrete di probabilità;

• • Distribuzioni discrete notevoli:

binomiale, geometrica, Poisson

• • Deviazione Standard

• • Gioco equo

• Risolvere esercizi con applicazioni della teoria della probabilità.

• Utilizzare le principali distribuzioni discrete.

• Descrivere le distribuzioni di dati mediante gli indici centrali e indici di variabilità.

• Rappresentare graficamente una distribuzione.

• Saper Stabilire se un gioco è equo

Valutazione

Il docente farà eseguire agli studenti per lo più verifiche scritte, più oggettive, ma non mancheranno le interrogazioni orali perché lo studente dovrà essere in grado di gestire un colloquio. La tipologia della prova potrà variare a seconda degli argomenti trattati:

- esercizi applicativi con rappresentazioni grafiche;

- discussione, impostazione e risoluzione di problemi legati alla realtà;

- domande teoriche, applicazioni di principi, dimostrazioni;

- questionario a risposta aperta o multipla.

I parametri disciplinari su cui si basa la valutazione di ogni prova sono: correttezza nell’applicazione di regole e procedure, ordine e chiarezza concettuale, giustificare la scelta delle strategie utilizzate, completezza delle soluzioni, uso consapevole del linguaggio matematico.

La valutazione delle prove scritte è generalmente ottenuta con un procedimento a due fasi:

1. l'attribuzione di un punteggio sulla base di una tabella analitica delle soluzioni degli esercizi proposti che tiene conto essenzialmente delle difficoltà cognitive e della tipologia degli errori;

2. l'attribuzione del voto sulla base di una analisi statistica dei punteggi che cerca di evidenziare i risultati individuali relativamente agli obiettivi prefissati.

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Caratteristiche della prova Voto Lo studente dimostra di non conoscere i vari contenuti e/o commette

molti e gravi errori; presenta difficoltà ad affrontare applicazioni di base e/o evidenza incoerenza nei vari tentativi; non conosce il linguaggio matematico.

1-2-3

Lo studente dimostra di avere conoscenze lacunose in vari argomenti fondamentali o commette diversi errori; presenta difficoltà a completare alcune applicazioni di base oppure le completa in modo errato o rivelando una certa incoerenza; fa errori nell’utilizzo del linguaggio matematico.

4

Lo studente dimostra di possedere conoscenze parziali su alcuni argomenti e/o commette qualche errore nelle applicazioni standard;

denota difficoltà a completare alcune tipologie di esercizi e/o; evidenzia incertezze nell'utilizzo del linguaggio matematico.

5

Lo studente dimostra di conoscere gli aspetti principali dei contenuti svolti; esegue le applicazioni standard ma denota incertezze nell'affrontare le parti più impegnative; conosce le strutture essenziali del linguaggio matematico.

6

Lo studente dimostra di avere conoscenze puntuali; esegue con una certa sicurezza le applicazioni di media difficoltà ma denota alcune incertezze nell'affrontare punti più complessi; utilizza il linguaggio matematico con qualche improprietà.

7

Lo studente dimostra di avere buone conoscenze applicando correttamente le varie procedure; evidenzia capacità intuitive; utilizza correttamente il linguaggio matematico.

8 Lo studente dimostra di saper utilizzare le proprie conoscenze

nell'applicare con sicurezza le varie procedure; evidenzia capacità intuitive e logiche nell'effettuare deduzioni e ragionamenti; utilizza con sicurezza il linguaggio matematico.

9-10

Il voto alla fine di ogni quadrimestre è Unico e non è il risultato della media aritmetica delle singole valutazioni ma di una media ponderata (il docente attribuirà un peso maggiore alle prove che ritiene più importanti), il docente inoltre nel definirlo terrà conto dell’impegno e dell’eventuale progressivo miglioramento o peggioramento del rendimento del singolo studente.

Si garantiscono almeno tre prove per quadrimestre di cui una orale.