La trasformazione che abbiamo considerato è una doppia simmetria assiale in cui gli assi, le rette r e s, sono perpen- dicolari. Consideriamo un punto P e applichiamogli la simmetria di asse r, ottenendo il punto P

LAVORO DI MATEMATICA

A causa delle dicoltà di connessione, la lavagna con gli appunti della lezione non è arrivata a tutti. Allora provo a sintetizzare quello che vi ho detto samattina.

La trasformazione che abbiamo considerato è una doppia simmetria assiale in cui gli assi, le rette r e s, sono perpen- dicolari. Consideriamo un punto P e applichiamogli la simmetria di asse r, ottenendo il punto P

. Poi a P

applichiamo la simmetria di asse s e otteniamo P ”. Componendo le due simmetrie assiali otteniamo una nuova trasformazione che al punto P fa corrispondere il punto P ”.

• Prima caratteristica: la retta che passa per i punti P e O passa anche per il punto P

.

 consideriamo l'angolo formato dalla retta r e dalla semiretta OP e l'angolo formato dalla retta r e dalla semiretta OP

. La simmetria di asse r fa sovrapporre il primo angolo al secondo, quindi possiamo dire che sono due angoli della stessa ampiezza. In modo analogo, la simmetria di asse s fa sovrapporre l'angolo formato dalla retta s e dalla semiretta OP

all'angolo formato dalla retta s e dalla semiretta OP ”.

Ricordiamo che le rette r e s sono perpendicolari, quindi giustapponendo (cioè mettendo accanto) gli angoli C b OP

e P

OD b si forma un angolo retto. E quindi giustapponendo P OP b

e P

OP ” b si forma l'angolo piatto P b OP ” , e quindi i punti P , O e P ”sono allineati.

• Seconda caratteristica: se una retta r passa per il punto O, all'ora l'immagine di r nella doppia simmetria assiale ad assi paralleli è ancora la retta r

 Sia P un punto della retta r. L'immagine di P deve appartenere ad una retta r

. Ma abbiamo appena dimostrato che tale immagine è un punto allineato con O e con P ; la retta che passa per O e per P è proprio la retta r, quindi l'immagine di P deve appartenere alla retta r: le rette r e r

coincidono.

Osserviamo che le rette r e r

coincidono, ma la trasformazione ha spostato tutti i punti, eccetto il punto O.

Diciamo che in questo caso r è una retta unita (la retta si trasforma in se stessa, ma non necessariamente i punti che la formano). Quando invece una retta è formata da soli punti ssi diciamo che è una retta ssa.

• Terza caratteristica: se applico la doppia simmetria assiale al punto P

trovo che l'immagine è il punto P .

 La trasformazione che stiamo studiando manda il punto P  in un punto della retta OP tale che OP ” = OP ,

ma appartenente alla semiretta opposta. L'unico punto che ha questa proprietà è proprio P . Quindi se applico

due volte questa trasformazione ritorno al punto di partenza. Le trasformazioni che hanno questa proprietà si

chiamano involutorie: se le applichi due volte ottieni l'identità, cioè la trasformazione che manda ogni punto

in se stesso.

A questo punto abbiamo capito come funziona la doppia simmetria assiale con assi perpendicolari e possiamo anche darle un nome: simmetria centrale.

Proviamo ora a denirla meglio:

Fissiamo un punto O del piano, che chiameremo centro di simmetria. La simmetria centrale agisce in questo modo:

• lascia sso il punto O;

• se A è un punto del piano diverso da O, l'immagine di A si trova sulla retta OA, sulla semiretta di origine O opposta a quella cui appartiene A, a distanza OA

= OA .

1. Apri il le di Geogebra https://www.geogebra.org/classic/c88brhuh. Traccia il simmetrico dei punti A, B e C rispetto al centro di simmetria O, chiamando A

,B

e C

le rispettive immagini.

(a) verica con il compasso che la trasformazione ha conservato le distanze;

(b) traccia i segmenti A

B

, A

C

e B

C

; confronta AB e A

B

, AC e A

C

, BC e B

C

: osservi qualcosa di interessante?

2. Sul tuo quaderno traccia un riferimento cartesiano ortogonale. Traccia il triangolo di vertici A = (1, 2), B = (−2, 3), C = (2, 5) . Il centro di simmetria sia l'origine del riferimento cartesiano O = (0, 0). Quali sono le coordinate delle immagini dei punti A, B e C?

3. L'operazione di opposto per i numeri è involutoria?

4. Christian ci ha detto che per capire se un numero naturale è divisibile per 7 dobbiamo isolare la cifra delle unità, moltiplicarla per 5 e sommare il risultato al numero che si ottiene togliendo l'ultima cifra: se quello che otteniamo è divisibile per 7 allora il numero di partenza è divisibile per 7, in caso contrario il numero di partenza non è divisibile per 7. Ad esempio 385 è multiplo di 7 perché se moltiplico per 5 la cifra delle unità, che è 5, e sommo il risultato al numero ottenuto togliendo al numero iniziale la cifra delle unità, cioè 38, la somma 38 + 25 è 63 che è un multiplo di 7.

(a) anzitutto scegli tre multipli di 7 e tre non multipli di 7 e verica che la cosa funziona.

(b) se un numero è multiplo di 7, moltiplicandolo per 5 ottieni un multiplo di 7?

(c) se un numero non è multiplo di 7, moltiplicandolo per 5 potresti ottenere un multiplo di 7?

(d) riprendiamo l'esempio del numero 385, che possiamo scrivere come 38 × 10 + 5; se 385 è multiplo di 7, anche 385 × 5 è multiplo di 7, e quindi anche (38 × 10 + 5) × 5 è multiplo di 7. Ma (38 × 10 + 5) × 5 = 38 × 50 + 25 = 38 × (49 + 1) + 25 = 38 × 49 + 38 × 1 + 25 .

38×49 è sicuramente un multiplo di 7, quindi per sapere se tutto il numero è multiplo di 7 basta guardare se 38 + 25 è multiplo di 7.

(e) cerchiamo di rendere più generale il ragionamento: se moltiplico un numero naturale per 5 non modico il suo essere e non essere multiplo di 7(perché 5 e 7 sono primi fra loro). Ho un numero naturale che posso rappresentare così: n = 10 × a + b (b è la cifra delle unità, a è il numero formato da tutte le altre cifre, prese nello stesso ordine).

moltiplico n per 5, ottenendo 5 (10 × a + b); applicando la distributiva 5 (10 × a + b) = 50a + 5b = 49a + a + 5b .

49a è sempre multiplo di 7, quindi il numero 5n sarà multiplo di 7 se e solo se a + 5b è multiplo di 7. Ma 5n è multiplo di 7 se e solo se n è multiplo di 7, quindi posso dedurre che ...

Inne: ecco la nuova disposizione che partirà da lunedì. Iacopo è ancora nella lavagna, siamo in attesa del ritorno di

ciccia!