• La simmetria negli antichi

Simmetrie della Fisica e ragioni per un loro

insegnamento

… le idee che vengono spontaneamente a chi affronta per la prima volta un problema, sembrano “senza tempo”, come se fossero una

caratteristica naturale del modo umano di mettere ordine e dare un senso alle percezioni.

C. Bernardini, Prima lezione di fisica

Percorso

• I significati di simmetria

• La simmetria negli antichi

• Figure geometriche, numeri e cosmologie

• Il concetto moderno di simmetria

• La simmetria bilaterale

• Simmetrie Bilaterale, di Parità e loro violazioni

• Le simmetrie discrete del piano e Tassellature

• La cristallografia

• Simmetrie – Geometrie – Fisica

• Lo spazio – tempo classico

• Nuova Geometria: nuova “Fisica”

• Simmetrie discrete del Tempo

• Il teorema di Noether: Simmetrie e leggi di conservazione

• Le simmetrie dell’elettromagnetismo

• La simmetria di gauge locale in MQ

• Il principio di Curie e la rottura spontanea di simmetria

• Rottura spontanea di Simmetria e Transizioni di Fase del II ordine

I significati di simmetria

• Nel linguaggio comune:

» Armonia e bella proporzione

» Relazione tra elementi simili, ma contrapposti

• In matematica (> 1850):

» Invarianza rispetto a gruppi di trasformazioni

Escher

Leonardo da Vinci

La simmetria negli antichi

• συµµετρια

numero intero

con misura proporzione armonia

• X l. Elementi: συµµετρια commensurabili

•Pitagora “Le cose sono numeri”

•Platone Timeo, Teeteto

•Vitruvio De Architectura

“ La simmetria è l’accordo armonico tra le parti di una medesima opera e la

rispondenza di proporzioni tra le parti dell’intera figura “

L l

2 5 1 +

=

= φ

l

L

Figure geometriche, numeri, cosmologie

• Solidi Platonici (Elementi XIII):

– Tetraedro – Cubo

– Ottaedro – Icosaedro – Dodecaedro

gxÜÜt TvÖât YâÉvÉ

TÜ|t

dâ|ÇàxááxÇét

De divina Proportione

P. della Francesca:” Libellus de quinque corporibus regularibus”

L. Pacioli: “ De divina Proportione “

J. Keplero: “Harmonice mundi ”

“Strenua seu de nive sexangula”

“Mysterium cosmographicum”

La simmetria tra i contemporanei

•G.W.F. Hegel: “All’uguaglianza si associa una disuguaglianza, e la vuota identità è interrotta dall’irruzione della differenza. Compare così la simmetria”

(Estetica, 1816)

•H. Weyl: “Ogni qualvolta si abbia a che fare con un ente Σ dotato di struttura, si cerchi di determinare il gruppo degli automorfismi, il gruppo di quelle trasformazioni degli elementi di Σ che lasciano invariate tutte le relazioni strutturali”

(Symmetry, 1952)

•Insiemi

•Operazioni su insiemi

•Gruppi

•Relazioni di equivalenza

I S

I I S

S S I

Simmetria Bilaterale

(Chiralità )

La Parità

L p

L r

- r

Vettori polari - p F

, a , p , r F

, a , p ,

r r r r r → − r − r − r − r

B , L B

,

L r r r r

→ Vettori assiali

I P

I I P

P P I

Due sistemi fisici isolati corrispondenti per parita’

hanno sempre la stessa dinamica?

Violazione di Parità

Emissione

preferita C.S. Wu,T.D. Lee, C.N. Yang, 1956 Le interazioni deboli dipendono da

p·s

Coniugazione di carica

particella antiparticella

- q

q - q

- q q

P

C

CP

Anche la simmetria CP è violata dalle interazioni deboli!!!

q

Asimmetria

Materia - Antimateria

J. Christensen et al. 1964

Chiralità in natura

Sinistra Destra

Conchiglie marine

Piante elicoidali Proteine e DNA

Molto rari

Amminoacidi

Correnti chirali

negli atomi Non esistono

neutrino Non esistono

Simmetrie discrete piane in natura

E. Haeckel: “Kunstformen der Natur”

Trasformazioni discrete nel piano

5 4 3 2

1

, , , ,

5 , , 4 5 , 3 5 , 2 , 5

0 π π π π R R R R R

Gr. Diedrico di ordine 5:

D

rettangolo

Tassellature e reticoli

D

parallelogramma

quadrato

D

esagono

D

Tassellatura di Penrose

Tassellature dello spazio

14 Reticoli di Bravais

230 reticoli spaziali

Cristalli

I Quasicristalli

Al -Cu - Fe Al – Ni - Co

Mezzi anisotropi

+- + - +

- + - +- +

- + - +

- +- +- +- +-

+- +- +- +- +- +-

+- +-

E

P

+- +- +- +-

+- +- +- +- +-+-+-+- +- +- +- +- +-+-+-+-

E

P

E P

zz zy

zx

yz yy

yx

xz xy

xx

r

r

⎟ ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎜

⎝

⎛

=

χ χ

χ

χ χ

χ

χ χ

χ

Isotropi (ret. Cubico)

Uniassici (ret. Tetragonale, Romboedrico, Esagonale) Biiassici (ret. Triclino, Monoclino, Rombico, )

cristalli Birifrangenza

Simmetrie – Geometrie - Fisica

O

x z

y z’

O’

x’

OO’ y’

Trasformazioni discrete dello spazio

Trasformazioni continue dello spazio

Traslazioni OO’

O

x z

y z’

O’

x’

y’

û Rotazioni û, θ

Invarianti: a·b = a’·b’

distanze angoli

Gr. EUCLIDEO (+ Parità: Gr. Euclideo improprio) Omogeneità dello spazio

Isotropia dello spazio

Trasformazioni continue

dello spazio: Omogeneità dello spazio

O

x z

y

O

x z

y

z’

O’

x’

y’

b

b’

P’

P

b’ =b + OO’

P’= P + OO’

La dinamica di un sistema fisico NON cambia a seguito di traslazioni arbitrarie

O

x z

y z’

O’

x’

y’

V

r r’=r +V t

Trasformazioni di Galilei

r’=r +V t t’ = t

Invarianza delle equazioni del moto

di Newton

Gr. EUCLIDEO + Trasf. Galilei Gr. di GALILEI

Lo spazio – tempo classico

MC e MQ non relativistica hanno la struttura geometrica determinata dal Gr. Galilei

L’equazione del moto classica più semplice invariante sotto Galilei è

2

0

2

r = dt

d r

Nuova Geometria: nuova “Fisica”

F. Klein: “ Le proprietà geometriche sono caratterizzate dalle loro invaranze rispetto ad un gruppo di trasformazioni ” (Programma di Erlangen, 1872)

Geometria

Proiettiva Affine Euclidea Pseudo-Euclidea

x t

passato futuro

⊃ ⊃

Relatività Speciale

iperbolica

ellittica

2 2

2

2

c dt dx

ds = −

Gr. POINCARE’

QED, QFT

G. Conforme Fenomeni Critici, T. Stringhe

⊃

Riemanniana

Relatività Generale Topologia

Simmetrie discrete del tempo

O

x z

y

( ^{t T} ) ( ) ^{r t , p} ( ^{t T} ) ( ) ^{p t}

r r + = r r + = r

0 T 2T 3T 4T 5T -T

-2T

t

T

t t → +

t t → −

Moti periodici

Salgo o scendo?

Traslazioni temporali:

Inversioni temporali:

Generalmente i sistemi macroscopici NON sono invarianti per inversione temporale:

esiste la freccia termodinamica del tempo

Attivi e passivi

a

O

x z

y z’

O’

x’

y’

z’

O’

x’

y’

û O

x z

a y

Trasformazione passiva a

Trasformazione attiva

O

x z

y

Teorema di Noether

Ogni sistema meccanico con dinamica invariante rispetto ad un gruppo (continuo in MC) di trasformazioni, possiede una corrispondente

quantità conservata

O

x z

y

a

Conservazione della quantità di moto totale P

O

x z

y z’

O’

x’

y’

û

Conservazione del momento angolare totale L Conservazione dell’energia meccanica totale E

( ^{t t}

^{; r}

)

r

r r = r − r

g

Le simmetrie dell’elettromagnetismo

O

x z

y

Cariche ferme

( ) ^V ( ) ^{V '}

E r = −∇ = −∇

' V V

V = +

O

x z

y

v

Cariche in moto

t V

E A − ∇

∂

= ∂ r r

A B r r

×

∇

=

Coerente con le

Trasformazioni di Lorentz

t χ V

V' χ,

A '

A ∂

+ ∂

=

∇ +

= r r

Trasformazioni di gauge locali

I potenziali eletttrodinamici NON sono osservabili

La simmetria locale in MQ

( ) ^{r ,t}

elettrone

Ψ r

( ) ^{r ,t}

Ψ r

( ) ^{r ,t Ψ} ( ) ^{r ,t e}

Ψ r = r

( ) ^{r ,t Ψ} ( ) ^{r ,t e}

^Ψ ( ) ^{r ,t e}

^{( )}

Ψ r = r → r

E’ possibile modificare localmente α ?

SI se l’elettrone è accoppiato ad un C. E.M.

con Tr. di gauge locali

t α V

V' α,

A '

A ∂

+ ∂

=

∇ +

= r r

(Noether)

Conservazione della carica elettrica

QED, QCD

Modello Standard

La Simmetria di Gauge sembra essere una simmetria fondamentale della Natura

Il Principio di Curie

P. Curie: “ Se certe cause producono certi effetti, le simmetrie delle cause riappaiono negli effetti prodotti ”

“ Se certi effetti rivelano una certa asimmetria, questa asimmetria si rifletterà nelle cause che hanno dato loro origine “

(J. Phys. Th. Appl., 1894)

destra

sinistra

instabile stabile

stabile

Rottura Spontanea di Simmetria

G G

G → ' ⊂

Gli stati fisicamente realizzabili di un sistema simmetrico si presentano in collezioni, gli elementi delle quali sono connessi da simmetrie

Rottura spontanea di simmetria

-3 -2 -1 1 2 3

η

-1 -0.5 0.5 1

F

4

2 η

η B A

F = +

) )(

( p T T _c A = α −

T c

T >

T c

T <

PARAMAGNETICO Transizioni di Fase del II ordine

Parametro d’ordine Temperatura critica Tc

FERROMAGNETICO