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Formule di derivazione

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Academic year: 2021

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Formule di derivazione

Attenzione! Le formule del calcolo delle derivate si possono utilizzare solo per il calcolo di derivate la cui esistenza `e gi`a nota; in altre parole, le formule di derivazione non si possono utilizzare per verificare l’esistenza delle derivate.

Consideriamo, per esempio, la funzione f : R → R

f (x) =



x2 sin (1

x )

, per x ̸= 0 , 0 , per x = 0 .

I Teoremi sulla derivazione del prodotto e della compo- sizione di funzioni derivabili ci danno che la funzione f

`e derivabile per x ̸= 0, e, con le formule di derivazione, otteniamo:

f(x) = 2x sin (1

x )

− x2 cos (1

x

) 1 x2

= 2x sin (1

x )

− cos (1

x )

, x ̸= 0 . 1

(2)

L’espressione predetta non `e definita per x = 0; que- sto per`o non significa necessariamente che la derivata prima di f in x = 0 non esista! In x = 0 le ipotesi dei teoremi sul calcolo delle derivate non sono soddisfatte perch`e la funzione r(x) = x1 (coinvolta nell’espressione analitica di f ) non `e derivabile in x = 0; di conse- guenza, le regole di derivazione, utilizzate nei passaggi precedenti per il calcolo di f(x) quando x ̸= 0, non possono essere applicate nel calcolo di f(0). Ma i teoremi sul calcolo delle derivate forniscono solo delle condizioni sufficienti (e non necessarie) per l’esisten- za delle derivate.

Si pu`o anche osservare che, in questo caso, non esiste

xlim→0f(x) = lim

x→0 2x sin (1

x )

− cos (1

x )

.

Nemmeno questo, per`o, ci permette di dedurre che f(0) non esiste.

Per verificare l’esistenza (o meno) della derivata prima di f in x = 0, dobbiamo ricorrere alla definizione di derivata prima cio`e calcolare il limite del rapporto

2

(3)

incrementale

xlim→0

f (x) − f(0) x − 0 . Si trova cos`ı

xlim→0

f (x) − f(0)

x − 0 = lim

x→0x sin (1

x )

= 0 ,

da cui si conclude che f(0) = 0.

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