Similitudine e complementi di geometria Teorema di Talete Dato un fascio di rette parallele tagliato da due trasversali, il rapporto tra due segmenti

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Geometria Gianluca Ferrari Similitudine

Similitudine e complementi di geometria

Teorema di Talete

Dato un fascio di rette parallele tagliato da due trasversali, il rapporto tra due segmenti 𝐴𝐵 e 𝐶𝐷 individuati dal fascio su una trasversale è uguale al rapporto tra i loro corrispondenti 𝐴^′𝐵^′ e 𝐶^′𝐷^′ sull’altra trasversale.

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Conseguenze del teorema di Talete

Teorema della retta parallela a un lato di un triangolo

Se una retta parallela a un lato del triangolo, allora taglia gli altri due lati in coppie di segmenti proporzionali.

Teorema inverso

Se una retta taglia due lati di un triangolo in modo tale che i segmenti formati siano tra loro proporzionali, allora essa è parallela al terzo lato del triangolo.

Teorema della bisettrice di un angolo interno

In un triangolo, la bisettrice di un angolo interno divide il lato opposto in segmenti proporzionali agli altri due lati.

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Triangoli simili

Due triangoli si dicono simili se hanno tutti gli angoli uguali e i lati in proporzione.

Lati omologhi

Dati due triangoli simili, i lati opposti a due angoli uguali si dicono omologhi (o corrispondenti).

Primo criterio di similitudine

Due triangoli sono simili se hanno due angoli uguali.

Secondo criterio di similitudine

Se due triangoli hanno due lati in proporzione e l’angolo tra essi compreso uguale, allora sono simili.

Terzo criterio di similitudine

Se due triangoli hanno i tre lati ordinatamente in proporzione, allora sono simili.

S

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Riassunto

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Teorema delle corde

Se due corde 𝐴𝐵 e 𝐶𝐷 di una circonferenza si intersecano in un punto 𝑃, il prodotto delle misure dei due segmenti in cui 𝐴𝐵 resta divisa è uguale a quello delle misure dei due segmenti in cui 𝐶𝐷 resta divisa.

𝐴𝑃 ⋅ 𝑃𝐵 = 𝐶𝑃 ⋅ 𝑃𝐷 𝐶𝑃

𝐴𝑃 = 𝑃𝐵

𝑃𝑑 ⟹ 𝐶𝑃 ∶ 𝐴𝑃 = 𝑃𝐵 ∶ 𝑃𝐷 Teorema delle secanti

Se da un punto 𝑃 esterno a una circonferenza si conducono due secanti e si considerano i segmenti che hanno un estremo in 𝑃 e l’altro in ciascuno dei punti di intersezione con la circonferenza, il prodotto dei due segmenti

appartenenti a una secante è uguale al prodotto delle misure dei due segmenti appartenenti all’altra secante.

𝑃𝐴 ⋅ 𝑃𝐵 = 𝑃𝐶 ⋅ 𝑃𝐷 𝑃𝐴

𝑃𝐶 = 𝑃𝐵

𝑃𝐷 ⟹ 𝑃𝐴 ∶ 𝑃𝐶 = 𝑃𝐵 ∶ 𝑃𝐷 Teorema della secante e della tangente

Se da un punto 𝑃 esterno a una circonferenza si conducono una secante e una tangente, il prodotto fra le misure dei due segmenti che hanno un estremo in 𝑃 e l’altro nei punti di intersezione della secante con la circonferenza è uguale al quadrato della misura del segmento di tangenza.

𝑃𝐴 ⋅ 𝑃𝐵 = 𝑃𝑇²

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𝑃𝐵

𝑃𝑇 = 𝑃𝑇

𝑃𝐴 ⟹ 𝑃𝐵 ∶ 𝑃𝑇 = 𝑃𝑇 ∶ 𝑃𝐴 Riassunto

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Bibliografia

- Bergamini M., Barozzi G., Trifone A., Geometria.blu – Seconda edizione, Bologna, Zanichelli, 2016

- Melzi G., Tonolini L., Il metodo della geometria, vol. 1, Milano, Mondadori Education, 1993

- Sasso L., Zenone C., Colori della Matematica – Edizione BLU, vol. 2, Novara, Petrini, 2017