Esercizi di Algebra Lineare Fasci di rette e di piani
Anna M. Bigatti 11 ottobre 2012
Fascio di rette nel piano
Definizione 1. Il fascio generato da due rette distinte ax + by + c = 0 e a0x + b0y + c0= 0 `e l’insieme delle rette
{α · (ax + by + c) + β · (a0x + b0y + c0) = 0 | α, β ∈ R, (α, β) 6= (0, 0)}
Se le due rette sono parallele allora il fascio `e l’insieme di tutte le rette a loro parallele e si dice fascio improprio, altrimenti `e l’insieme di tutte le rette passanti per il loro punto di intersezione e si dice fascio proprio.
Esercizio 2. Descrivere il fascio di rette passanti per il punto (5, −2) . Esercizio 3. Descrivere il fascio di rette parallele al vettore (1, 4) .
Esercizio 4. Siano date nel piano le rette r : x + 2y = 3 e e s : x + 2y = 0 e il punto P = (−1, 3).
(a) Le rette si intersecano?
(b) Se si’, trovare la retta passante per P e per r ∩ s , se no trovare la retta passante per P e parallela a r .
Esercizio 5. Tra le rette del fascio generato dalle rette r : x + y = 1 e s : −x + 2 = 0 determinare, se esiste, quella:
(a) parallela alla retta y = 0 ; parallela alla retta (1 + 2t, −t) .
(b) che passa per il punto (0, 2) ; che passa per i punti (1, −1) e (3, 0) ;
Esercizio 6. Siano date nel piano le rette r : x + 2y = 3 e e s : x − 2y = 0 e il punto P = (−1, 3) .
(a) Le rette si intersecano?
(b) Se si’, trovare la retta passante per P e per r ∩ s , se no trovare la retta passante per P e parallela a r .
1
Fascio di piani nello spazio
Definizione 7. Il fascio generato da due piani distinti ax+by+cz+d = 0 e a0x+b0y+c0z+d0 = 0 `e l’insieme dei piani
{α · (ax + by + cz + d) + β · (a0x + b0y + c0z + d0) = 0 | α, β ∈ R, (α, β) 6= (0, 0)}
Se i due piani sono paralleli allora il fascio `e l’insieme di tutti i piani a loro paralleli e si dice fascio improprio, altrimenti `e l’insieme di tutti i piani passanti per la loro intersezione, cio`e la retta
ax + by + cz + d = 0
a0x + b0y + c0z + d0= 0 , e si dice fascio proprio.
Esercizio 8. (*) Determinare l’equazione del piano contenente la retta di equazioni r : x − y + z + 1 = y − z = y + 2 e passante per l’origine.
Esercizio 9. Determinare l’equazione del piano contenente la retta di equazioni r : (2t, 3t − 1, −2) e passante per l’origine.
Esercizio 10. Tra i piani del fascio generato dai due piani x + 2y + z = 3 e x + 2y − 2z = 0 determinare, se esiste, quello:
(a) parallelo al piano z = 0 ;
(b) parallelo alla retta (1 + 2t, −t, 3) .
(c) che passa per i punti (2, 0, 2) e (−1, 1, 0) ; (d) che passa per i punti (1, 1, −1) e (3, 0, 0) ;
Esercizio 11. Dati i piani π : x + y + z + 1 = 0 e π0 : x + y = z e determinare, se esiste:
(a) l’equazione parametrica della retta r = π ∩ π0;
(b) un piano passante per r e diverso da π e π0 (dimostrare che `e diverso);
(c) il piano perpendicolare a π passante per r .
Soluzioni di alcuni esercizi
Esercizio 8: Soluzione 2 possibili impostazioni:
(a) trovo il piano generico del fascio per r e impongo che passi per l’origine.
(b) trovo il vettore direzionale v di r e un punto P su r , e scrivo l’equazione parametrica del piano parallelo a v e P − O e passante per O
u t
2