Astronomia Lezione 30/10/2015

Astronomia

Lezione 30/10/2015

Docente: Alessandro Melchiorri

e.mail: alessandro.melchiorri@roma1.infn.it

Sito web per le slides delle lezioni:

oberon.roma1.infn.it/alessandro/astro2015

●

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Libri di testo consigliati:

●

Universe, R. Freedman, w. Kaufmann, W.H.Freeman and Co., New York

●

An introduction to modern astrophysics, B. W. Carroll, D. A. Ostlie, Addison Wesley

Astronomia

Lezione 30/10/2015

m=0.14 d=244 pc M=-6.8 B-V=-0.03 m=0.41

d=152 pc M=-5.5

B-V=1.85

Indice di colore B-V maggiore significa che la magnitudine e’ maggiore nel Blu rispetto al Visibile. Ovvero che la stella e’ più luminosa a frequenze minori o lunghezze d’onda

maggiori. B-V maggiore significa quindi che la stella e’ più rossa.

Indici di colore bassi Stella Blu Indici di colore alti Stella Rossa

Costellazione Orione di

Il colore e’ legato alla temperatura.

Maggiore e’ la temperatura della stella, piu’ questa

appare blu e minore e’ l’indice di colore

Il Corpo Nero

Questo accade perche’ gli spettri di emissione di una stella sono in prima approssimazione dei corpi neri.

Un corpo nero e’ un oggetto che assorbe tutta la radiazione incidente e che

riemette radiazione con uno spettro in lunghezza d’onda la cui formula e’ stata scoperta da Planck e che dipende solo dalla

temperatura superficiale dell’oggetto.

Maggiore e’ la temperatura maggiore e’ l’emissione a lunghezze d’onda minori.

Legge di Wien:

Corpo Nero: Derivazione Teorica

La luce nel vuoto si propaga come un’onda elettromagnetica costituita da un campo elettrico ed uno magnetico

ortogonali tra loro e variabili nel tempo. L’onda elettromagnetica possiede una lunghezza d’onda 

(intervallo spaziale tra due creste) e procede ad una velocità pari alla velocità della luce c.

Si ha quindi che la frequenza

 (intervallo temporale tra due creste) sarà data da:

Spettro nel visibile . Lunghezze In nm

Corpo Nero

Un risultato facilmente intuibile è che la radiazione di corpo nero non dipende dalla forma della cavità.

Possiamo quindi limitarci a considerare una cavità che abbia una geometria semplice, ad esempio un cubo di spigolo di lunghezza a. Supponiamo che le pareti siano perfettamente conduttrici, allora è possibile immagazzinare e conservare energia e.m. all'interno della cavità senza perdite purché le

frequenze corrispondano alle frequenze di risonanza della cavità. Le frequenze di risonanza della cavità sono quelle per cui si instaurano delle onde stazionarie, quindi nelle tre direzioni devono essere

comprese un numero intero di semilunghezze d'onda. Vediamo per un lato si potranno avere solo lunghezze d’onda:

ovvero frequenze (con l numero intero):

nel caso tridimensionale si avrà:

con l, m, n numeri interi.

Corpo Nero – Caso Classico

Il problema si riconduce quindi nel trovare l’energia media di un singolo modo. Dalla statistica di Boltzmann si ha che la probabilità di avere un modo con energia tra E e E+dE alla temperatura T e’data da:

si ha quindi che l’energia media vale:

Ora ponendo si ha:

Da cui:

per ottenere infine la formula di Rayleigh-Jeans:

Corpo Nero – Catastrofe Ultravioletta

La formula di Rayleigh-Jeans:

però non funziona per i seguenti motivi: come prima cosa se adesso vogliamo calcolare l’energia totale dobbiamo integrare le frequenze tra 0 e infinito.

Il risultato e’ un valore dell’energia totale infinita che è chiaramente impossibile. Questo problema prende il nome di catastrofe ultravioletta e segna il fallimento della fisica classica.

In secondo luogo la formula di Rayleigh-Jeans funziona bene per basse frequenze ma appunto diverge per alte frequenze

(piccole lunghezze d’onda) e’ non e’ in accordo con le osservazioni.

 

I (erg cm-3 s-1)

Rayleigh-Jeans

k  1.38 10^{23 J K1  1.38 1016 erg K1}

Corpo Nero – Caso Quantistico

La soluzione (geniale) trovata da Planck consiste nell’imporre che tutti i modi di frequenza

 possono avere energia pari solo a multipli di h con h costante.

la probabilità diviene:

e il valore medio adesso si media su sommatorie e non integrali:

Si ha quindi:

da cui:

ottenendo infine la formula di Planck:

Corpo Nero – Formula di Planck

La formula di Planck rimuove il problema della catastrofe ultravioletta perché l’energia va a zero per alte frequenze o basse lunghezze d’onda.

Ha inoltre un ottimo accordo con le osservazioni se poniamo:

La densità numerica di «fotoni» è semplicemente data da:

Per un oggetto a T=300K si ha che nel visibile la densità numerica vale:

Per metro cubo. Questo spiega perché l’emissione di corpo nero e’ assolutamente trascurabile nel visibile per un corpo a temperatura ambiente (cosa non vera per RJ!).

Corpo Nero – Formula di Planck

La formula di Planck rimuove il problema della catastrofe ultravioletta perché l’energia va a zero per alte frequenze o basse lunghezze d’onda.

Ha inoltre un ottimo accordo con le osservazioni se poniamo:

La densità numerica di «fotoni» è semplicemente data da:

Per un oggetto a T=300K si ha che nel visibile la densità numerica vale:

Per metro cubo. Questo spiega perché l’emissione di corpo nero e’ assolutamente trascurabile nel visibile per un corpo a temperatura ambiente (cosa non vera per RJ!).

Formula di Planck

Un punto importante da ricordare e’ che la densità di energia trovata è una quantità per Intervallo di pulsazione, se passiamo alle frequenze deve valere:

e quindi, sostituendo:

 ^  ^{ }   ^{ }

 , T d  , T d

  ^{    }   ^{ }



 





T d

e d c

h e

d d c

T

,

1 8

, 1

3 /

2 3

3



 

 ℏ



  1

, 8

3





e d c

d h

T   







Spettro di Planck - Brillanza

In astronomia saremo interessati all’energia emessa per unità di superficie, per unità di tempo, per unità di angolo solido, la brillanza o brightness. Questa quantita’ per un raggio di luce e’ legata alla densità di energia di un corpo nero (che è isotropa) tramite:

Attenzione al cambiamento di variabile in lunghezza d’onda perché:

e quindi si ha (notare la potenza di l):

   

1 , 2

4

3

 



e d c

T h d c

T

B

  



 

  ^

  ^



T d B T d

B  

  1

2

/ 5

2



 e

d T hc

B





l (mm) 2000 K

1750 K

1500 K

1250 K

Spettro di Planck

In figura riportiamo lo spettro di

corpo nero nel caso di 4 temperature diverse.

Da notare:

- A temperature crescenti lo spettro ha un incremento complessivo.

Due curve di corpo nero a

temperature diverse non si intrecciano mai !

- A temperature maggiori la posizione del picco si sposta verso frequenze

maggiori (lunghezze d’onda minori).

Cioè va dal rosso al blu.

OGGETTI BLU SONO PIU’ CALDI DI ROSSI.

corpo umano

T = 37° C = 310 K l_{max  9 m}

l (mm)

B(l, 310 K) (x108 erg cm-3 s-1) La funzione di Planck per un corpo nero che emette alla temperatura del corpo umano. Il massimo di emissione si ha a circa 9 micron, mentre al di sotto di 3 micron non c’è praticamente alcuna emissione. Infatti al buio una persona risulta invisibile, mentre diventa visibile con un sensore di luce infrarossa.

Spettro di Planck - Esempi

lampada a incandescenza T  3 000 K

l_{max  1 m}

l (mm)

B(l, 3000 K) (x1013 erg cm-3 s-1)

Spettro di Planck - Esempi

La funzione di Planck per un corpo nero che emette alla temperatura di una lampadina a incandescenza. Di nuovo, il massimo di emissione è collocato nell’infrarosso, eppure la lampadina emette luce visibile. Questo è possibile perché come si vede dal grafico la funzione si estende fino a 0.3 micron, includendo l’intervallo di lunghezza d’onda visibile. Quindi solo una frazione della radiazione globale emessa dalla lampadina è luce visibile.

stella

T  30 000 K lmax  1000 Å

l (mm)

B(l, 30000 K) (x1018 erg cm-3 s-1)

Spettro di Planck - Esempi

La funzione di Planck per un corpo nero che emette alla temperatura superficiale di una stella molto calda.

Questa volta il massimo di emissione cade nell’ultravioletto. La stella risulta visibile ad occhio nudo perché la funzione si estende fino all’infrarosso e oltre con emissione decrescente, ma pur sempre con valori molto alti.

z, e, d Orionis (Alnitak, Alnilam e Mintaka da sinistra in basso a destra in alto) le stelle della cintura

di Orione sono un esempio di stelle a questa temperature.

Emettono di più nell’ultravioletto ma noi le vediamo…

Notare la nebulosa testa di cavallo poco sotto Alnitak.

Il corpo nero: Legge di Wien, esempio

Usando la legge di Wien:

Calcolare la lunghezza d’onda di massima emissione per Betelgeuse (T=3600 K) e per Rigel (T=13000K).

Betelgeuse

Rigel

Dimostriamo che la legge di Wien:

deriva dalla legge di Planck:

Consideriamo:

Facciamo un cambio di variabile:

Il massimo si ha per:

Deriviamo:

Equazione trascendente:

Con soluzione numerica:

Per cui:

  1

1 2

/ 5

2



 e

T hc

B



kT hc

x  / 

1 0

5  



 





 ex

Ax dx

d

   

 

5 4

2 5 4

5

1 1 5

1 1 5

1 



 

 

 



 





 ^x

x x

x x x

x e

e Ax e

e Ax e

Ax e

Ax e

Ax dx

d

 

5 0 1

0 5

5

0 1

5























e x

x e

e x e

x

x x

x x

9651 ,

max

 4 x

max

kx

T  hc



Il corpo nero: Legge di Stefan-Boltzmann

Un corpo nero di superficie A e temperatura T emette con una luminosita’

(energia per unita’ di tempo) data da:

Dove

e’ la costante di Stefan-Boltzmann.

Per una sfera di raggio R si ha:

Una stella, come detto, e’ approssimativamente un corpo nero. Data una

stella di luminosita’ L e raggio R si definisce come la sua temperatura effettiva alla superficie la temperatura ottenuta dalla precedente formula. Il flusso alla superficie della stella sara’:

Dimostriamo che la legge di Boltzmann:

Deriva dalla legge di Planck:

Il Corpo Nero

Questa formula e’ in unita’ di steradianti, integrando su tutto l’angolo solido si ha:

  1

1 2

/ 5

2



 e

T hc

B



1 1

sin 2 1 cos

1 2

/ 5

2 2

0

2 /

0

/ 5

2

 

 

_ ^hc _e

 ^{  d  } _ ^hc _e

La luminosita’ di una stella sferica per unita’ di lunghezza d’onda e’ data da:

Facendo un cambiamento di variabile:

Si ha:

Confrontando con la legge di Stefan-Boltzman per la luminosita’:

Si ha la relazione che lega la costante di Stefan-Boltzman con quella di Boltzman, Planck,c:

1 8

1 2

/ 5

2 2 2 /

5 2

 

  

A

kT

hc

e

d hc

dA R e

d d hc

L











 



 ^ _



1 8 1



 





d hc e

R d

L

L

kT hc

x  /  ₂

 d kT dx   hc

  15 8

8 1

4 4 2

3 2 2 3 3

2 2

2

 

 kT

c h dx R

e x hc

kT hc

hc kT R

L



 



 



  

4 4 4

2 3

2 4 2

2

15

4 8 k T

c h T R

R   

 

kTx

 hc



2 3

4 5

15 2

c h

 k

 

l (mm) 2000 K

1750 K

1500 K

1250 K

All’aumentare della temperatura, l’energia totale emessa cresce, perché aumenta l’area totale sotto la curva

Il Sole ha:

Calcolare:

a) la temperatura effettiva alla superficie del Sole:

b) Il Flusso radiativo alla superficie del Sole:

c) La lunghezza d’onda di massima emissione:

 Rayleigh-Jeans

(catastrofe ultravioletta)

 Wien

Regioni di Wien e Rayleigh-Jeans

l (mm)

I (erg cm-3 s-1)

Wien

l (mm) I (erg cm-3 s-1) Rayleigh-Jeans

  1

1 2

/ 5

2



 e

T hc

B



  ²

lim





kT T c

B 





  ^{T hc e}

B





/ 5

2 0

lim 2





..

1 lim

0

  



x

kT e

hc

x

Il Corpo Nero

Legge di Planck Brillanza

Legge di Wien

Legge di Stefan-Boltzmann

Legge di Stefan-Boltzmann (caso per sfera di raggio R)

Il Corpo Nero - Esempi

La curva di corpo nero produce un buon accordo con le curve di intensità delle stelle.

Tuttavia come vedremo ci sono delle variazioni dovute ad esempio a righe di assorbimento dell’atmosfera stellare frapposta tra noi e la stella.

L’oggetto che e’ in miglior accordo in natura con la curva di corpo nero è lo spettro della radiazione di fondo cosmico, immagine dell’Universo circa 13.6 miliardi di anni fa.

In figura riportiamo le misure del satellite COBE che hanno portato al premio Nobel 2006.

I dati sono in accordo impressionante con una Distribuzione di corpo nero a 2,726 K.

Indici di colore

Ricordiamo che le osservazioni astronomiche vengono fatte in tre bande principali:

- Banda U (Ultravioletto) centrata a 365nm con larghezza di circa 68nm - Banda B (Blu) centrata a 440 nm con larghezza di circa 98nm

- Banda V (Visibile) centrata a 550 nm con larghezza di circa 89nm

Indici di colore

Abbiamo quindi introdotto gli indici di colore come differenze tra magnitudini (apparenti o assolute) tra bande:

dato che sono magnitudini una stella con indice di colore B-V piu’ piccolo sara’

piu’ luminosa nel blu rispetto ad una con indice di colore B-V piu’ grande.

Si definisce come correzione bolometrica BC:

Indice di Colore

La relazione tra magnitudine apparente in una banda e il flusso della stella e’ data da:

Dove S e’ appunto il filtro e C e’ una costante di calibrazione. Entrambi variano a seconda Della banda selezionata.

Qualche esempio di uso del corpo nero e indici di colore

Una stella molto calda ha una temperatura superficiale di 42000 K mentre una stella meno calda ha una temperatura superficiale di 10000 K. Stimare i loro Indici di colore B-V sapendo che

Approssimiamo i flussi come i valori dello spettro di Planck al centro delle bande e come integrale semplicemente moltiplichiamo per la larghezza di banda:

Ricordando che e

Cosa possiamo imparare sulle stelle dai loro spettri ?

Cosa possiamo imparare sulle stelle dai loro spettri ?

Qui le stelle seguono un corpo nero in modo quasi perfetto

Qui no

c’e’ assorbimento da parte

dell’atmosfera stellare

Righe spettrali - Fraunhofer

Joseph von Fraunhofer (1787 – 1826) è stato

un fisico e astronomo tedesco. Quando Fraunhofer rimase orfano all'età di 11 anni, iniziò a lavorare come apprendista presso un vetraio di nome

Philipp Anton Weichelsberger.

Nel 1801 il negozio in cui lavorava crollò e Fraunhofer rimase sepolto sotto le macerie.

L'operazione di salvataggio fu condotta da Massimiliano IV Giuseppe, principe elettore di 

Baviera, (il futuro Massimiliano I di Baviera). Da quel momento il principe entrò nella vita di Fraunhofer,

aiutandolo a procurarsi i libri e costringendo il suo datore di lavoro a tollerare i suoi studi. Grazie agli ottimi

strumenti che aveva sviluppato, la Baviera sostituì l'Inghilterra come centro delle industrie ottiche.

Nel 1814 Fraunhofer fu il primo ad investigare seriamente sulle righe di assorbimento nello spettro del Sole. Le

righe sono ancora oggi chiamate linee di Fraunhofer in suo onore.

Fraunhofer morì giovane, nel 1826 all'età di 39 anni per tubercolosi polmonare o, forse, più verosimilmente, per i vapori letali inalati.

Atomo di Bohr

Cerchiamo di capire adesso il perche’ vi siano solo alcune righe di emissione ed Assorbimento e non vi sia uno spettro continuo.

Consideriamo due cariche di segno opposto, tra loro vi e’ una attrazione secondo la legge di Coulomb:

Se consideriamo un atomo di idrogeno, questo e’ composto da un elettrone e da un protone entrambi di carica (in modulo):

Massa ridotta e massa totale del sistema daranno praticamente la massa dell’elettrone e la massa del protone rispettivamente:

Atomo di Bohr

Usando la II legge di Newton abbiamo:

L’energia totale e’ negativa (sistema legato):

Atomo di Bohr

Fin qui niente di strano ma Bohr quantizza il momento angolare:

riscrivendo la formula per l’energia:

Possiamo risolvere per il raggio orbitale che risulta anch’esso quantizzato:

Solo multipli del raggio di Bohr:

Ad ogni orbita corrisponde una energia:

Se un fotone viene assorbito questo corrisponde ad una transizione ad un’orbita maggiore.

La conservazione dell’energia stabilisce che:

Atomo di Bohr

Serie di Lyman

La serie di Lyman identifica la transizione dell’elettrone dallo stato fondamentale dell’atomo

di Idrogeno (n=1). Cade nella regione dell’ultravioletto ed e’ quindi non nello spettro del visibile.

L’ultravioletto è inoltre assorbito dall’atmosfera e quindi la serie di Lyman non potrebbe essere osservata da terra.

E’ tuttavia importante (come vedrete in futuro) per oggetti molto lontani (centinaia di milioni di pc) perché in quel caso l’espansione dell’universo sposta le righe verso il rosso e quindi Nel visibile e quindi osservabili da terra. Un caso sono le foreste di assorbimento Lyman-a

Nube Lyman-alpha: spettro di emissione di due quasars (galassie lontane in formazione) assorbito da una nube di idrogeno neutro frapposta tra noi ed il quasar.

Non sarebbe osservabile da terra ma il redshift z sposta lo spettro nel visibile.

Serie di Balmer

La serie di Balmer è caratterizzata dalle transizioni elettroniche da n ≥ 3 a n = 2.

Questi passaggi sono indicati ciascuno da una lettera greca: la transizione 3 -> 2 è associata alla lettera α, la 4 -> 2 alla β e così via.

Poiché storicamente queste righe sono state le prime ad essere identificate, il loro nome è formato dalla lettera H, il simbolo dell'idrogeno, seguita dalla lettera greca associata alla transizione.

La riga H-alfa, che corrisponde alla transizione 3 → 2, è una delle più frequenti nell'universo, estremamente forte in moltissimi oggetti astronomici.

Esaminandola ad alta risoluzione, si osserva che essa è costituita da un doppietto; questa suddivisione è detta struttura fine dello spettro dell'idrogeno.

Esistono righe oltre la transizione 6 → 2, che cadono nella banda ultravioletta dello spettro.

Serie di Paschen

La serie di Paschen è una sequenza di righe che descrive le righe spettrali dello spettro dell'atomo di idrogeno nella regione dell'infrarosso causate dalla transizione n→3.

Questa serie ha una importanza minore per l’astronomia.

Dopo la serie die Paschen ci sono Brackett, Pfund, Humprey, etc

Righe e moti propri

Se le righe non combaciano perfettamente con quelle in laboratorio ma vi e’

Uno «shift» sistematico questo e’ dovuto all’effetto Doppler della stella che si muove di moto proprio. Per v<<c si ha:

Stella fuggitiva di Barnard

La Stella di Barnard è una stella nella costellazione dell'Ofiuco. Mostra il più grande moto proprio di ogni altra stella conosciuta (a parte il Sole), pari a 10,3 secondi d'arco all'anno.

Questo grande moto proprio fu scoperto dall'astronomo Edward Emerson Barnard nel 1916.

Per questo viene anche a volte citata come Barnard's "Runaway" Star, cioè stella fuggitiva di Barnard.

Trovandosi ad una distanza di poco inferiore ai 6 anni luce, la Stella di Barnard è anche una delle stelle più vicine alla Terra: solo le tre componenti del sistema di Alpha Centauri sono più vicine (non contando il Sole). E’ una stella pero’ di luce debolissima (vedremo) e quindi

visibile solo al telescopio.

Calcolo Velocità stella di Barnard

La velocità tangenziale alla direzione di vista si trova con questa formula  e' in arcsec/anno e d la distanza in parsec.

Tramite effetto Doppler delle righe del ferro si trova lo spostamento radiale.