Astronomia Lezione 29/10/2015

Astronomia

Lezione 29/10/2015

Docente: Alessandro Melchiorri

e.mail: alessandro.melchiorri@roma1.infn.it

Sito web per le slides delle lezioni:

oberon.roma1.infn.it/alessandro/astro2015

●

Cartella dropbox

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Libri di testo consigliati:

●

Universe, R. Freedman, w. Kaufmann, W.H.Freeman and Co., New York

●

An introduction to modern astrophysics, B. W. Carroll, D. A. Ostlie, Addison Wesley

Astronomia

Lezione 23/10/2015

Parallasse Stellare

1 A.U.

E’ il primo metodo per misurare la distanza di una stella. L’angolo p e’ detto parallasse.

Se la parallasse si misura in secondi d’arco Invece di radianti vale questa relazione.

Transito di Venere e distanza Terra-Sole

L’ultimo transito e’ avvenuto il 5 giugno 2012. Quello precedente l’8 Giugno 2004.

Il prossimo e’ previsto nel Dicembre 2117 e nel 2125.

La Scala delle Magnitudini

Ipparco di Nicea 190 a.c.-120 a.c. fu il primo a produrre un catalogo di stelle (circa 1000) di cui individuo’ latitudine, Longitudine e a luminosità degli astri, che utilizzò quale parametro per una classificazione che assegnava ciascuna stella in sei gruppi: la cosiddetta magnitudine stellare.

Magnitudine apparente m=1 la stella piu’ luminosa.

Magnitudine apparente m=6 la stella meno luminosa. Notate che le stelle meno luminose hanno magnitudine maggiore.

Classifichiamo la luminosità delle stelle usando la magnitudine

Costellazione di

Orione

Classifichiamo la luminosità delle stelle usando la magnitudine

Costellazione di

Orione

Magnitudini delle Pleiadi

La Scala delle Magnitudini

Ipparco di Nicea 190 a.c.-120 a.c. fu il primo a produrre un catalogo di stelle (circa 1000) di cui individuo’ latitudine, Longitudine e a luminosità degli astri, che utilizzò quale parametro per una classificazione che assegnava ciascuna stella in sei gruppi: la cosiddetta magnitudine stellare.

Magnitudine apparente m=1 la stella piu’ luminosa.

Magnitudine apparente m=6 la stella meno luminosa. Notate che le stelle meno luminose hanno magnitudine maggiore.

La Scala delle Magnitudini (apparenti)

Flusso e Luminosita’

Qualche definizione:

Il flusso radiativo o flusso di una stella e’ la quantita’ di energia emessa dalla stella che attraversa perpendicolarmente una unita’ di area nell’unita’ di tempo

(si misura in Watt per metro quadro, ad esempio)

La luminosita’ e’ invece l’energia emessa per unita’ di tempo dalla sorgente (Watt).

Il flusso misurato dipende dalla Luminosita’ della sorgente e dalla sua distanza.

4 r 2

f L

 

Esempio: la luminosita’ del Sole e’

Quale e’ il flusso del Sole alla distanza di 1 A.U. (unita’

Astronomica) ?

Questo valore e’ detta irradianza solare o anche costante solare, S.

Alla distanza di 10pc invece il flusso del sole diviene:

=4.3 miliardi di volte

minore !!

Magnitudine Assoluta

Possiamo dare ad ogni stella una magnitudine intrinseca ovvero che non dipende

dalla distanza alla quale si trova. Per ogni stella si definisce come magnitudine assoluta la magnitudine apparente che la stella avrebbe se fosse posta a 10pc da noi.

Ricordando quanto detto che la variazione di 5 magnitudini corrisponde ad una variazione di 100 volte nel flusso della stella, si ha, date due stelle che:

Prendendo il logaritmo da entrambe le parti:

Prendendo una delle due magnitudini a 10pc ovvero una come magnitudine assoluta, si ha:

Conoscendo la distanza di una stella e la sua magnitudine apparente possiamo sempre Trovare la sua magnitudine assoluta.

Magnitudine Assoluta e Luminosità

Abbiamo visto che per definizione di magnitudine:

Poniamo le due stelle sono alla stessa distanza di 10pc, allora si ha:

Se una delle due stelle e’ il sole troviamo la relazione tra magnitudine Assoluta e luminosita’ della stella:

Maggiore e’ la luminosita’ della stella minore e’ la sua magnitudine assoluta

Modulo di distanza

La quantita’ (m-M) determina quindi la distanza della stella di magnitudine apparente m. Si ha quindi il modulo di distanza:

Conoscendo le magnitudini apparenti ed assolute possiamo ricavare la distanza della stella da noi. Se il modulo di distanza e' negativo la stella si trova a meno di 10 pc !

Modulo di distanza

La quantita’ (m-M) determina quindi la distanza della stella di magnitudine apparente m. Si ha quindi il modulo di distanza:

Conoscendo le magnitudini apparenti ed assolute possiamo ricavare la distanza della stella da noi. Se il modulo di distanza e' negativo la stella si trova a meno di 10 pc !

Magnitudine Assoluta del Sole

Conoscendo la distanza dal Sole possiamo calcolare la sua magnitudine assoluta:

Notate che la magnitudine assoluta e’ maggiore in questo caso di quella apparente perche’ Il Sole a 10 pc e’ chiaramente meno luminoso che visto dalla Terra !

In generale la magnitudine assoluta di una stella e’ sempre minore di quella apparente (tranne per quelle piu’ vicine a noi di 10 pc).

Magnitudine Assoluta di  Indi

Questa stella (nana arancione) ha magnitudine apparente m=4.7 ed è distante 3.6 pc. Usando la formula:

Si trova una magnitudine assoluta M=6.9. La sua magnitudine assoluta è maggiore di quella apparente perchè si trova a meno di 10 pc da noi.

Magnitudine apparente

La stella Vega e’ usata come stella di riferimento per le magnitudini apparenti. Vega viene quindi assunta avere magnitudine apparente m=0.

In realtà dato che può non essere visibile si usa il flusso di Vega e si calibrano le altre magnitudini nel modo seguente:

Vega e’ distante 25,3 anni luce, 7,75 pc.

Esercizio: trovare magnitudine assoluta e modulo di distanza della stella Vega.

La stella più luminosa nel cielo e’ Sirio con magnitudine apparente m=-1,46 e distante 8.6 anni luce (2,6 pc).

Tuttavia, a causa dei moti stellari alcune stelle risulteranno piu’ vicine o lontane a noi in futuro. Questo cambiera’ la loro magnitudine apparente.

Vega sarà molto piu’ luminosa, anche alpha centauri, canopo meno luminosa, etc.

Il Sole ha una magnitudine assoluta di 4.74, come si confronta con altre stelle ? Le magnitudini assolute delle stelle in genere sono comprese tra - 10 e + 17.

Molte stelle visibili ad occhio nudo hanno magnitudini assolute che sarebbero capaci di formare ombre da una distanza di 10 parsec: Rigel (- 6,7), Deneb (- 8,5), Naos (- 7,3),

e Betelgeuse (- 5,6). La luna ha una magnitudine apparente di -12.

Per confronto, Sirio, la stella piu’ brillante del cielo, ha una magnitudine assoluta di 1,4

(-1,46 quella apparente). Proxima Centauri, che è la stella più vicina alla Terra dopo il Sole, ha una magnitudine assoluta di 15,4.

Rigel Deneb

Naos Betelgeuse

La nebulosa del Granchio e’ il resto di una esplosione di supernova.

La supernova che la produsse fu osservata per la prima volta il 4 luglio 1054 e venne registrata dagli astronomi cinesi e arabi dell'epoca; la sua luminosità era tale che la magnitudine apparente dell'evento fu compresa tra −7 e −4,5, tale da renderla visibile ad occhio

nudo durante il giorno, sorpassando la luminosità apparente di Venere. La Nebulosa Granchio si trova a circa 6.500 anni luce dal sistema solare; perciò l'evento che l'ha prodotta è in realtà avvenuto 6.500 anni prima del 1054, cioè circa nel 5400 a.C.

Le supernovae hanno magnitudini assolute fino a -19.5 !!! (a 10 pc sarebbero 1000 volte piu’

luminose della Luna piena !)

Chaco Canyon, Arizona, USA

Le onde elettromagnetiche sono caratterizzate dalla lunghezza d’onda λ e dalla frequenza ν.

Lunghezza d’onda e frequenza determinano la posizione nello spettro elettromagnetico.

La frequenza (numero di oscillazioni per unità di tempo) si misura in Hertz (Hz =oscillazioni/s). La

lunghezza d’onda si misura in micron (μm; 10-6 m), nanometri (nm, 10-9 m) o Ångstrom (Å, 10-10 m).

La luce visibile ha lunghezze d’onda comprese tra 400-700nm (4000-7000 Å). Colori diversi

corrispondono a lunghezze d’onda diverse. Lo spettro solare ha il massimo di emissione a λ = 550 nm.

Lo Spettro Elettromagnetico

Indice di Colore

Fino adesso quando abbiamo parlato di magnitudini non abbiamo considerato che solo una parte dello spettro elettromagnetico della stella e’ misurabile.

Questo sia per filtri posti davanti al nostro ricevitore, sia per i vari assorbimenti (atmosfera, etc). Nel caso in cui non si consideri questi effetti la magnitudine si definisce come magnitudine bolometrica.

Gli astronomi pero’ misurano la magnitudine di un oggetto ponendo due o piu’ filtri davanti al rivelatore e facendo la differenza tra queste. Questo porta all’indice di colore.

Indici di colore – Sistema Johnson

Ricordiamo che le osservazioni astronomiche vengono fatte in tre bande principali:

- -

Banda U (Ultravioletto) centrata a 365nm con larghezza di circa 68nm Banda B (Blu) centrata a 440 nm con larghezza di circa 98nm

- Banda V (Visibile) centrata a 550 nm con larghezza di circa 89nm

Sistema Johnson Esteso

Magnitudine in una Banda

La relazione tra magnitudine apparente in una banda e il flusso della stella e’ data da:

Dove S e’ appunto il filtro e C e’ una costante di calibrazione. Entrambi variano a seconda Della banda selezionata.

m=0.14 d=244 pc M=-6.8 B-V=-0.03 m=0.41

d=152 pc M=-5.5

B-V=1.85

Indice di colore B-V maggiore significa che la magnitudine e’ maggiore nel Blu rispetto al Visibile. Ovvero che la stella e’ più luminosa a frequenze minori o lunghezze d’onda

maggiori. B-V maggiore significa quindi che la stella e’ più rossa.

Indici di colore bassi Stella Blu Indici di colore alti Stella Rossa

Costellazione Orione di

Il colore e’ legato alla temperatura.

Maggiore e’ la temperatura della stella, piu’ questa

appare blu e minore e’ l’indice di colore

Il Corpo Nero

Questo accade perche’ gli spettri di emissione di una stella sono in prima approssimazione dei corpi neri.

Un corpo nero e’ un oggetto che assorbe tutta la radiazione incidente e che

riemette radiazione con uno spettro in lunghezza d’onda la cui formula e’ stata scoperta da Planck e che dipende solo dalla

temperatura superficiale dell’oggetto.

Maggiore e’ la temperatura maggiore e’ l’emissione a lunghezze d’onda minori.

Legge di Wien:

Corpo Nero: Derivazione Teorica

La luce nel vuoto si propaga come un’onda elettromagnetica costituita da un campo elettrico ed uno magnetico

ortogonali tra loro e variabili nel tempo. L’onda elettromagnetica possiede una lunghezza d’onda 

(intervallo spaziale tra due creste) e procede ad una velocità pari alla velocità della luce c.

Si ha quindi che la frequenza

 (intervallo temporale tra due creste) sarà data da:

Spettro nel visibile . Lunghezze In nm

Il Corpo Nero

Questo accade perche’ gli spettri di emissione di una stella sono in prima approssimazione dei corpi neri.

Un corpo nero e’ un oggetto che assorbe tutta la radiazione incidente e che

riemette radiazione con uno spettro in lunghezza d’onda la cui formula e’ stata scoperta da Planck e che dipende solo dalla

temperatura superficiale dell’oggetto.

Maggiore e’ la temperatura maggiore e’ l’emissione a lunghezze d’onda minori.

Legge di Wien:

Corpo Nero

Un risultato facilmente intuibile è che la radiazione di corpo nero non dipende dalla forma della cavità.

Possiamo quindi limitarci a considerare una cavità che abbia una geometria semplice, ad esempio un cubo di spigolo di lunghezza a. Supponiamo che le pareti siano perfettamente conduttrici, allora è possibile immagazzinare e conservare energia e.m. all'interno della cavità senza perdite purché le

frequenze corrispondano alle frequenze di risonanza della cavità. Le frequenze di risonanza della cavità sono quelle per cui si instaurano delle onde stazionarie, quindi nelle tre direzioni devono essere

comprese un numero intero di semilunghezze d'onda. Vediamo per un lato si potranno avere solo lunghezze d’onda:

ovvero frequenze (con l numero intero):

nel caso tridimensionale si avrà:

con l, m, n numeri interi.

Corpo Nero – Caso Classico

Il problema si riconduce quindi nel trovare l’energia media di un singolo modo. Dalla statistica di Boltzmann si ha che la probabilità di avere un modo con energia tra E e E+dE alla temperatura T e’data da:

si ha quindi che l’energia media vale:

Ora ponendo si ha:

Da cui:

per ottenere infine la formula di Rayleigh-Jeans:

Corpo Nero – Catastrofe Ultravioletta

La formula di Rayleigh-Jeans:

però non funziona per i seguenti motivi: come prima cosa se adesso vogliamo calcolare l’energia totale dobbiamo integrare le frequenze tra 0 e infinito.

Il risultato e’ un valore dell’energia totale infinita che è chiaramente impossibile. Questo problema prende il nome di catastrofe ultravioletta e segna il fallimento della fisica classica.

In secondo luogo la formula di Rayleigh-Jeans funziona bene per basse frequenze ma appunto diverge per alte frequenze

(piccole lunghezze d’onda) e’ non e’ in accordo con le osservazioni.

 

I (erg cm-3 s-1)

Rayleigh-Jeans

k  1.38 10^{23 J K1  1.38 1016 erg K1}

Corpo Nero – Caso Quantistico

La soluzione (geniale) trovata da Planck consiste nell’imporre che tutti i modi di frequenza

 possono avere energia pari solo a multipli di h con h costante.

la probabilità diviene:

e il valore medio adesso si media su sommatorie e non integrali:

Si ha quindi:

da cui:

ottenendo infine la formula di Planck:

Max Planck (1858-1947)

Ha ideato la teoria dei quanti, che insieme con la teoria della relatività di Albert Einstein è uno dei pilastri

della fisica contemporanea.

Nel 1900 Planck rese nota la sua ipotesi nella quale sosteneva che gli scambi di energia nei fenomeni di emissione e di assorbimento delle radiazioni

elettromagnetiche avvengono in forma discreta

(proporzionale alla loro frequenza di oscillazione, secondo una costante universale), non già in forma continua, come sosteneva la teoria elettromagnetica classica.

Nel 1901 Planck passò dall'ipotesi quantistica alla vera e propria teoria quantistica, secondo la quale

gli atomi assorbono ed emettono radiazioni in modo

discontinuo, per quanti di energia, cioè quantità di energia finite e discrete. In tal modo anche l'energia può essere

concettualmente rappresentata, come la materia, sotto forma granulare: i quanti sono appunto

come granuli di energia indivisibili.

La sua teoria gli valse il premio Nobel per la fisica del 1918.

Corpo Nero – Formula di Planck

La formula di Planck rimuove il problema della catastrofe ultravioletta perché l’energia va a zero per alte frequenze o basse lunghezze d’onda.

Ha inoltre un ottimo accordo con le osservazioni se poniamo:

La densità numerica di «fotoni» è semplicemente data da:

Per un oggetto a T=300K si ha che nel visibile la densità numerica vale:

Per metro cubo. Questo spiega perché l’emissione di corpo nero e’ assolutamente trascurabile nel visibile per un corpo a temperatura ambiente (cosa non vera per RJ!).

Corpo Nero – Formula di Planck

La formula di Planck rimuove il problema della catastrofe ultravioletta perché l’energia va a zero per alte frequenze o basse lunghezze d’onda.

Ha inoltre un ottimo accordo con le osservazioni se poniamo:

La densità numerica di «fotoni» è semplicemente data da:

Per un oggetto a T=300K si ha che nel visibile la densità numerica vale:

Per metro cubo. Questo spiega perché l’emissione di corpo nero e’ assolutamente trascurabile nel visibile per un corpo a temperatura ambiente (cosa non vera per RJ!).

Formula di Planck

Un punto importante da ricordare e’ che la densità di energia trovata è una quantità per Intervallo di pulsazione, se passiamo alle frequenze deve valere:

e quindi, sostituendo:

 ^  ^{ }   ^{ }

 , T d  , T d

  ^{    }   ^{ }



 





T d

e d c

h e

d d c

T

,

1 8

, 1

3 /

2 3

3



 

 ℏ



  1

, 8

3





e d c

d h

T   







Spettro di Planck - Brillanza

In astronomia saremo interessati all’energia emessa per unità di superficie, per unità di tempo, per unità di angolo solido, la brillanza o brightness. Questa quantita’ per un raggio di luce e’ legata alla densità di energia di un corpo nero (che è isotropa) tramite:

Attenzione al cambiamento di variabile in lunghezza d’onda perché:

e quindi si ha (notare la potenza di l):

   

1 , 2

4

3

 



e d c

T h d c

T

B

  



 

  ^

  ^



T d B T d

B  

  1

2

/ 5

2



 e

d T hc

B





l (mm) 2000 K

1750 K

1500 K

1250 K

Spettro di Planck

In figura riportiamo lo spettro di

corpo nero nel caso di 4 temperature diverse.

Da notare:

- A temperature crescenti lo spettro ha un incremento complessivo.

Due curve di corpo nero a

temperature diverse non si intrecciano mai !

- A temperature maggiori la posizione del picco si sposta verso frequenze

maggiori (lunghezze d’onda minori).

Cioè va dal rosso al blu.

OGGETTI BLU SONO PIU’ CALDI DI ROSSI.

corpo umano

T = 37° C = 310 K l_{max  9 m}

l (mm)

B(l, 310 K) (x108 erg cm-3 s-1) La funzione di Planck per un corpo nero che emette alla temperatura del corpo umano. Il massimo di emissione si ha a circa 9 micron, mentre al di sotto di 3 micron non c’è praticamente alcuna emissione. Infatti al buio una persona risulta invisibile, mentre diventa visibile con un sensore di luce infrarossa.

Spettro di Planck - Esempi

lampada a incandescenza T  3 000 K

l_{max  1 m}

l (mm)

B(l, 3000 K) (x1013 erg cm-3 s-1)

Spettro di Planck - Esempi

La funzione di Planck per un corpo nero che emette alla temperatura di una lampadina a incandescenza. Di nuovo, il massimo di emissione è collocato nell’infrarosso, eppure la lampadina emette luce visibile. Questo è possibile perché come si vede dal grafico la funzione si estende fino a 0.3 micron, includendo l’intervallo di lunghezza d’onda visibile. Quindi solo una frazione della radiazione globale emessa dalla lampadina è luce visibile.

stella

T  30 000 K lmax  1000 Å

l (mm)

B(l, 30000 K) (x1018 erg cm-3 s-1)

Spettro di Planck - Esempi

La funzione di Planck per un corpo nero che emette alla temperatura superficiale di una stella molto calda.

Questa volta il massimo di emissione cade nell’ultravioletto. La stella risulta visibile ad occhio nudo perché la funzione si estende fino all’infrarosso e oltre con emissione decrescente, ma pur sempre con valori molto alti.

z, e, d Orionis (Alnitak, Alnilam e Mintaka da sinistra in basso a destra in alto) le stelle della cintura

di Orione sono un esempio di stelle a questa temperature.

Emettono di più nell’ultravioletto ma noi le vediamo…

Notare la nebulosa testa di cavallo poco sotto Alnitak.

Il Corpo Nero

Le stelle emettono approssimativamente come dei corpi neri. Tale emissione ha uno spettro continuo come quello raffigurato in figura (grafichiamo l’energia emessa per

unita’ di tempo, di area, di lunghezza d’onda e di angolo solido) in funzione della lunghezza d’onda e della temperatura superficiale dell’oggetto.

Maggiore e’ la temperatura minore e’ la lunghezza d’onda alla quale si ha il massimo.

Oggetti piu’ caldi avranno il massimo a lunghezze d’onda minori e ci appariranno piu’ blu.

Il Corpo Nero

Legge di Wien (con lunghezza d’onda misurata in metri):

Il corpo nero: Legge di Wien, esempio

Usando la legge di Wien:

Calcolare la lunghezza d’onda di massima emissione per Betelgeuse (T=3600 K) e per Rigel (T=13000K).

Betelgeuse

Rigel

Dimostriamo che la legge di Wien:

deriva dalla legge di Planck:

Consideriamo:

Facciamo un cambio di variabile:

Il massimo si ha per:

Deriviamo:

Equazione trascendente:

Con soluzione numerica:

Per cui:

  1

1 2

/ 5

2



 e

T hc

B



kT hc

x  / 

1 0

5  



 





 ex

Ax dx

d

   

 

5 4

2 5 4

5

1 1 5

1 1 5

1 



 

 

 



 





 ^x

x x

x x x

x e

e Ax e

e Ax e

Ax e

Ax e

Ax dx

d

 

5 0 1

0 5

5

0 1

5























e x

x e

e x e

x

x x

x x

9651 ,

max

 4 x

max

kx

T  hc



Il corpo nero: Legge di Stefan-Boltzmann

Un corpo nero di superficie A e temperatura T emette con una luminosita’

(energia per unita’ di tempo) data da:

Dove

e’ la costante di Stefan-Boltzmann.

Per una sfera di raggio R si ha:

Una stella, come detto, e’ approssimativamente un corpo nero. Data una

stella di luminosita’ L e raggio R si definisce come la sua temperatura effettiva alla superficie la temperatura ottenuta dalla precedente formula. Il flusso alla superficie della stella sara’:

Dimostriamo che la legge di Boltzmann:

Deriva dalla legge di Planck:

Il Corpo Nero

Questa formula e’ in unita’ di steradianti, integrando su tutto l’angolo solido si ha:

  1

1 2

/ 5

2



 e

T hc

B



1 1

sin 2 1 cos

1 2

/ 5

2 2

0

2 /

0

/ 5

2

 

 

_ ^hc _e

 ^{  d  } _ ^hc _e

La luminosita’ di una stella sferica per unita’ di lunghezza d’onda e’ data da:

Facendo un cambiamento di variabile:

Si ha:

Confrontando con la legge di Stefan-Boltzman per la luminosita’:

Si ha la relazione che lega la costante di Stefan-Boltzman con quella di Boltzman, Planck,c:

1 8

1 2

/ 5

2 2 2 /

5 2

 

  

A

kT

hc

e

d hc

dA R e

d d hc

L











 



 ^ _



1 8 1



 





d hc e

R d

L

L

kT hc

x  /  ₂

 d kT dx   hc

  15 8

8 1

4 4 2

3 2 2 3 3

2 2

2

 

 kT

c h dx R

e x hc

kT hc

hc kT R

L



 



 



  

4 4 4

2 3

2 4 2

2

15

4 8 k T

c h T R

R   

 

kTx

 hc



2 3

4 5

15 2

c h

 k

 

l (mm) 2000 K

1750 K

1500 K

1250 K

All’aumentare della temperatura, l’energia totale emessa cresce, perché aumenta l’area totale sotto la curva

Il Sole ha:

Calcolare:

a) la temperatura effettiva alla superficie del Sole:

b) Il Flusso radiativo alla superficie del Sole:

c) La lunghezza d’onda di massima emissione:

 Rayleigh-Jeans

(catastrofe ultravioletta)

 Wien

Regioni di Wien e Rayleigh-Jeans

l (mm)

I (erg cm-3 s-1)

Wien

l (mm) I (erg cm-3 s-1) Rayleigh-Jeans

  1

1 2

/ 5

2



 e

T hc

B



  ²

lim





kT T c

B 





  ^{T hc e}

B





/ 5

2 0

lim 2





..

1 lim

0

  



x

kT e

hc

x

Indici di colore

Ricordiamo che le osservazioni astronomiche vengono fatte in tre bande principali:

- Banda U (Ultravioletto) centrata a 365nm con larghezza di circa 68nm - Banda B (Blu) centrata a 440 nm con larghezza di circa 98nm

- Banda V (Visibile) centrata a 550 nm con larghezza di circa 89nm