Astronomia Lezione 17/10/2014 Docente: Alessandro Melchiorri

Astronomia

Lezione 17/10/2014

Docente: Alessandro Melchiorri

e.mail:alessandro.melchiorri@roma1.infn.it Slides delle lezioni:

oberon.roma1.infn.it/alessandro/astro2014

Riepilogo lezione passata.

Se la parallasse si misura in secondi d’arco invece di radianti vale questa relazione.

In Astronomia e’ di fondamentale importanza trovare dei metodi per la determinazione delle distanze da noi degli oggetti celesti.

Il metodo piu’ semplice e’ quello della Parallasse (misurare angolo p dopo ½ anno):

Le distanze delle stelle pero’ si misurano in parsec, vale a dire la distanza a cui corrisponde Una parallasse stellare di 1’’.

Riepilogo lezione passata.

La parallasse pero’ vale solo per distanze «piccole». Da terra al massimo si misurano distanze < 50 pc. Nello spazio (Hypparcos) 1Kpc, e al massimo 10 Kpc con missioni future come Gaia. Il raggio (luminoso) della Via Lattea e’ di circa 10 Kpc.

Data una stella possiamo introdurre tre quantita’: la sua distanza d, il flusso radiativo F (energia per unita’ di tempo per unita’ di area) che riceviamo qui sulla Terra, e la sua luminosita’ L (energia emessa per unita’ di tempo). Queste tre quantita’ sono legate tra loro dalla semplice relazione:

4 d 2

F L

 

Riepilogo lezione passata.

In astronomia, invece di usare i Flussi si preferisce usare le magnitudini apparenti m.

Un flusso 100 volte maggiore corrisponde alla variazione di 5 magnitudini.

Si ha quindi, date due stelle di flussi F¹ ed F², la seguente relazione con le magnitudini:

Oppure, prendendo il logaritmo:

notare il segno meno !!

Magnitudini piu’ grandi corrispondono a flussi minori.

Più è brillante è la stella nel cielo minore è la sua magnitudine apparente.

Riepilogo lezione passata.

In astronomia, invece di usare i flussi si preferisce usare le magnitudini apparenti m.

Un flusso 100 volte maggiore corrisponde alla variazione di 5 magnitudini.

Si ha quindi, date due stelle di flussi F1 ed F2, la seguente relazione con le magnitudini:

Oppure, prendendo il logaritmo:

notare il segno meno !!

Magnitudini piu’ grandi corrispondono a flussi minori.

Più è brillante è la stella nel cielo minore è la sua magnitudine apparente.

Magnitudine apparente

La stella Vega e’ usata come stella di riferimento per le magnitudini apparenti.

Vega viene quindi assunta avere magnitudine apparente m=0.

In realtà dato che può non essere visibile si usa il flusso di Vega e si calibrano le altre magnitudini nel modo seguente:

Vega e’ distante 25,3 anni luce, 7,76 pc.

Magnitudine Assoluta

Possiamo dare ad ogni stella una magnitudine intrinseca ovvero che non dipende

dalla distanza alla quale si trova. Per ogni stella si definisce come magnitudine assoluta la magnitudine apparente che la stella avrebbe se fosse posta a 10pc da noi.

Dato che tra due stelle si ha che:

Considerando ora la stessa stella ma prendendo una delle due magnitudini a 10pc ovvero la sua magnitudine assoluta, si ha:

e quindi la relazione:

Modulo di distanza

Quindi in pratica, data una stella la relazione che lega flusso, luminosita’ e distanza:

In astronomia diventa la seguente espressione detta modulo di distanza:

4 d 2

F L

 

m=0.41 d=152 pc M=-5.5

m=0.14 d=244 pc M=-6.8

Magnitudine Assoluta del Sole

Conoscendo la distanza del Sole dalla Terra e la sua magnitudine apparente possiamo calcolare la sua magnitudine assoluta:

Notate che la magnitudine assoluta e’ maggiore in questo caso di quella apparente perche’

Il Sole a 10 pc e’ chiaramente meno luminoso che visto dalla Terra !

In generale la magnitudine assoluta di una stella e’ sempre minore di quella apparente (tranne per quelle piu’ vicine a noi di 10 pc).

Magnitudine Assoluta

Data una stella, di luminosita’ L, la sua magnitudine assoluta puo’ essere ricavata a partire dalla luminosita’ e magnitudine assoluta del Sole, tramite:

Dove =+4.74 e e

Le onde elettromagnetiche sono caratterizzate dalla lunghezza d’onda λ e dalla frequenza ν.

Lunghezza d’onda e frequenza determinano la posizione nello spettro elettromagnetico.

La frequenza (numero di oscillazioni per unità di tempo) si misura in Hertz (Hz =oscillazioni/s).

La lunghezza d’onda si misura in micron (μm; 10-6 m), nanometri (nm, 10-9 m) o Ångstrom (Å, 10-10 m). La luce visibile ha lunghezze d’onda comprese tra 400-700

nm (4000-7000 Å). Colori diversi corrispondono a lunghezze d’onda diverse. Lo spettro solare ha il massimo di emissione a λ = 550 nm.

Lo Spettro Elettromagnetico

Indice di Colore

Fino adesso quando abbiamo parlato di magnitudini non abbiamo considerato che solo una parte dello spettro elettromagnetico della stella e’ misurabile.

Questo sia per filtri posti davanti al nostro ricevitore, sia per i vari assorbimenti (atmosfera, etc). Nel caso in cui non si consideri questi effetti la magnitudine si definisce come magnitudine bolometrica.

Gli astronomi pero’ misurano la magnitudine di un oggetto ponendo due o piu’

filtri davanti al rivelatore e facendo la differenza tra queste. Questo porta all’indice di colore.

Indici di colore – Sistema Johnson

Ricordiamo che le osservazioni astronomiche vengono fatte in tre bande principali:

- Banda U (Ultravioletto) centrata a 365nm con larghezza di circa 68nm

- Banda B (Blu) centrata a 440 nm con larghezza di circa 98nm - Banda V (Visibile) centrata a 550 nm con larghezza di circa 89nm

Sistema Johnson Esteso

Nebulosa dell’Aquila

Indice di Colore

L’indice di colore e’ definito come la differenza tra due magnitudini di uno stesso oggetto misurate in bande di colore diverse.

- Le magnitudini apparenti in una certa banda di colore si indicano con U,V,B

- Le magnitudini assolute in una banda di colore si indicano invece con M^U,M^V,M^B Quindi, ad esempio, U-B e’ l’indice di colore tra l’ultravioletto ed il blu, B-V e’

l’indice di colore tra blu e visibile. Notare che:

dato che magnitudini apparenti e assolute differiscono solo per la distanza che è la stessa per ogni banda.

Magnitudine in una Banda

La relazione tra magnitudine apparente in una banda e il flusso della stella e’ data da:

Dove S e’ appunto il filtro e C e’ una costante di calibrazione. Entrambi variano a seconda Della banda selezionata.

Per misurare la magnitudine apparente U si usano delle funzioni di sensibilita’ S:

La costante C la possiamo misurare ponendo una magnitudine di riferimento.

In generale si assume che la stella Vega abbia magnitudine zero in ogni banda.

Per la magnitudine bolometrica si ha, per definizione:

La costante in questo caso si e’ cercata in modo tale che la correzione bolometrica:

m=0.41 d=152 pc M=-5.5 B-V=1.85

m=0.14 d=244 pc M=-6.8 B-V=-0.03

Indice di colore B-V maggiore significa che la magnitudine e’ maggiore nel Blu rispetto al Visibile. Ovvero che la stella e’ più luminosa a frequenze minori o

lunghezze d’onda maggiori. B-V maggiore significa quindi che la stella e’ più rossa.

Indici di colore bassi Stella Blu Indici di colore alti Stella Rossa

Costellazione Orione di

Il colore e’ legato alla temperatura.

Maggiore e’ la temperatura della stella, piu’ questa

appare blu e minore e’ l’indice di colore

Il Corpo Nero

Questo accade perche’ gli spettri di emissione di una stella sono in prima approssimazione dei corpi neri.

Un corpo nero e’ un oggetto che assorbe tutta la radiazione incidente e che riemette radiazione con uno spettro in lunghezza d’onda la cui formula e’ stata scoperta da Planck e che dipende solo dalla

temperatura superficiale dell’oggetto.

Maggiore e’ la temperatura maggiore e’ l’emissione a lunghezze d’onda minori.

Legge di Wien:

Corpo Nero: Derivazione Teorica

La luce nel vuoto si propaga come un’onda

elettromagnetica costituita da un campo elettrico ed uno magnetico ortogonali tra loro e variabili nel tempo.

L’onda elettromagnetica possiede una lunghezza

d’onda l (intervallo spaziale tra due creste) e procede ad una velocità pari alla velocità della luce c.

Si ha quindi che la frequenza

n (intervallo temporale tra due creste) sarà data da:

Spettro nel visibile . Lunghezze In nm

Il Corpo Nero

L’andamento in lunghezza d’onda del corpo nero ha una formula analitica scoperta da Max Planck (1858-1947):

Con costante di Planck e costante di Boltzmann.

Corpo Nero

Un risultato facilmente intuibile è che la radiazione di corpo nero non dipende dalla forma della cavità. Possiamo quindi limitarci a considerare una cavità che abbia una geometria semplice, ad esempio un cubo di spigolo di lunghezza a. Supponiamo che le pareti siano perfettamente conduttrici, allora è possibile immagazzinare e conservare energia e.m.

all'interno della cavità senza perdite purché le frequenze corrispondano alle frequenze di risonanza della cavità. Le frequenze di risonanza della cavità sono quelle per cui si instaurano delle onde stazionarie, quindi nelle tre direzioni devono essere comprese un numero intero di semilunghezze d'onda. Vediamo per un lato si potranno avere solo lunghezze d’onda:

ovvero frequenze (con l numero intero):

nel caso tridimensionale si avrà:

con l, m, n numeri interi.

Corpo Nero – Caso Classico

Il problema si riconduce quindi nel trovare l’energia media di un singolo modo.

Dalla statistica di Boltzmann si ha che la probabilità di avere un modo con energia tra E e E+dE alla temperatura T e’data da:

si ha quindi che l’energia media vale:

Ora ponendo si ha:

Da cui:

per ottenere infine la formula di Rayleigh-Jeans:

Corpo Nero – Catastrofe Ultravioletta

La formula di Rayleigh-Jeans:

però non funziona per i seguenti motivi: come prima cosa se adesso vogliamo calcolare l’energia totale dobbiamo integrare le frequenze tra 0 e infinito.

Il risultato e’ un valore dell’energia totale infinita che è chiaramente impossibile.

Questo problema prende il nome di catastrofe ultravioletta e segna il fallimento della fisica classica.

In secondo luogo la formula di Rayleigh-Jeans funziona bene per basse frequenze ma

appunto diverge per alte frequenze (piccole lunghezze d’onda) e’ non e’ in accordo con le osservazioni.

l (mm)

I (erg cm-3 s-1) Rayleigh-Jeans

1 16

1

23 JK 1.38 10 ergK

10 1.38

k   ^{ }   ^{ }

Corpo Nero – Caso Quantistico

La soluzione (geniale) trovata da Planck consiste nell’imporre che tutti i modi di frequenza

n possono avere energia pari solo a multipli di hn con h costante.

la probabilità diviene:

e il valore medio adesso si media su sommatorie e non integrali:

Si ha quindi:

da cui:

ottenendo infine la formula di Planck:

Max Planck (1858-1947)

Ha ideato la teoria dei quanti, che insieme con la teoria della relatività di Albert Einstein è uno dei pilastri

della fisica contemporanea.

Nel 1900 Planck rese nota la sua ipotesi nella quale sosteneva che gli scambi di energia nei fenomeni di emissione e di assorbimento delle radiazioni

elettromagnetiche avvengono in forma discreta (proporzionale alla loro frequenza di oscillazione, secondo una costante universale), non già in forma continua, come sosteneva la teoria elettromagnetica classica.

Nel 1901 Planck passò dall'ipotesi quantistica alla vera e propria teoria quantistica, secondo la quale

gli atomi assorbono ed emettono radiazioni in modo discontinuo, per quanti di energia, cioè quantità di

energia finite e discrete. In tal modo anche l'energia può essere concettualmente rappresentata, come la materia, sotto forma granulare: i quanti sono appunto

come granuli di energia indivisibili.

La sua teoria gli valse il premio Nobel per la fisica del 1918.

Corpo Nero – Formula di Planck

La formula di Planck rimuove il problema della catastrofe ultravioletta perché l’energia va a zero per alte frequenze o basse lunghezze d’onda.

Ha inoltre un ottimo accordo con le osservazioni se poniamo:

La densità numerica di «fotoni» è semplicemente data da:

Per un oggetto a T=300K si ha che nel visibile la densità numerica vale:

Per metro cubo. Questo spiega perché l’emissione di corpo nero e’ assolutamente trascurabile nel visibile per un corpo a temperatura ambiente (cosa non vera per RJ!).

Formula di Planck

Un punto importante da ricordare e’ che la densità di energia trovata è una quantità per Intervallo di pulsazione, se passiamo alle frequenze deve valere:

e quindi, sostituendo:

 ^  ^{ }   ^{ }

 , T d  , T d

  ^{    }   ^{ }



 





T d

e d c

h e

d d c

T

,

1 8

, 1

3 /

2 3

3



 

 



  1

, 8

3





e d c

d h

T   







Spettro di Planck - Brillanza

In astronomia saremo interessati all’energia emessa per unità di superficie, per unità di tempo, per unità di angolo solido, la brillanza o brightness. Questa quantita’ per un raggio di luce e’ legata alla densità di energia di un corpo nero (che è isotropa) tramite:

Attenzione al cambiamento di variabile in lunghezza d’onda perché:

e quindi si ha (notare la potenza di l):

   

1 , 2

4

3

 



e d c

T h d c

T

B

  



 

  ^

  ^



T d B T d

B  

  1

2

/ 5

2



 e

d T hc

B





l (mm) 2000 K

1750 K

1500 K

1250 K

Spettro di Planck

In figura riportiamo lo spettro di

corpo nero nel caso di 4 temperature diverse.

Da notare:

- A temperature crescenti lo spettro ha un incremento complessivo.

Due curve di corpo nero a

temperature diverse non si intrecciano mai !

- A temperature maggiori la posizione del picco si sposta verso frequenze

maggiori (lunghezze d’onda minori).

Cioè va dal rosso al blu.

OGGETTI BLU SONO PIU’ CALDI DI ROSSI.

corpo umano

T = 37° C = 310 K lmax  9 m

l (mm)

B(l, 310 K) (x108 erg cm-3 s-1) La funzione di Planck per un corpo nero che emette alla temperatura del corpo umano. Il massimo di emissione si ha a circa 9 micron, mentre al di sotto di 3 micron non c’è praticamente alcuna emissione. Infatti al buio una persona risulta invisibile, mentre diventa visibile con un sensore di luce infrarossa.

Spettro di Planck - Esempi

lampada a incandescenza T  3 000 K

lmax  1 m

l (mm)

B(l, 3000 K) (x1013 erg cm-3 s-1)

Spettro di Planck - Esempi

La funzione di Planck per un corpo nero che emette alla temperatura di una lampadina a incandescenza. Di nuovo, il massimo di emissione è collocato nell’infrarosso, eppure la lampadina emette luce visibile. Questo è possibile perché come si vede dal grafico la funzione si estende fino a 0.3 micron, includendo l’intervallo di lunghezza d’onda visibile. Quindi solo una frazione della radiazione globale emessa dalla lampadina è luce visibile.

stella

T  30 000 K lmax  1000 Å

l (mm)

B(l, 30000 K) (x1018 erg cm-3 s-1)

Spettro di Planck - Esempi

La funzione di Planck per un corpo nero che emette alla temperatura superficiale di una stella molto calda.

Questa volta il massimo di emissione cade nell’ultravioletto. La stella risulta visibile ad occhio nudo perché la funzione si estende fino all’infrarosso e oltre con emissione decrescente, ma pur sempre con valori molto alti.

z, e, d Orionis (Alnitak, Alnilam e Mintaka da sinistra in basso a destra in alto) le stelle della cintura

di Orione sono un esempio di stelle a questa temperature.

Emettono di più nell’ultravioletto ma noi le vediamo…

Notare la nebulosa testa di cavallo poco sotto Alnitak.

Il Corpo Nero

Le stelle emettono approssimativamente come dei corpi neri. Tale emissione ha uno spettro continuo come quello raffigurato in figura (grafichiamo l’energia emessa per

unita’ di tempo, di area, di lunghezza d’onda e di angolo solido) in funzione della lunghezza d’onda e della temperatura superficiale dell’oggetto.

Maggiore e’ la temperatura minore e’ la lunghezza d’onda alla quale si ha il massimo.

Oggetti piu’ caldi avranno il massimo a lunghezze d’onda minori e ci appariranno piu’ blu.

Il Corpo Nero

Legge di Wien (con lunghezza d’onda misurata in metri):

Il corpo nero: Legge di Wien, esempio

Usando la legge di Wien:

Calcolare la lunghezza d’onda di massima emissione per Betelgeuse (T=3600 K) e per Rigel (T=13000K).

Betelgeuse

Rigel

Dimostriamo che la legge di Wien:

deriva dalla formula di Planck

Consideriamo:

Facciamo un cambio di variabile:

Il massimo si ha per:

Deriviamo:

Equazione trascendente:

Con soluzione numerica:

Per cui:

  1

1 2

/ 5

2



 e

T hc

B



kT hc

x  / 

1 0

5  



 





 ex

Ax dx

d

   

 

5 4

2 5 4

5

1 1 5

1 1 5

1 



 

 

 



 





 ^x

x x

x x x

x e

e Ax e

e Ax e

Ax e

Ax e

Ax dx

d

 

5 0 1

0 5

5

0 1

5























e x

x e

e x e

x

x x

x x

9651 ,

max

 4 x

max

kx

T  hc



Dimostriamo che la legge di Stefan-Boltzmann :

deriva dalla formula di Planck

Il Corpo Nero

Questa formula e’ in unita’ di steradianti, integrando su tutto l’angolo solido si ha:

  1

1 2

/ 5

2



 e

T hc

B



1 1

sin 2 1 cos

1 2

/ 5

2 2

0

2 /

0

/ 5

2

 

 

_ ^hc _e

 ^{  d  } _ ^hc _e

La luminosita’ di una stella sferica per unita’ di lunghezza d’onda e’ data da:

Facendo un cambiamento di variabile:

Si ha:

Confrontando con la legge di Stefan-Boltzman per la luminosita’:

Si ha la relazione che lega la costante di Stefan-Boltzman con quella di Boltzman, Planck,c:

1 1

8 1

1 2

/ 5

2 2 2 /

5 2

 

  

A

kT

hc

e

hc dA R

e d hc

L







 



 ^ _



1 8 1



 





d hc e

R d

L

L

kT hc

x  /  ₂

 d kT dx   hc

  15 8

8 1

4 4 2

3 2 2 3 3

2 2

2

 

 kT

c h dx R

e x hc

kT hc

hc kT R

L



 



 



  

4 4 4

2 3

2 4 2

2

15

4 8 k T

c h T R

R   

 

kTx

 hc



2 3

4 5

15 2

c h

 k

 

à

Rayleigh-Jeans

(catastrofe ultravioletta)

 Wien

Regioni di Wien e Rayleigh-Jeans

l (mm)

I (erg cm-3 s-1)

Wien

l (mm)

I (erg cm-3 s-1)

Rayleigh-Jeans

  1

1 2

/ 5

2



 e

T hc

B



  ²

lim





kT T c

B 





  ^{T hc e}

B





/ 5

2 0

lim 2





..

1 lim

0

  



x

kT e

hc

x

Qualche esempio di uso del corpo nero e indici di colore

Una stella molto calda ha una temperatura superficiale di 42000 K mentre una stella meno calda ha una temperatura superficiale di 10000 K. Stimare i loro Indici di colore B-V sapendo che

Approssimiamo i flussi come i valori dello spettro di Planck al centro delle bande e come integrale semplicemente moltiplichiamo per la larghezza di banda:

Ricordando che e

Cosa possiamo imparare sulle stelle dai loro spettri ?

Cosa possiamo imparare sulle stelle dai loro spettri ?

Qui le stelle seguono un corpo nero in modo quasi perfetto

Qui no

c’e’ assorbimento da parte

dell’atmosfera stellare

Linee spettrali

Ha identificato delle linee «nere»

nella luce del Sole dispersa da un prisma. Intorno il 1814, Fraunhofer Catalogo’ oltre 475 linee di questo Tipo.

Linee e moti propri

Se le linee non combaciano perfettamente con quelle in laboratorio ma vi e’

Uno «shift» sistematico questo e’ dovuto all’effetto Doppler della stella che si muove di moto proprio. Per v<<c si ha:

Atomo di Bohr

Cerchiamo di capire adesso il perche’ vi siano solo alcune righe di emissione ed Assorbimento e non vi sia uno spettro continuo.

Consideriamo due cariche di segno opposto, tra loro vi e’ una attrazione secondo la legge di Coulomb:

Se consideriamo un atomo di idrogeno, questo e’ composto da un elettrone e da un protone entrambi di carica (in modulo):

Massa ridotta e massa totale del sistema daranno praticamente la massa dell’elettrone e la massa del protone rispettivamente:

Atomo di Bohr

Usando la II legge di Newton abbiamo:

L’energia totale e’ negativa (sistema legato):

Atomo di Bohr

Fin qui niente di strano ma Bohr quantizza il momento angolare:

riscrivendo la formula per l’energia:

Possiamo risolvere per il raggio orbitale che risulta anch’esso quantizzato:

Solo multipli del raggio di Bohr:

Ad ogni orbita corrisponde una energia:

Se un fotone viene assorbito questo corrisponde ad una transizione ad un’orbita maggiore.

La conservazione dell’energia stabilisce che:

Atomo di Bohr