Effetto fionda gravitazionale

Effetto fionda gravitazionale

Figure 1:

L’effetto fionda gravitazionale `e stato usato per accelerare le sonde dirette ai confini del sistema solare sfruttando l’attrazione di gravit`a dei pianeti cui passano vicino e risparmiando cos`ı carburante.

Si vuole accelerare una sonda attraverso un passaggio ravvicinato su Giove. Si consideri il sistema Giove-sonda come un sistema isolato. Si consideri inoltre trascurabile la massa della sonda rispetto a quella di Giove.

Si cominci con lo studiare il problema nel sistema di riferimento solidale con Giove, prendendo l’asse x coincidente con l’asse di simmetria della triettoria iperbolica della sonda. Sia ~v₀ la velocit`a iniziale (t = −∞) della sonda e b il suo parametro di impatto (Fig. 1a).

Si ricorda che, con questa scelta dell’asse x, l’angolo minimo θm della traiettoria iperbolica, corrispondente a t = +∞ (con la scelta fatta per la direzione di percorrenza in Fig.1a, l’angolo polare varia da θ(t = −∞) = π − θm a θ(t = +∞) = θm), `e legato a b e v0 da:

tan θm= bv₀²

GM (1)

1. Si scriva l’espressione delle grandezze fisiche conservate in funzione di v0 e b.

1

2. Si trovi la distanza minima della sonda da Giove.

3. Supponendo v₀ fissata, qual il minimo valore di b per cui la sonda non precipita su Giove?

Si consideri ora il sistema di coordinate solidale con il sole (Fig. 1b) con asse x diretto lungo la direzione del moto di Giove, che si pu`o considerare rettilineo uniforme per il tempo della interazione (~V<sub>G</sub> = V<sub>G</sub>eˆ<sub>x</sub> = cost) e sia θ l’angolo fra la direzione della velocit`a iniziale della sonda e l’asse x (θ > π/2).

Si scelgano, inoltre, i parametri iniziali della traiettoria in modo che gli assi x dei due sistemi di riferimento (solidale con Giove e solidale con il Sole) coincidano.

In questa ipotesi:

4. si scrivano le componenti della velocit`a finale della sonda in funzione delle componenti della velocit`a iniziale v0x e v0y e di VG;

5. per quale valore di θ si ottiene la massima velocit`a finale della sonda?

Quanto vale questa velocit`a nel caso particolare in cui v1= VG?

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