1. La forza gravitazionale Gravitazione

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Gravitazione

1. La forza gravitazionale

1.1 Legge di gravitazione universale

Possiamo così esprimere la Legge di gravitazione universale formulata da Newton:

Due corpi qualsiasi, di masse m ed ₁ m e di dimensioni trascurabili rispetto alla loro ₂ distanza, si attraggono con una forza diretta lungo la congiungente, di intensità direttamente proporzionale al prodotto delle masse ed inversamente proporzionale al quadrato della distanza:

ove ! = 6.67 "10^#11 m³kg^#1s^#2è detta costante di gravitazione universale.

Oss.: La forza gravitazionale non richiede contatto fra i due corpi interagenti, ma agisce a distanza; anzi, ha raggio d’azione infinito.

1.2 Verifica della legge di gravitazione universale

Storicamente, Isaac Newton nel 1666 formulò la legge di gravitazione universale come spiegazione dinamica delle leggi di Keplero per il moto dei pianeti, e fece poi la prima verifica della legge di gravitazione confrontando tra loro:

- l’accelerazione gravitazionale g sulla Terra - l’accelerazione centripeta a della Luna. _L

Infatti, se vale la legge di gravitazione universale si deve avere che l’accelerazione di gravità sulla Terra

!

g = F M

(

_T,m,R_T

)

m = " M_T

R_T² , mentre

!

a_L = F M

(

_T,m_L,r_L

)

m_L = " M_T r_L² dove con

!

R_T abbiamo indicato il raggio della Terra e con r il raggio dell’orbita lunare. _L Stiamo inoltre considerando la Terra, nel calcolo di g, come se la sua massa fosse tutta concentrata nel centro: non si tratta di un’approssimazione, ma ciò accade per tutti i corpi sferici omogenei oppure con andamento della densità a simmetria sferica.

Dunque, deve essere

2

!!"

#

$$%

&

=

T L

L R

r a

g , rapporto che non dipende né da ! , né da M , ed è T

piuttosto semplice da verificare, poiché delle quattro grandezze coinvolte:

- g può essere facilmente misurata con esperimenti sulla caduta dei gravi;

- a si ricava da osservazioni astronomiche; _L -R è noto fin dall’antichità; _T

- r era noto all’epoca di Newton con un certo grado di approssimazione, e per questo motivo _L i suoi calcoli non quadravano esattamente.

Newton scelse allora di non pubblicare alcuno dei suoi risultati in attesa di un dato più preciso, che confermasse la validità della sua legge. Trascorsero 20 anni prima che egli pubblicasse le sue scoperte, era l’anno 1685, e l’opera (Philosophiae Naturalis Principia

ur

r m F! = "! m¹₂ ² ˆ

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Mathematica) divenne così famosa da rivoluzionare non solo il pensiero scientifico ma anche il pensiero di ogni intellettuale dell’epoca.

1.3 Misura della costante di gravitazione universale

Una misura abbastanza precisa della costante di gravitazione universale fu realizzata per la prima volta dal fisico Cavendish nel 1798, mediante la bilancia di torsione. Due sfere di piombo fisse attraggono due sferette più piccole vincolate tra loro da un’asticella molto leggera ed appese ad un filo. L’attrazione provoca

una torsione del filo, fino a raggiungere un punto di equilibrio in cui la forza di torsione bilancia esattamente la forza di attrazione gravitazionale.

Dalla misura dell’angolo di torsione, fatta con precisione grazie ad uno specchietto incollato sul filo ed un raggio luminoso che, riflesso dallo specchietto, incide su una scala graduata, si ricava l’intensità della forza di torsione. Note le masse in gioco e misurata la distanza si calcola la costante di gravitazione universale. Il valore più preciso noto oggi è:

1.4 Massa inerziale e massa gravitazionale

Come conseguenza della legge di gravitazione universale abbiamo che ogni corpo possiede la capacità di attrarre i corpi circostanti con un’intensità direttamente proporzionale alla propria massa. In base alla legge di gravitazione, dunque, si può dare una definizione di massa alternativa a quella data in dinamica: la grandezza caratteristica di un corpo che ne risulta viene detta massa gravitazionale, indicata anche con m_g. La massa inerziale m_i, invece, è definita come la costante di proporzionalità esistente tra la forza applicata ad un corpo e la sua accelerazione (in un riferimento inerziale), e misura perciò la resistenza o inerzia di un corpo alle variazioni del moto.

Sperimentalmente si verifica che sulla Terra tutti i gravi cadono con la stessa accelerazione di gravità g, il che significa che il rapporto fra la loro massa gravitazionale, che influenza la forza di attrazione verso la Terra, e la loro massa inerziale, che influenza l’accelerazione g, è una costante.

Raffinati esperimenti hanno permesso di stabilire che, in tutti i fenomeni finora osservati, esiste una rigorosa proporzionalità fra la massa gravitazionale e la massa inerziale. Risulta legittimo, pertanto, imporre l’uguaglianza fra queste due grandezze ed utilizzare la stessa unità di misura per entrambe (il kg).

1.5 Energia potenziale e potenziale gravitazionale

La forza gravitazionale generata da una massa puntiforme M è una forza centrale e quindi conservativa; per introdurre la sua energia potenziale basta calcolare il lavoro compiuto dalla forza gravitazionale per spostare una massa m da una distanza r dalla massa che genera il campo ad un punto a distanza infinita, che prendiamo come stato di riferimento (ad energia potenziale nulla).

Bilancia di torsione

2 1 3

10 11

67 .

6 " ^! ^! ^!

= m kg s

#

(3)

( ) ( ) ( )

2 ˆ 2

p p p r r

r r

Mm Mm Mm

E r E r E u dr dr

r r r

! ! !

" "

#"

= ^- " = ^L = $

&

% ^! =

&

$ = $

In base alla scelta fatta per il riferimento, l’energia potenziale gravitazionale risulta sempre negativa: infatti la forza è attrattiva, quindi compie lavoro positivo per avvicinare le due masse e lavoro negativo per allontanarle.

Potenziale gravitazionale

Definiamo ora, in ogni punto dello spazio, il potenziale gravitazionale come il rapporto tra l’energia potenziale gravitazionale della massa m nel campo generato da M e la massa m stessa:

V r

( )

^! ^E^{p, m}

( )

^r

m = "# M

Il potenziale V è l’energia potenziale della massa unitaria, cioè il lavoro compiuto dalla forza r gravitazionale quando la massa unitaria si sposta dal punto considerato a distanza infinita dalla massa M che genera il campo. Come l’energia, anche il potenziale è una grandezza scalare; nel caso gravitazionale è negativo, come l’energia potenziale.

Potenziale generato da N masse puntiformi

Date N masse puntiformi M ,₁ M ,...,₂ M₃, il potenziale gravitazionale si calcola, in base al principio di sovrapposizione degli effetti (valido per le forze, quindi per il lavoro, l’energia ed il potenziale), come la somma dei rispettivi potenziali generati:

V !

( )

r ⁼ ^Vⁱ

( )

^rⁱ

i=1 N

!

^{= "}^# ^M_rⁱ

i=1 i N

!

Potenziale generato da un corpo esteso

Se conosciamo l’andamento spaziale della densità del nostro corpo esteso, che schematizziamo come un sistema continuo, consideriamo anzitutto il potenziale generato in un punto P !

( )

r da un elemento di volume d"! = dx!dy!dz! in posizione P! !

!

( )

r ^: dV !

( )

r ^{= !}^"^#

!$

( )

r ^{d $}^% r !! !

r$

Utilizziamo da ora in poi il simbolo ! (e non V) per i volumi, per evitare confusione con il potenziale. Il potenziale gravitazionale generato da un corpo esteso in P !

( )

r si ricava applicando il principio di sovrapposizione degli effetti: V

( )

r! ⁼ ^dV

corpo

!

^{= "}^# ^$

!%

( )

r ^{d %}^&

r "! ! r%

corpo

!

^.

1.6 Campo gravitazionale

L’interazione gravitazionale è una interazione a distanza, che non richiede il contato dei corpi; in realtà, tuttavia, può essere descritta come una modifica dello spazio circostante prodotta da una massa: ogni corpo genera un campo gravitazionale proporzionale alla sua massa, e la forza gravitazionale agente su ogni corpo è pari al prodotto della massa del corpo stesso per il campo generato da tutte le altre masse in gioco.

Def. Dunque possiamo dire che il campo gravitazionale generato da una massa M vale:

G! !

( )

r ^!

F M , m,! !

(

r

)

m = "# M r² ˆur

(4)

Le dimensioni dell’intensità del campo gravitazionale sono quelle di un’accelerazione.

Una massa m in un punto P !

( )

r dello spazio sarà soggetta ad una forza gravitazionale:

F = m !! ! G

( )

r!

dove il campo G^!

( )

r! può anche essere prodotto da molte masse (anche estese). In questo caso si applica naturalmente il principio di sovrapposizione degli effetti, cioè si esegue una somma (vettoriale) dei singoli contributi. Il campo gravitazionale può essere rappresentato mediante le linee di forza e le superfici equipotenziali.

Oss. Osserviamo che l’integrale di linea del campo gravitazionale da un dato punto all’infinito coincide con il potenziale gravitazionale nel punto considerato:

G! !

!

( )

r ^{" d}^!^l

!r

#

$

⁼ _! ^%^&_r^M_!²^{d !}^r

r

#

$

⁼^& ^M_r_! _!

r

#

= %& ^M r = V (!

r )

Varrà dunque la seguente relazione differenziale (omologa della precedente relazione integrale): G^!

( )

r! ^{= !}^{"V (r)}^!

Oss. Tale risultato è l’ovvia conseguenza della conservatività della forza gravitazionale e delle definizioni di campo e di potenziale gravitazionale (rispettivamente forza per unità di massa ed energia potenziale per unità di massa). Infatti otteniamo immediatamente il risultato precedente se dividiamo per la massa m ciascun termine nella seguente relazione già nota:

F! !

!

( )

r ^{" d}^!^l

!r

#

$

⁼ _! ^%^& ^Mm_r_!² ^{d !}^r

r

#

$

⁼^& ^Mm_r_! _!

r

#

= %& ^Mm

r = Ep(! r )

(e omologa relazione differenziale: F^! !

( )

r ^{= !}^"E^! ^p^(r)^).

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2. Leggi di Keplero

Le leggi empiriche di Keplero

Nel II sec. d.C. Tolomeo di Alessandria propose il modello geocentrico dell’Universo, in cui il Sole ruota intorno alla Terra. I pianeti descrivono orbite abbastanza complicate intorno alla Terra (epicicli). Si tratta di un sistema complesso, ma capace di prevedere la posizione dei pianeti.

Nel 1510 Niccolò Copernico propose il modello eliocentrico del Sistema Solare, in cui la Terra e gli altri pianeti ruotano intorno al Sole. Utilizzava, in pratica, un sistema di riferimento con buona approssimazione inerziale (solidale col Sole), che permette una descrizione analitica molto più semplice del moto dei pianeti.

L’astronomo danese Tyco Brahe (1546-1601) fece accurate osservazioni astronomiche del moto dei pianeti; in base ai dati raccolti da Brahe, l’astronomo tedesco Johannes Kepler (Keplero) (1571-1630) formulò le 3 leggi empiriche sulla cinematica del moto dei pianeti:

I. Ogni pianeta descrive un’orbita ellittica ed il Sole occupa uno dei due fuochi dell’ellissi.

II. Il vettore posizione di ogni pianeta rispetto al Sole descrive aree uguali in tempi uguali.

III. Il quadrato del tempo di rivoluzione di ciascun pianeta è proporzionale al cubo del semiasse maggiore della sua orbita T² ! a³.

Dimostrazione delle leggi di Keplero

Le leggi di Keplero possono essere dedotte dalla teoria della dinamica del moto sotto l’azione di una forza centrale che dipende dall’inverso del quadrato della distanza.

I.

La dimostrazione è piuttosto complessa ed è rimandata alla appendice.

II.

Si può facilmente dimostrare che la velocità areolare dA dt, cioè l’area spazzata dal raggio vettore nell’unità di tempo, è costante.

Sia m la massa del pianeta ed ! la sua velocità angolare ^! istantanea. Sappiamo allora che

! ₂! ^" 2d$ ^dA

v!

P

y P!

T C S

T C D P

Deferente Epicicloide

Sistema Tolemaico Sistema Copernicano

Saturno

Giove

Venere Marte

Terra Luna

Mercurio

Sole

(6)

ma: _{dA =} ¹

2r ! r d

(

"

)

⁼ ¹

2r²d"

(possiamo approssimare l’areola dA a quella di un triangolo che ha per altezza r e per base l’arco di cerchio rd!)

Allora abbiamo che la velocità areolare risulta cost.

2 1 2

1 ₂

=

= m

L dt

r d dt

dA !

(seconda legge di Keplero per il moto dei pianeti: il raggio vettore spazza aree uguali in tempi uguali).

III.

Anche per la terza legge, nel caso generale di orbite ellittiche, si rimanda all’appendice.

Tuttavia per il caso di orbite circolari la dimostrazione è molto semplice.

Se esprimiamo l’area dell’orbita di raggio R come l’integrale della velocità areolare fatto su un periodo di rivoluzione T (intervallo di tempo corrispondente ad un’orbita completa) avremo: !R² = A = dA

0 dt

T

"

^{dt =} ¹₂_m^L ^dt

0 T

"

⁼_2m^LT , cioè LT = 2m!R². Inoltre, per un generico

moto circolare sotto l’azione di una forza centrale attrattiva _{F = !}^! ^k

R² ˆu_r, avremo, in base alla I equazione cardinale della dinamica del punto materiale: !

F = ma ! con a =! a!_C = ! m"²R ˆu_raccelerazione centripeta.

Quindi ! k

R² ˆu_r = ! m"²R ˆu_r # mkR = m²"²R⁴ # mkR = mR

(

²"

)

² ^{= L}²^cioè^{L =} ^mkR^.

Sostituendo l’ultima relazione trovata nell’equazione LT = 2m!R² abbiamo infine:

T² = 4!²m

k R³ (terza legge di Keplero).

Particolarizzando poi l’espressione della forza centrale attrattiva al caso della forza gravitazionale, cioè ponendo k = !Mm con (M la massa del Sole) abbiamo: T² = 4!²

" M R³, cioè la costante di proporzionalità tra T²ed R³è del tutto indipendente dal pianeta, quindi è la stessa per ogni orbita.

S