Ercolino sempre in piedi
Figure 1:
Negli anni ’70, ad un famoso formaggino era abbinato un gadget, chiamato Ercolino sempre in piedi, che possiamo schematizzare come un corpo rigido composto da una base a forma di semisfera unita ad un cilindro avente base uguale al cerchio massimo della sfera. La caratteristica di questo pupazzo era quella di tornare in posizione verticale quando veniva inclinato.
Per semplificare i calcoli, noi considereremo una base fatta a forma di semi-cilindro sulla quale `e montato un parallelepipedo a base rettangolare. In figura `e mostrata una sezione di questa struttura (peraltro la sezione sarebbe la stessa anche per semisfera con cilindro). Il semi- cilindro ha raggio di base R ed il parallelepipedo ha altezza h. La dimenzione perpendicolare al foglio non `e rilevante. Se serve per i calcoli, potete chiamarla a.
Supporremo, inoltre, che la densit`a ρ sia la stessa per i due materiali. In realt`a, nel gadget originale la base era riempita d’acqua ed il cilindro di aria (si trattava di un gadget estivo!) in modo da aumentare la stabilit`a dell’oggetto.
1. Si dica per quale valori di h e di R Ercolino torna in piedi, cio`e torna in posizione verticale una volta inclinato di un angolo θ, e per quali valori, invece, cade.
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2. Nell’ipotesi di equilibrio stabile, si trovi il periodo delle piccole oscillazioni intorno alla posizione di equilibrio nel caso in cui la base rotola sul suolo senza strisciare.
3. Si risponda alla stessa domanda del punto precedente nel caso di assenza di forza di attrito.
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