Ercolino sempre in piedi

Ercolino sempre in piedi

Figure 1:

Negli anni ’70, ad un famoso formaggino era abbinato un gadget, chiamato Ercolino sempre in piedi, che possiamo schematizzare come un corpo rigido composto da una base a forma di semisfera unita ad un cilindro avente base uguale al cerchio massimo della sfera. La caratteristica di questo pupazzo era quella di tornare in posizione verticale quando veniva inclinato.

Per semplificare i calcoli, noi considereremo una base fatta a forma di semi-cilindro sulla quale `e montato un parallelepipedo a base rettangolare. In figura `e mostrata una sezione di questa struttura (peraltro la sezione sarebbe la stessa anche per semisfera con cilindro). Il semi- cilindro ha raggio di base R ed il parallelepipedo ha altezza h. La dimenzione perpendicolare al foglio non `e rilevante. Se serve per i calcoli, potete chiamarla a.

Supporremo, inoltre, che la densit`a ρ sia la stessa per i due materiali. In realt`a, nel gadget originale la base era riempita d’acqua ed il cilindro di aria (si trattava di un gadget estivo!) in modo da aumentare la stabilit`a dell’oggetto.

1. Si dica per quale valori di h e di R Ercolino torna in piedi, cio`e torna in posizione verticale una volta inclinato di un angolo θ, e per quali valori, invece, cade.

2. Nell’ipotesi di equilibrio stabile, si trovi il periodo delle piccole oscillazioni intorno alla posizione di equilibrio nel caso in cui la base rotola sul suolo senza strisciare.

3. Si risponda alla stessa domanda del punto precedente nel caso di assenza di forza di attrito.

Soluzione 1

Siano y₁ = OG₁, y₂ = OG₂ e y = OG le coordinate y (con segno) dei centri di massa rispettivamente del semicilindro, del parallelepipedo e del sistema completo, avendo definito l’asse y come in figura 1.

Per simmetria, il centro di massa del parallelepipedo risulta:

y₂ = h 2

Per trovare y1 applichiamo la definizione di centro di massa:

m1y1= Z

y dm = σ Z

y dS (1)

dove abbiamo introdotto la densit`a superficiale σ definita come:

σ = dS dm legata alla densit`a volumetrica da σ = aρ.

L’elemento di superficie dS pu`o essere scritto come l’area del rettangolo distante y dall’origine, avente spessore dy e base parallela all’asse x di larghezza

b = 2p

R²− y² Quindi:

m₁y₁ = σ Z 0

−R

yp

R²− y²dy = − 4

3πm₁R (2)

Il segno − deriva dall’orientazione dell’asse y e dalla posizione dell’origine.

La coordinata y del centro di massa comune si ottiene combinando i due centri di massa pesati per le rispettive masse:

(m₁+ m₂)y = m₁y₁+ m₂y₂= m₂h

2 − m₁4R

3π (3)

Sostituendo alle due masse la densit`a, considerata costante, ed il volume delle due parti, si ricava la coordinata del centro di massa rispetto all’asse y:

y = h²−²₃R²

2h +^π₂R (4)

Per verificare la stabilit`a del sistema, scriviamo l’energia potenziale gravitazionale del sistema in funzione dell’angolo θ:

U (θ) = mg(R + y cos θ) (5)

Derivando si ricava

U⁰(θ) = −mgy sin θ

U⁰⁰(θ) = −mgy (6)

Da cui θ = 0 `e un punto di equilibrio stabile se y < 0, instabile se y > 0 e indifferente se y = 0. Il significato `e che il centro di massa si deve trovare all’interno del semicilindro di base.

La condizione di stabilit`a si traduce in un vincolo fra R e h attraverso l’eq.(4):

h < R r2

3 (7)

Se il cilindro `e pi`u alto del valore di h indicato sopra, Ercolino cade.

Soluzione 2

Figure 2: Per chiarezza di disegno viene mostrata solamente il semicilindro di base. Il centro di massa si trova in G, con GC = d, all’interno del semicilindro, in modo da avere un equilibrio stabile in θ = 0.

Consideriamo il caso nel quale sia presente una forza di attrito statico alla base. Utilizzeremo un sistema di riferimento con asse x orizzontale e asse y verticale (vedi figura 2). Prendiamo come origine del sistema di riferimento la posizione nella quale si trova il punto di contatto P all’equilibrio, cio`e con Ercolino in posizione verticale. L’angolo θ `e misurato rispetto alla verticale e risulta positivo nella configurazione in figura 2, nella quale, per semplicit`a di disegno,

`

e stato raffigurato solamente il semicilindro di base.

Ad un generico istante, la posizione e la velocit`a con la quale si muove il punto P sono:

~

rP = (−Rθ, 0)

~

v_P = (−R ˙θ, 0) (8)

Le coordinate di posizione e velocit`a del centro di massa sono:

~

r_G= (−Rθ + d sin θ, R − d cos θ)

~

vG= (−R ˙θ + d ˙θ cos θ, d ˙θ sin θ) (9) essendo d = |y| (vedi eq.4) la posizione del centro di massa all’interno del semicilindro di base, come abbiamo visto debba essere per la soluzione di equilibrio stabile; d = CG in figura 2.

La frequenza delle piccole oscillazioni si pu`o ricavare dall’energia o dall’equazione dei mo- menti. Vediamo entrambe le procedure.

L’energia del sistema si scrive:

E = 1

2mv_G² +1

2Igω²+ mg(R − d cos θ) (10)

Sostituendo v_G e raccogliendo:

E = 1

2θ˙²[m · (d²+ R²− 2dR cos θ) + I_G] + mg(R − d cos θ) (11) Per piccole oscillazioni intorno a θ = 0:

E = 1

2I_Oθ˙²+ 1

2mgdθ²+ cost (12)

dove abbiamo introdotto il momento di inerzia

IO= IG+ m(R − d)²

che rappresenta il momento di inerzia del sistema rispetto all’asse z, cio`e rispetto ad una retta passante per l’origine O. Questo equivale a dire che I_P ∼ I_O per piccole oscillazioni.

Ne risulta un moto oscillatorio con pulsazione:

ω²= mgd

I_O (13)

Svolgiamo, adesso, il problema utilizzando la seconda equazione cardinale scrivendo il mo- mento delle forze ed il momento angolare del sistema rispetto al punto di contatto P . Rispetto a questo polo, il momento della reazione del piano, e della forza di attrito, sono nulli, per cui l’unico contributo `e dato dalla forza peso:

M~P = −dmg sin θˆez (14)

Essendo P un punto dell’asse istantaneo di rotazione, il momento angolare si scrive:

L~_P = I_Pθˆ˙e_z (15)

Possiamo usare il teorema di Huygens-Steiner per calcolare il momento di inerzia:

I_P = I_G+ m(d²+ R²− 2dR cos θ) Notare che il momento di inerzia IP varia nel tempo, per cui:

dL_P

dt = I_Pθ + ˙¨ I_Pθ = I˙ _Pθ + 2mdR ˙¨ θ²sin θ (16) Per scrivere la seconda equazione cardinale, dobbiamo ricordare che per un polo mobile esiste un termine aggiuntivo da includere che in questo caso vale:

~v_P × ~Q_G = −mRd ˙θ²sin θ ˆe_z (17) Quindi scriviamo:

M~_P = ~v_P × ~Q_G+dLP

dt da cui, proiettando lungo l’asse z:

−dmg sin θ = mRd ˙θ²sin θ + IPθ + 2mdR sin θ ˙¨ θ² = IPθ + 3mdR sin θ ˙¨ θ² (18) Nell’approssimazione di piccole oscillazioni, l’ultimo termine si cancella. Inoltre, come abbi- amo gi`a visto in precedenza, il momento di inerzia, in generale variabile nel tempo, diventa:

I_P(t) ∼ I_O= I_G+ m(R − d)²

Per cui:

I_Oθ + mgdθ = 0¨ (19)

da cui si ricava la stessa soluzione scritta in eq.13.

Soluzione 3

Nel caso in cui non vi sia attrito alla base, il centro di massa si muove lungo la verticale, per cui l’asse y passa per G. Allora posizione e velocit`a del punto di contatto P e del centro di massa si scrivono:

~rP = (−d sin θ, 0)

~v_P = (−d ˙θ cos θ, 0)

~r_G = (0, R − d cos θ)

~vG= (0, d ˙θ sin θ)

(20)

Anche in questo caso si pu`o risolvere il problema attraverso l’energia o il momento delle forze. Vediamo questo secondo caso lasciando il primo al lettore.

Scegliamo, pero’, un polo diverso dal precedente. Cerchiamo il punto S sul piano (x, y) che definisce l’asse istantaneo di rotazione. Si ricorda che tale asse, parallelo al vettore di rotazione istantanea ~ω e quindi, in questo caso, all’asse z, `e definito come il luogo dei punti intorno al quale il corpo rigido sta ruotando. Nel caso precedente, tale asse coincideva con il punto di contatto al suolo. In questo caso, possiamo ricavare la sua posizione utilizzando la formula generale:

~rS = ~ω × ~v_Q

ω² (21)

essendo Q l’origine del sistema di riferimento solidale al corpo rigido.

Prendiamo come tale origine il centro di massa (Q = G):

~

r_S= ( ˙θˆe_z) × (d ˙θ sin θˆe_y)

θ˙² = −d sin θˆe_x (22)

Quindi il punto S si trova alla stessa coordinata y di G e risulta traslato di d sin θ lungo x negativi, cio`e si trova in corrispondenza del punto di contatto P . Cio`e:

~

r_S= (−d sin θ, R − d cos θ)

~

vS = (−d ˙θ cos θ, d ˙θ sin θ) (23)

Rispetto a questo polo, l’unica forza che ha momento non nullo `e la forza peso:

M~_S = −dmg sin θˆe_z (24)

mentre il momento angolare `e dato semplicemente da:

~L_S= I_S~ω = (I_G+ md²sin²θ) ˙θ~e_z (25) da cui:

d~LS

dt = (ISθ + 2md¨ ²θ˙²sin θ cos θ)ˆez (26) Anche in questo caso il polo `e mobile, per cui va considerato il termine aggiuntivo:

~

v_S× ~Q_G= m(−d ˙θ cos θˆe_x) × (d ˙θ sin θˆe_y) = −md²θ˙²sin θ cos θˆe_z (27) Mettendo insieme le equazioni 24, 26 e 27 si ha:

−dmg sin θ = I_Sθ + 2md¨ ²θ˙²sin θ cos θ − md²θ˙²sin θ cos θ (28) Nella approssimazione di piccole oscillazioni:

I_Gθ + dmgθ = 0¨ (29)

La soluzione `e sinusoidale con pulsazione:

ω²= dmg

I_G (30)