Determinante di una matrice quadrata

(1)

Matrici

Siano n, m interi positivi. Una matrice m × n ad elementi in K `e una tabella rettangolare

A =







a11 a12 . . . a1n

a₂₁ a₂₂ . . . a_2n ... ... . .. ... a_m1 a_m2 . . . a_mn







di mn elementi di K. Scriveremo anche A = (aij). La i–esima riga di A `e la matrice 1 × n A⁽ⁱ⁾ = (ai1. . . ain), 1 ≤ i ≤ m,

La j–esima colonna di A `e la matrice m × 1

A_(j)=





 a_1j a_2j ... a_mj







, 1 ≤ j ≤ n.

Ogni elemento di una matrice è contrassegnato da due indici: il primo è l’indice riga, il secondo è l’indice colonna. L’elemento a_ij è anche detto elemento di A di posto i, j. Se m = n, la matrice A si dice quadrata di ordine n. La trasposta di A è la matrice n × m ottenuta scambiando tra loro le righe e le colonne di A:

A^t= (a_ji) =







a₁₁ a₂₁ . . . a_m1 a₁₂ a₂₂ . . . a_m2 ... ... . .. ... a1n a2n . . . amn







L’insieme di tutte le matrici m × n ad elementi in K si denota con Mm,n(K), mentre l’insieme delle matrici quadrate di ordine n si denota con M_n(K).

Siano A = (a_ij), B = (b_ij) due matrici di M_m,n(K). La somma A + B è la matrice C = (c_ij) ∈ M_m,n(K), dove cij = a_ij + b_ij. Sia λ ∈ K, il prodotto dello scalare λ per la matrice A è la matrice λA = (λa_ij) ∈ M_m,n(K). Segue facilmente dalle definizioni che l’insieme M_m,n(K) delle matrici m×n ad elementi in K, dotato delle operazioni di somma e moltiplicazione per uno scalare, è uno spazio vettoriale sul campo K. Il vettore nullo di Mm,n(K) è la matrice nulla (che denoteremo con 0), ossia la matrice m × n i cui elementi sono tutti uguali a zero.

Lemma 0.1. dim(Mm,n(K)) = mn.

Proof. Sia E_ij la matrice di M_m,n(K), 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n, definita come segue E_ij = (e_lk), e_lk = 0 se (i, j) 6= (l, k)

1 se (i, j) = (l, k) ,

(2)

L’insieme delle matrici {E11, E12, . . . , Emn} `e una base di Mm,n(K). Infatti ∀A = (a^ij) ∈ M_m,n(K), A = a11E₁₁+. . .+a_mnE_mne quindi E₁₁, . . . , E_mngenerano M_m,n(K). Inoltre, se b₁₁, . . . , b_mn∈ K sono tali che b11E₁₁+. . .+b_mnE_mn = 0, allora (b_ij) = 0, quindi b₁₁= b₁₂ = . . . = b_mn= 0 e E₁₁, . . . , E_mnsono linearmente indipendenti. Ne segue che {E₁₁, . . . , E_mn}

`

e una base di M_m,n(K) (detta base canonica di Mm,n(K)) e dim(Mm,n(K)) = mn.

Una matrice A = (a_ij) ∈ M_n(K) si dice diagonale se aij = 0 se i 6= j. Una particolare matrice diagonale `e la matrice identit`a I_n

In =







1 0 . . . 0 0 1 . . . 0 ... ... . .. ...

0 0 . . . 1







Se A = (a_ij) ∈ M_n(K) `e una matrice quadrata, gli elementi a11, a₂₂, . . . , a_nn costituiscono la diagonale principale di A. A si dice triangolare superiore se a_ij = 0 per ogni i > j, mentre si dice triangolare inferiore se a_ij = 0 per ogni i < j. A si dice simmetrica se A^t = A, mentre si dice antisimmetrica se A^t = −A. Denoteremo con Sym_n(K) l’insieme delle matrici simmetriche di M_n(K), mentre denoteremo con ASymn(K) l’insieme delle matrici antisimmetriche di M_n(K). Si definisce traccia della matrice A e si denota con T r(A) la somma degli elementi della diagonale principale della matrice A. Pertanto T r(A) =Pn

i=1aii.

Esercizi 0.2. 1. Stabilire se l’insieme delle matrici diagonali di M_n(K) `e un sottospazio vettoriale di M_n(K). In caso affermativo, determinarne la dimensione.

2. Stabilire se l’insieme delle matrici di M_n(K) aventi traccia nulla `e un sottospazio vettoriale di M_n(K). In caso affermativo, determinarne la dimensione.

Esempi 0.3. 1. Sym_n(K) `e un sottospazio vettoriale di Mn(K) di dimensione n(n+1)/2.

Sia S = {E₁₁, E₂₂, . . . , E_nn, E₁₂+ E₂₁, E₁₃+ E₃₁, . . . , E_1n + E_n1, E₂₃+ E₃₂, . . . , E_2n+ E_n2, . . . , E_n−1n+ E_nn−1}. Mostreremo che le n(n + 1)/2 matrici di S formano una base di Symn(K). Sia A ∈ Mⁿ(K) una matrice simmetrica. Allora A = A^t e quindi aij = aji, 1 ≤ i, j ≤ n. In altri termini, l’elemento di A di posto i, j `e uguale all’elemento di A di posto j, i. Ne segue che

A = a₁₁E₁₁+a₂₂E₂₂+. . .+a_nnE_nn+a₁₂(E₁₂+E₂₁)+a₁₃(E₁₃+E₃₁)+. . .+a_1n(E_1n+E_n1)+

+a23(E23+ E32) + . . . + a2n(E2n+ En2) + . . . + an−1n(En−1n+ Enn−1)

e le matrici E₁₁, E₂₂, . . . , E_nn, E₁₂+ E₂₁, E₁₃+ E₃₁, . . . , E_1n + E_n1, E₂₃+ E₃₂, . . . , E_2n + En2, . . . , En−1n+ Enn−1 generano Symn(K). Inoltre, se b^ij ∈ K, 1 ≤ i, j ≤ n, i ≤ j, sono tali che

b₁₁E₁₁+ . . . + b_nnE_nn+ b₁₂(E₁₂+ E₂₁) + . . . + b_1n(E_1n+ E_n1)+

+b23(E23+ E32) + . . . + b2n(E2n+ En2) + . . . + bn−1n(En−1n+ Enn−1) = 0,

(3)

allora bij = bji e (bij) = 0, quindi b11 = b12 = . . . = bnn = 0. Pertanto le matrici E₁₁, E₂₂, . . . , E_nn, E₁₂+E₂₁, E₁₃+E₃₁, . . . , E_1n+E_n1, E₂₃+E₃₂, . . . , E_2n+E_n2, . . . , E_n−1n+ E_nn−1 sono linearmente indipendenti, S `e una base di Sym_n(K) e dim(Symn(K)) = n(n + 1)/2.

2. ASym_n(K) `e un sottospazio vettoriale di Mn(K) di dimensione n(n − 1)/2.

Sia A = {E₁₂− E₂₁, E₁₃− E₃₁, . . . , E_1n− E_n1, E₂₃− E₃₂, . . . , E_2n − E_n2, . . . , E_n−1n− E_nn−1}. Mostreremo che le n(n − 1)/2 matrici di A formano una base di ASym_n(K).

Sia A ∈ M_n(K) una matrice antisimmetrica. Allora A^t = −A e quindi a_ij = −a_ji, 1 ≤ i, j ≤ n, i 6= j, e a_ii = 0, 1 ≤ i ≤ n. In altri termini, l’elemento di A di posto i, j, i 6= j, `e uguale all’opposto dell’elemento di A di posto j, i, mentre gli elementi della diagonale principale di A sono nulli. Ne segue che

A = a₁₂(E₁₂− E₂₁) + a₁₃(E₁₃− E₃₁) + . . . + a_1n(E_1n− E_n1)+

+a₂₃(E₂₃− E₃₂) + . . . + a_2n(E_2n− E_n2) + . . . + a_n−1n(E_n−1n− E_nn−1)

e le matrici E₁₂−E₂₁, E₁₃−E₃₁, . . . , E_1n−E_n1, E₂₃−E₃₂, . . . , E_2n−E_n2, . . . , E_n−1n−E_nn−1 generano Sym_n(K). Inoltre, se bij ∈ K, 1 ≤ i, j ≤ n, i < j, sono tali che

b₁₂(E₁₂− E₂₁) + . . . + b_1n(E_1n− E_n1)+

+b23(E23− E32) + . . . + b2n(E2n− En2) + . . . + bn−1n(En−1n− Enn−1) = 0,

allora b_ij = −b_ji e (b_ij) = 0, quindi b₁₁ = b₁₂ = . . . = b_nn = 0. Pertanto le matrici E₁₂− E₂₁, E₁₃− E₃₁, . . . , E_1n − E_n1, E₂₃− E₃₂, . . . , E_2n − E_n2, . . . , E_n−1n− E_nn−1 sono linearmente indipendenti, A `e una base di ASym_n(K) e dim(ASymn(K)) = n(n − 1)/2.

3. M_n(K) = Symn(K) ⊕ ASymn(K).

Sia M = (c_ij) ∈ Sym_n(K) ∩ ASymn(K). Allora, poichè M ∈ ASymn(K), si ha che c_ii = 0, 1 ≤ i ≤ n, c_ij = −c_ji, i 6= j. D’altro canto, poichè M ∈ Sym_n(K), si ha che cij = cji, i 6= j. Allora necessariamente cij = 0, 1 ≤ i, j ≤ n, e M = 0. Ne segue che Mn(K) è somma diretta di Symⁿ(K) e ASymⁿ(K). Si noti, infine, che ∀ A ∈ Mⁿ(K) si ha che (A + A^t)/2 ∈ Sym_n(K), (A − A^t)/2 ∈ ASym_n(K) e

A = A + A^t

2 + A − A^t 2 .

Dato un vettore riga A = (a1i) ∈ M1,n(K) ed un vettore colonna B = (b^j1) ∈ Mn,1, il loro prodotto `e l’elemento di K definito come segue

(a₁₁a₁₂. . . a_1n)





 b₁₁ b21

... b_n1







=

n

X

k=1

a_1kb_k1 = a₁₁b₁₁+ a₁₂b₂₁+ . . . + a_1nb_n1

(4)

Più in generale, se A = (ail) ∈ Mm,n(K) e B = (b^kj) ∈ Mn,p, il loro prodotto righe per colonne è una matrice AB = (c_ij) ∈ M_m,p(K), dove cij è il prodotto dell’i–esima riga di A per la j–esima colonna di B.

AB = (A⁽ⁱ⁾B_(j)) = (cij), dove cij =

n

X

k=1

aikbkj = ai1b1j + ai2b2j + . . . + ainbnj

Osservazione 0.4. Date due matrici A e B, `e possibile definire la matrice prodotto AB se il numero delle colonne di A coincide con il numero delle righe di B.

Osservazione 0.5. In generale AB 6= BA. Infatti, se A = 1 1

0 1

, B = 1 0 1 0

∈ M₂(R), allora

AB = 2 0 1 0

6= 1 1 1 1

= BA

Proposizione 0.6. Se A, B ∈ M_m,n(K), C, D ∈ Mn,p(K), E ∈ Mp,s(K), k ∈ K, allora 1) (A + B)C = AC + BC,

2) A(C + D) = AC + AD, 3) A(kC) = k(AC) = (kA)C, 4) A(CE) = (AC)E,

5) AI_n= A, I_nC = C.

Proof. 1) Sia A = (a_ij), B = (b_ij), C = (c_ij). L’elemento di posto i, k della matrice (A + B)C si ottiene moltiplicando la i–esima riga della matrice A + B per la k–esima colonna della matrice C. Pertanto

(A + B)⁽ⁱ⁾C_(k) = (a_i1+ b_i1. . . a_in+ b_in)(c_1k. . . c_nk)^t=

n

X

j=1

(a_ij+ b_ij)c_jk =

=

n

X

j=1

a_ijc_jk+

n

X

j=1

b_ijc_jk = (a_i1+ . . . a_in)(c_1k. . . c_nk)^t+ (b_i1. . . b_in)(c_1k. . . c_nk)^t=

= A⁽ⁱ⁾C_(k)+ B⁽ⁱ⁾C_(k).

Si ha, dunque, che l’elemento di posto i, k della matrice (A + B)C coincide con la somma dell’elemento di posto i, k della matrice AC con l’elemento di posto i, k della matrice BC, come volevasi.

Le propriet`a 2) e 3) si dimostrano in maniera analoga alla 1).

(5)

4) Si noti che la i–esima riga di AC risulta

(AC)⁽ⁱ⁾ = A⁽ⁱ⁾C₍₁₎ A⁽ⁱ⁾C₍₂₎. . . A⁽ⁱ⁾C_(p) , mentre, se E = (e_ij), la h–esima colonna di CE `e

(CE)(h) = C⁽¹⁾E(h) C⁽²⁾E(h). . . C⁽ⁿ⁾E(h)

^t . Pertanto, l’elemento di posto i, h della matrice (AC)E `e

(AC)⁽ⁱ⁾E_(h) = A⁽ⁱ⁾C₍₁₎ A⁽ⁱ⁾C₍₂₎. . . A⁽ⁱ⁾C_(p) (e_1h e_2h. . . e_ph)^t =

= A⁽ⁱ⁾C₍₁₎e_1h+ A⁽ⁱ⁾C₍₂₎e_2h+ . . . + A⁽ⁱ⁾C_(p)e_ph=

= (a_i1c₁₁+ · · · + a_inc_n1)e_1h+ (a_i1c₁₂+ . . . + a_inc_n2)e_2h+ . . . + (a_i1c_1p+ . . . + a_inc_np)e_ph =

= ai1(c11e1h+ . . . + c1peph) + ai2(c21e1h+ . . . + c2peph) + . . . + ain(cn1e1h+ . . . + cnpeph) =

= a_i1C⁽¹⁾E_(h)+ a_i2C⁽²⁾E_(h)+ . . . + a_inC⁽ⁿ⁾E_(h) =

= (ai1ai2. . . ain) C⁽¹⁾E(h) C⁽²⁾E(h). . . C⁽ⁿ⁾E(h)

^t

= A⁽ⁱ⁾(CE)_(h)

e quindi coincide con l’elemento di posto i, h della matrice A(CE). Se ne deduce che A(CE) = (AC)E come volevasi.

5) L’elemento di posto i, j della matrice AI_n `e

A⁽ⁱ⁾I_n_(j) = (a_i1 a_i2. . . a_in)(0 0 . . . 0 1 0 . . . 0)^t = a_ij

e pertanto coincide con l’elemento di posto i, j della matrice A. Segue che AI_n = A.

Analogamente si dimostra che I_nC = C.

Lemma 0.7. i) Se A e B possono essere moltiplicate, allora A^t e B^t possono essere moltiplicate e (AB)^t = B^tA^t.

ii) Se A, B ∈ Mm,n(K), allora A^t+ B^t = (A + B)^t.

Proof. i) Se A ∈ M_m,n(K) e B ∈ Mn,p(K), allora A ∈ Mn,m(K) e B ∈ Mp,n(K). Pertanto

`

e possibile definire la matrice B^tA^t. Inoltre l’elemento di posto i, j della matrice B^tA^t `e B^t⁽ⁱ⁾A^t_(j) = A^(j)B_(i)

e dunque coincide con l’elemento di posto j, i della matrice AB. D’altro canto, si noti che l’elemento di posto j, i della matrice AB coincide con l’elemento di posto i, j della matrice (AB)^t. Ne segue che (AB)^t= B^tA^t.

ii) Se A = (a_ij) ∈ M_m,n(K) e B = (bij) ∈ M_m,n(K), allora l’elemento di posto p, s della matrice (A + B)^t coincide con l’elemento di posto s, p della matrice A + B che pertanto risulta essere asp+bsp. D’altro canto l’elemento di posto p, s della matrice A^t+B^t

`

e asp+ bsp e pertanto (A + B)^t = A^t+ B^t.

(6)

Una matrice quadrata A ∈ Mn(K) si dice invertibile se esiste una matrice M ∈ Mⁿ(K) tale che AM = M A = I_n.

Lemma 0.8. Se esiste l’inversa di una matrice, allora essa `e unica.

Proof. Sia A ∈ Mn(K) e siano M, N ∈ Mⁿ(K) tali che AM = MA = Iⁿ e AN = N A = I_n. Allora M = M I_n = M (AN ) = (M A)N = I_nN = N . Quindi M = N .

L’inversa di A si denota con A⁻¹. Denoteremo con GL_n(K) il sottoinsieme di Mn(K) costituito dalle matrici invertibili.

GLn(K) = {A ∈ Mⁿ(K) | A invertibile }.

Lemma 0.9. i) Siano A, M ∈ M_n(K). Se AM = In, allora M A = I_n. ii) Se A, B ∈ GL_n(K), allora AB ∈ GLn(K) e (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹. iii) I_n⁻¹ = I_n.

Proof. i) Supponiamo che AM = I_n, allora M A = I_n(M A) = (A⁻¹A)M A = A⁻¹(AM )A = A⁻¹I_nA = A⁻¹A = I_n.

ii) Si noti che (AB)(B⁻¹A⁻¹) = A(BB⁻¹)A⁻¹ = AI_nA⁻¹ = AA⁻¹ = I_n. Pertanto (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹.

Determinante di una matrice quadrata

Diamo ora una definizione ricorsiva del determinante di una matrice quadrata di ordine n.

Sia A ∈ M_n(K). Si definisce determinante di A la funzione:

det : A ∈ M_n(K) 7→ det(A) ∈ K Se n = 1, A = (a₁₁) e det(A) = a₁₁.

Se n = 2,

A = a₁₁ a₁₂ a21 a22

e det(A) = a₁₁a₂₂− a₁₂a₂₁. Se n = 3,

A =





a₁₁ a₁₂ a₁₃ a21 a22 a23

a₃₁ a₃₂ a₃₃



 e per la regola di Sarrus si ha che

det(A) = a₁₁a₂₂a₃₃+ a₂₁a₃₂a₁₃+ a₃₁a₁₂a₂₃− a₁₃a₂₂a₃₁− a₂₃a₃₂a₁₁− a₃₃a₁₂a₂₁. Una sottomatrice p × q di una matrice A ∈ M_m,n(K) `e una matrice costituita dagli elementi di A comuni a p righe e q colonne fissate di A.

Se A ∈ Mn(K), chiameremo minore complementare dell’elemento a^ij e lo denoteremo con Mij il determinante della sottomatrice che si ottiene da A cancellando la i–esima riga

(7)

e la j–esima colonna. Mentre, chiameremo complemento algebrico dell’elemento aij e lo denoteremo con A_ij il minore complementare dell’elemento a_ij, con il proprio segno se i + j è pari, con il segno opposto se i + j è dispari. Quindi A_ij = (−1)î+jM_ij.

Teorema 0.10. (Teorema di Laplace)

Sia A ∈ M_n(K), allora il determinante di A `e la somma dei prodotti degli elementi di una sua riga o di una sua colonna per i rispettivi complementi algebrici:

det(A) =

n

X

j=1

a_ijA_ij =

n

X

j=1

(−1)^i+ja_ijM_ij =

n

X

i=1

a_ijA_ij =

n

X

i=1

(−1)^i+ja_ijM_ij.

Una matrice A ∈ M_n(K) si dice singolare se det(A) = 0. L’elemento det(A) ∈ K verr`a anche indicato con |A|.

Sia A ∈ M_n(K), allora valgono le seguenti propriet`a:

i) Il determinante di A `e uguale a quello della sua trasposta det(A) = det(A^t), det 1 2

3 4

= det 1 3 2 4

= −2.

ii) Scambiando tra loro due righe oppure due colonne di A si ottiene una matrice B tale che det(A) = − det(B),

det 1 2 3 4

= −2, det 3 4 1 2

= 2.

iii) Se una riga o una colonna di A `e nulla, allora det(A) = 0.

iv) Moltiplicando per uno scalare α ∈ K una riga o una colonna di A si ottiene una matrice B tale che det(B) = α det(A),

A = 1 2 5 7

, det(A) = 7 − 10 = −3

B⁽¹⁾ = αA⁽¹⁾, B⁽²⁾ = A⁽²⁾, B = α 2α 7 11

, det(B) = 11α − 14α = −3α.

v) Se la i–esima riga A⁽ⁱ⁾ (colonna) di A `e somma di due vettori riga (colonna) R, S ∈ Kⁿ, i.e., A⁽ⁱ⁾ = R + S, allora

det(A) = det





 A⁽¹⁾

... A⁽ⁱ⁻¹⁾

A⁽ⁱ⁾ A⁽ⁱ⁺¹⁾

... A⁽ⁿ⁾







= det





 A⁽¹⁾

... A⁽ⁱ⁻¹⁾ R + S A⁽ⁱ⁺¹⁾

... A⁽ⁿ⁾







= det





 A⁽¹⁾

... A⁽ⁱ⁻¹⁾

R A⁽ⁱ⁺¹⁾

... A⁽ⁿ⁾





 + det





 A⁽¹⁾

... A⁽ⁱ⁻¹⁾

S A⁽ⁱ⁺¹⁾

... A⁽ⁿ⁾





 .

(8)

vi) Se due righe o colonne di A sono uguali, allora A `e singolare, det(A) = 0.

Se la matrice A ha due righe uguali, allora scambiando tali righe tra loro otteniamo ancora la matrice A, ma tenendo conto della ii) si ha che det(A) = − det(A). Quindi det(A) = 0.

det 1 2 1 2

= 2 − 2 = 0.

vii) Se due righe o colonne di A sono proporzionali allora A singolare, det(A) = 0.

Se A⁽ⁱ⁾ = αA^(j), i 6= j, allora

det(A) = det





 A⁽¹⁾

... A⁽ⁱ⁾

... A^(j)

... A⁽ⁿ⁾







= det





 A⁽¹⁾

... αA^(j)

... A^(j)

... A⁽ⁿ⁾







= α det





 A⁽¹⁾

... A^(j)

... A⁽ⁿ⁾







= α0 = 0

det 1 2 2 4

= 4 − 4 = 0.

viii) Se B = αA, allora det(B) = αⁿdet(A).

det(B) = det





 B⁽¹⁾

... B⁽ⁿ⁾





= det





 αA⁽¹⁾

... αA⁽ⁿ⁾





= α det





 A⁽¹⁾ αA⁽²⁾

... αA⁽ⁿ⁾







=

= α²det





 A⁽¹⁾ A⁽²⁾ αA⁽³⁾

... αA⁽ⁿ⁾







= αⁿdet





 A⁽¹⁾

... A⁽ⁿ⁾





= αⁿdet(A)

A = 1 2 5 7

, det(A) = 7 − 10 = −3

B = αA =

α 2α 7α 11α

, det(B) = 11α²− 14α² = −3α².

ix) Se ad una riga (colonna) di A si somma una combinazione lineare di altre righe (colonne) di A, si ottiene una matrice B tale che det(B) = det(A).

Sia B tale che B⁽ⁱ⁾ = A⁽ⁱ⁾+ α1A⁽¹⁾+ . . . + αi−1A⁽ⁱ⁻¹⁾+ αi+1A⁽ⁱ⁺¹⁾ + · · · + αnA⁽ⁿ⁾ e

(9)

B^(j) = A^(j), per ogni 1 ≤ j ≤ n, con j 6= i. Allora

det(B) = det





 B⁽¹⁾

... B⁽ⁿ⁾





=

= det







A⁽¹⁾ ... A⁽ⁱ⁻¹⁾

A⁽ⁱ⁾+ α₁A⁽¹⁾+ . . . + α_i−1A⁽ⁱ⁻¹⁾+ α_i+1A⁽ⁱ⁺¹⁾+ . . . + α_nA⁽ⁿ⁾ A⁽ⁱ⁺¹⁾

... A⁽ⁿ⁾







=

= det





 A⁽¹⁾

... A⁽ⁱ⁻¹⁾

A⁽ⁱ⁾ A⁽ⁱ⁺¹⁾

... αA⁽ⁿ⁾







+α₁det





 A⁽¹⁾

... A⁽ⁱ⁻¹⁾

A⁽¹⁾ A⁽ⁱ⁺¹⁾

... A⁽ⁿ⁾







+α₂det





 A⁽¹⁾

... A⁽ⁱ⁻¹⁾

A⁽²⁾ A⁽ⁱ⁺¹⁾

... A⁽ⁿ⁾







+. . .+α_ndet





 A⁽¹⁾

... A⁽ⁱ⁻¹⁾

A⁽ⁿ⁾ A⁽ⁱ⁺¹⁾

... A⁽ⁿ⁾







=

= det(A) + α₁0 + . . . + α_n0 = det(A).

A = 1 2 5 7

, det(A) = 7 − 10 = −3

B⁽¹⁾ = A⁽¹⁾, B⁽²⁾ = 2A⁽¹⁾+ A⁽²⁾, B = 1 2 7 11

, det(B) = 11 − 14 = −3.

x) Il determinante di una matrice triangolare (inferiore o superiore) `e il prodotto degli elementi della sua diagonale principale.

xi) det(I_n) = 1.

Teorema 0.11. (Teorema di Binet)

Se A, B ∈ M_n(K), allora det(AB) = det(A) det(B).

Corollario 0.12. Se A ∈ M_n(K) `e invertibile allora det(A⁻¹) = det(A)⁻¹.

Proof. Poich`e A `e invertibile esiste A⁻¹ ∈ M_n(K) tale che AA⁻¹ = A⁻¹A = I_n. Allora det(AA⁻¹) = det(A) det(A⁻¹) = det(I_n) = 1. Pertanto det(A⁻¹) = 1/ det(A) = det(A)⁻¹.

Segue facilmente il seguente risultato.

Corollario 0.13. Se la matrice A ∈ M_n(K) `e invertibile, allora det(A) 6= 0.

(10)

Corollario 0.14. Se le righe (colonne) di una matrice quadrata A formano un insieme di vettori linearmente dipendenti, allora A `e singolare.

Proof. Sia A ∈ M_m,n(K) e siano α1, . . . , α_n ∈ K non tutti nulli, tali che α1A⁽¹⁾+ . . . + α_nA⁽ⁿ⁾= 0. In particolare, se α_i 6= 0, allora sia B la matrice ottenuta da A, dove B^(j) = A^(j), 1 ≤ j ≤ n, j 6= i, e

B⁽ⁱ⁾ = α_iA⁽ⁱ⁾+ α₁A⁽¹⁾+ . . . + α_i−1A⁽ⁱ⁻¹⁾+ α_i+1A⁽ⁱ⁺¹⁾+ . . . + α_nA⁽ⁿ⁾.

Allora da ix) si ha che det(A) = det(B). Inoltre la i–esima riga di B `e la riga nulla, pertanto det(B) = 0, e dunque det(A) = 0.

Rango

Sia A ∈ Mm,n(K), il rango per righe di A `e il massimo numero di righe linearmente indipendenti di A, dove i vettori riga di A sono considerati come vettori di Kⁿ. Analoga- mente, il rango per colonne di A `e il massimo numero di colonne linearmente indipendenti di A, dove i vettori colonna di A (trasposti) sono considerati come vettori di K^m.

Osservazione 0.15. Dalla definizione di rango per righe o colonne e dal Corollario ??

segue che il rango per righe di A `e pari a dim hA⁽¹⁾, . . . , A^(m)i, mentre il rango per colonne di A `e pari a dim hA₍₁₎, . . . , A_(n)i.

Proposizione 0.16. Sia A ∈ M_m,n(K), allora il rango per righe ed il rango per colonne di A coincidono.

Proof. Sia A = (a_ij), dove dim hA⁽¹⁾, . . . , A^(m)i

= r e dim hA₍₁₎, . . . , A_(n)i

= s.

Vogliamo provare che r = s. Poich`e dim hA⁽¹⁾, . . . , A^(m)i = r, vi sono r vettori A⁽ⁱ¹⁾, . . . , A⁽ⁱ^r⁾ che formano una base per hA⁽¹⁾, . . . , A^(m)i. Allora











A⁽¹⁾ = λ₁₁A⁽ⁱ¹⁾+ λ₁₂A⁽ⁱ²⁾+ . . . + λ_1rA⁽ⁱ^r⁾ A⁽²⁾ = λ₂₁A⁽ⁱ¹⁾+ λ₂₂A⁽ⁱ²⁾+ . . . + λ_2rA⁽ⁱ^r⁾

...

A^(m) = λ_m1A⁽ⁱ¹⁾+ λ_m2A⁽ⁱ²⁾+ . . . + λ_mrA⁽ⁱ^r⁾

(0.1)

Uguagliando le j–esime componenti dei due membri della (0.1) si ha











a_1j = λ₁₁a_i₁_j + λ₁₂a_i₂_j + . . . + λ_1ra_i_r_j a_2J = λ₂₁a_i₁_j + λ₂₂a_i₂_j + . . . + λ_2ra_i_r_j

...

a_mj = λ_m1a_i₁_j+ λ_m2a_i₂_j + . . . + λ_mra_i_r_j

(0.2)

In forma matriciale la (0.2) si esprime come segue





 a_1j a_2J ... a_mj







= ai1j





 λ₁₁ λ₂₁ ... λ_m1





 + ai2j





 λ₁₂ λ₂₂ ... λ_m2







+ . . . + airj





 λ_1r λ_2r ... λ_mr







. (0.3)

(11)

Posto

L₍₁₎ =





 λ11

λ₂₁ ... λ_m1







, L₍₂₎ =





 λ12

λ₂₂ ... λ_m2







, . . . , L_(r)=





 λ1r

λ_2r ... λ_mr





 ,

dalla (0.3), si ha che

A_(j) = a_i₁_jL₍₁₎+ a_i₂_jL₍₂₎+ . . . + a_i_r_jL_(r) e pertanto

A_(j) ∈ hL₍₁₎, L₍₂₎, . . . , L_(r)i, 1 ≤ j ≤ n.

Ne segue che

s = dim hA₍₁₎, . . . , A_(n)i ≤ dim hL₍₁₎, . . . , L_(r)i ≤ r.

Analogamente, partendo dalle colonne di A invece che dalle righe, si ottiene r ≤ s.

In base al risultato precedente possiamo definire il rango di A come il massimo numero di righe o colonne linearmente indipendenti di A. Il rango di A si denota con rg(A).

Proposizione 0.17. Il rango di una matrice non cambia se essa viene sottoposta ad una qualunque selle seguenti operazioni, dette operazioni elementari di riga:

i) scambio di due righe,

ii) moltiplicazione di una riga per uno scalare non nullo, iii) addizione di un multiplo di una riga ad un’altra riga.

Proof. Sia A ∈ M_m,n(K). Sia B la matrice ottenuta da A scambiando le righe s, t, dove 1 ≤ s < t ≤ m. Allora

hA⁽¹⁾, . . . , A^(t), . . . , A^(s), . . . , A^(m)i = hA⁽¹⁾, . . . , A^(s), . . . , A^(t), . . . , A^(m)i e

rg(B) = dim hA⁽¹⁾, . . . , A^(t), . . . , A^(s), . . . , A^(m)i =

= dim hA⁽¹⁾, . . . , A^(s), . . . , A^(t), . . . , A^(m)i = rg(A).

Sia B la matrice ottenuta moltiplicando la t–esima riga di A per uno scalare c ∈ K, con c 6= 0. Allora

hA⁽¹⁾, . . . , cA^(t), . . . , A^(m)i = hA⁽¹⁾, . . . , A^(t), . . . , A^(m)i e

rg(B) = dim hA⁽¹⁾, . . . , cA^(t), . . . , A^(m)i =

(12)

= dim hA⁽¹⁾, . . . , A^(t), . . . , A^(m)i = rg(A).

Infine, se B `e la matrice ottenuta da A sostituendo alla s–esima riga di A, A^(s), la combinazione lineare A^(s)+ cA^(t), per qualche c ∈ K e s 6= t. Si noti che

hA⁽¹⁾, . . . , A^(s)+ cA^(t), . . . , A^(m)i ⊆ hA⁽¹⁾, . . . , A^(t), . . . , A^(m)i.

Inoltre, poich`e A^(s)= (A^(s)+ cA^(t)) − cA^(t), si ha che

hA⁽¹⁾, . . . , A^(m)i ⊆ hA⁽¹⁾, . . . , A^(s)+ cA^(t), . . . , A^(m)i.

Pertanto anche in questo caso rg(A) = rg(B).

Sia A = (a_ij) ∈ M_m,n(K). L’elemento aij si definisce pivot della i–esima riga di A, se j `e il pi`u piccolo intero tale che a_ij 6= 0. Quindi a_ij 6= 0 e a_ih = 0, per ogni h < j.

La matrice A si dice a gradini se valgono le seguenti propriet`a:

i) se a_ij `e il pivot della i–esima riga, allora a_kj = 0 per ogni i < k ≤ m,

ii) se aij `e il pivot della i–esima riga e akh `e il pivot della k–esima riga, con i < k, allora j < h,

iii) ogni riga non nulla precede ogni riga nulla.

Proposizione 0.18. (Metodo di Gauss)

Ogni matrice pu`o essere trasformata in una matrice a gradini mediante operazioni elementari di riga. Il rango di una matrice a gradini `e pari al numero delle sue righe non nulle.

Esempi 0.19. 1. Sia

A =





1 −2 3 4

0 1 3 1

−2 1 1 2



∈ M_3,4(R), 1 ≤ rg(A) ≤ 3.

R₃⁰ = R₂ + 2R₁





1 −2 3 4

0 1 3 1

0 −3 7 10



, R⁰₃ = R₃+ 3R₂





1 −2 3 4

0 1 3 1

0 0 16 13



, pertanto rg(A) = 3.

2. Sia

A =







1 4 0 −2 5 6

1 1 1 2 1 0

5 6 1 1 8 7

3 1 0 1 2 1







∈ M_4,6(R), 1 ≤ rg(A) ≤ 4.

R⁰₂ = R₂− R₁ R⁰₃ = R3− 5R₁ R⁰₄ = R₄− 3R₁







1 4 0 −2 5 6

0 −3 1 4 −4 −6

0 14 1 11 −17 −23 0 −11 0 7 −13 −17





 ,

(13)

R⁰₃ = 3R₃− 14R₂ R⁰₄ = 3R₄− 11R₂







1 4 0 −2 5 6

0 −3 1 4 −4 −6

0 0 −11 −23 5 15





 ,

R⁰₄ = R₄− R₃







1 4 0 −2 5 6

0 −3 1 4 −4 −6

0 0 −11 −23 5 15

0 0 0 0 0 0





 ,

pertanto rg(A) = 3.

Sia A ∈ Mm,n(K). Si chiama minore di ordine k, con k ≤ min{m, n}, il determinante di una qualunque sottomatrice quadrata di ordine k ottenuta sopprimendo m − k righe ed n − k colonne di A.

Sia A ∈ M_m,n(K) e sia M una sua sottomatrice, orlare M significa completare la sottomatrice M con una riga ed una colonna di A non appartenenti ad M .

Proposizione 0.20. Se B `e una sottomatrice di A, allora rg(B) ≤ rg(A).

Proof. Sia B una sottomatrice p × q della matrice A ∈ M_m,n(K). Sia C ∈ Mp,n(K) la matrice formata dalle p righe di A in comune con B. Poich`e

hC⁽¹⁾, . . . , C^(p)i ⊆ hA⁽¹⁾, . . . , A^(m)i, si ha che rg(C) ≤ rg(A). Analogamente, poich`e

hB₍₁₎, . . . , B_(q)i ⊆ hC₍₁₎, . . . , C_(n)i, segue che rg(B) ≤ rg(C). Quindi rg(B) ≤ rg(A).

Proposizione 0.21. i) Se A ∈ M_m,n(K), B ∈ Mn,p(K), allora rg(AB) ≤ min{rg(A), rg(B)}.

ii) Se A ∈ GL_m(K), B ∈ Mm,n(K), C ∈ GLn(K), allora rg(AB) = rg(B) = rg(BC).

Proof. i) Se A = (a_ij) ∈ M_m,n(K) e B = (bij) ∈ M_n,p(K), allora la i–esima riga della matrice AB ∈ M_m,p(K) risulta

A⁽ⁱ⁾B = (ai1b11+ . . . + ainbn1, ai1b12+ . . . + ainbn2, . . . , ai1b1p+ . . . + ainbnp) =

= (a_i1b₁₁, a_i1b₁₂, . . . , a_i1b_1p) + (a_i2b₂₁, a_i2b₂₂, . . . , a_i2b_2p) + . . . + (a_inb_n1, a_inb_n2, . . . , a_inb_np) =

= a_i1B⁽¹⁾+ a_i2B⁽²⁾+ . . . + a_inB⁽ⁿ⁾.

Pertanto A⁽ⁱ⁾B ∈ hB⁽¹⁾, B⁽²⁾, . . . , B⁽ⁿ⁾i, 1 ≤ i ≤ m e quindi rg(AB) ≤ rg(B). Inoltre si ha che

rg(AB) = rg((AB)^t) = rg(B^tA^t) ≤ rg(A^t) = rg(A).

(14)

ii) Dalla i) si ha che

rg(AB) ≤ rg(B) = rg((A⁻¹A)B) = rg(A⁻¹(AB)) ≤ rg(AB), e quindi rg(AB) = rg(B). Analogamente

rg(BC) ≤ rg(B) = rg(B(CC⁻¹)) = rg((BC)C⁻¹) ≤ rg(BC), da cui segue che rg(BC) = rg(B).

Teorema 0.22. Una matrice quadrata di ordine n `e invertibile se e solo se ha rango n.

Proof. Se la matrice A ∈ M_n(K) `e invertibile, allora dalla Proposizione 0.21 ii), si ha che rg(A) = rg(AA⁻¹) = rg(I_n) = n e la matrice A ha lo stesso rango di I_n. In particolare rg(I_n) = n. Viceversa, se A ha rango n, le sue righe A⁽¹⁾, A⁽²⁾, . . . , A⁽ⁿ⁾ sono linearmente indipendenti e quindi costituiscono una base di Kⁿ. Esistono, pertanto, per ogni i = 1, . . . , n, degli scalari b_i1, . . . , b_in∈ K tali che

e_i = b_i1A⁽¹⁾+ b_i2A⁽²⁾+ . . . + b_inA⁽ⁿ⁾.

Sia B = (b_ij) ∈ M_n(K). Allora ei = B⁽ⁱ⁾A, quindi I_n = BA ed A `e invertibile.

Teorema 0.23. Sia A ∈ M_m,n(K), allora rg(A) coincide con il massimo ordine dei minori non nulli di A.

Proof. Sia ρ il massimo ordine dei minori non nulli di A. Mostriamo prima che ρ ≤ rg(A). Infatti se denotiamo con M una sottomatrice quadrata di A di ordine ρ che ha determinante diverso da zero, allora, dal Corollario 0.14, si ha che le righe di M sono linermente indipendenti e quindi rg(M ) = ρ. Inoltre, essendo M una sottomatrice di A, dalla Proposizione 0.20 si ottiene ρ ≤ rg(A).

Viceversa, se r = rg(A), allora in A vi sono r righe linearmente indipendenti ed in particolare r `e il massimo numero di righe di A linearmente indipendenti. Sia B ∈ M_r,n(K) la sottomatrice di A costituita dalle righe di A che sono linearmente indipendenti. Per costruzione, le r righe della matrice B sono linermente indipendenti, pertanto rg(B) ≥ r.

Dalla Proposizione 0.20, si ha che rg(B) = r ed allora B contiene r colonne linearmente indipendenti. Sia C la sottomatrice quadrata di ordine r di B formata dalle r colonne di B linearmente indipendenti. La matrice C ha rango r e dal Teorema 0.22 risulta invertibile.

Dal Corollario 0.13 si ha che det(C) 6= 0, det(C) `e un minore non nullo di A di ordine r e ρ ≥ r.

I seguenti risultati discendono facilmente dal teorema appena dimostrato.

Teorema 0.24. (Teorema di Kronecker o Metodo degli orlati)

Sia A ∈ M_m,n(K), allora rg(A) = k se e solo se esiste in A un minore non nullo di ordine k per il quale tutti i minori orlati sono nulli.

(15)

Corollario 0.25. Sia A ∈ Mn(K), allora rg(A) = n se e solo se det(A) 6= 0.

Corollario 0.26. Una matrice quadrata `e invertibile se e solo se `e non singolare.

Corollario 0.27. Una matrice quadrata `e singolare se e solo se le sue righe (colonne) formano un insieme di vettori linearmente dipendenti.

Esempi 0.28. 1. Sia

A =





1 −2 3 4

0 1 3 1

−2 1 1 2



∈ M_3,4(R), 1 ≤ rg(A) ≤ 3.

det





1 −2 3

0 1 3

−2 1 1



= 16, pertanto rg(A) = 3.

2. Sia

A =







1 4 0 −2 5 6

1 1 1 2 1 0

5 6 1 1 8 7

3 1 0 1 2 1







∈ M_4,6(R), 1 ≤ rg(A) ≤ 4.

det 1 4 1 1

= −3 6= 0, rg(A) ≥ 2,

det





1 4 0 1 1 1 5 6 1



= −5 + 16 = 11 6= 0, rg(A) ≥ 3,

det







1 4 0 −2 1 1 1 2 5 6 1 1 3 1 0 1







= det







1 4 0 5 1 1 1 1 5 6 1 8 3 1 0 2







= det







1 4 0 6 1 1 1 0 5 6 1 7 3 1 0 1







= 0,

pertanto rg(A) = 3.

Calcolo dell’inversa

Sia A ∈ M_n(K).

I) Si dice matrice aggiunta di A, e la si denota con Agg(A), la matrice che ha come elemento di posto i, j, il complemento algebrico dell’elemento di A^t di posto i, j.

L’inversa di A, `e ottenuta dividendo ciascun elemento dell’aggiunta di A per il determinante di A: A⁻¹ = _det(A)¹ Agg(A).

II) Si consideri la matrice (A|I_n). Se A `e invertibile, effettuando operazioni elementari di riga, `e possibile ottenere una matrice della forma (I_n|B). Allora B = A⁻¹.

(16)

Esempi 0.29. 1. Sia

A =





1 2 4

3 −1 2

1 1 1



∈ M₃(R), det(A) = 11.

I)

Agg(A) =





−3 2 8

−1 −3 10

4 1 −7



, A⁻¹ =





−3/11 2/11 8/11

−1/11 −3/11 10/11 4/11 1/11 −7/11



. II)

(A|I₃) =





1 2 4 1 0 0

3 −1 2 0 1 0

1 1 1 0 0 1



∈ M_3,6(R).

R⁰₂ = R₂− 3R₁ R₃⁰ = R₃− R₁





1 2 4 1 0 0

0 −7 −10 −3 1 0 0 −1 −3 −1 0 1



,

R⁰₃ = 7R₃− R₂





1 2 4 1 0 0

0 −7 −10 −3 1 0 0 0 −11 −4 −1 7



,

R⁰₁ = 7R1+ 2R2





7 0 8 1 2 0

0 −7 −10 −3 1 0 0 0 −11 −4 −1 7



,

R⁰₁ = 11R₁+ 8R₃ R₂⁰ = 11R₂− 10R₃





77 0 0 −21 14 56

0 −77 0 7 21 −70

0 0 −11 −4 −1 7



, R⁰₁ = R₁/77

R⁰₂ = R₂/ − 77 R⁰₃ = R3/ − 11





1 0 0 −3/11 2/11 8/11 0 1 0 −1/11 3/11 10/11 0 0 1 4/11 1/11 −7/11



= (I₃|A⁻¹).

2. Sia

A =





1 1 2 0 1 0

−1 0 1



∈ M₃(R), det(A) = 3.

I)

Agg(A) =





1 −1 2

0 1 0

1 −1 1



, A⁻¹ =





1/3 −1/3 −2/3

0 1/3 0

1/3 −1/3 1/3



. II)

(A|I₃) =





1 1 2 1 0 0 0 1 0 0 1 0

−1 0 1 0 0 1



∈ M_3,6(R).

(17)

R⁰₃ = R3+ R1





1 1 2 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 3 1 0 1



,

R⁰₃ = R₃− R₂ R⁰₁ = R₁− R₂





1 0 2 1 −1 0

0 1 0 0 1 0

0 0 3 1 −1 1



,

R⁰₁ = 3R₁− 2R₃





3 0 0 1 −1 −2

0 1 0 0 1 0

0 0 3 1 −1 1



,

R⁰₁ = R₁/3 R⁰₃ = R₃/3





1 0 0 1/3 −1/3 −2/3

0 1 0 0 1/3 0

0 0 1 1/3 −1/3 1/3



= (I₃|A⁻¹).