ll Problema N°. 25

Problema N°. 25

Quattro cariche, positive, puntiformi ed uguali (di valore q = 1 µC) , sono mantenute ferme nei vertici (A, B, C, D) di un quadrato di lato l = 1 m che giace nel piano yz di figura.

a) Qual è l’energia potenziale (elettrica) associata a tale disposizione di cariche ?

Una quinta carica negativa q5 = 10 nC, puntiforme ed avente massa m = 2 g, è mantenuta ferma nel punto P dell’asse x, perpendicolare al piano yz e passante per il punto O di incontro delle due diagonali del quadrato. La distanza di P da O è di 2/2 m.

b) Qual’è l’energia potenziale (elettrica) associata a tale nuova disposizione di cariche ? (Motivare la differenza rispetto alla configurazione di cui al punto a) precedente).

c) Quanto vale il campo elettrico nel punto P ?

d) Qual’è l’energia potenziale posseduta dalla carica q5 ?

Si supponga ora di spostare la carica q5 in un punto P1 dell’asse x che dista 1 mm da O.

e) Qual’è il lavoro del campo elettrico sulla carica q5 durante tale spostamento ? A questo punto la carica q5 viene lasciata libera di muoversi.

f) Si determini il periodo delle piccole oscillazioni che essa compie attorno al punto O.

O P

A

B

C

D

l

l

x

z

y

Soluzioni

a) Per il sistema formato dalle quattro cariche (K ≈ 9 * 10⁹ N m² C^-2) l’energia potenziale totale Up

vale

∑ ∑

≠

= _{i j i}

j i

j i

r q K q totale

U

p

,

1

2 ⁱqⁱ Vⁱ

=

∑

⁼ ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

A 2 A

2 1 41

Kq2 = 4.87 * 10^-2 J

b) Per il sistema formato dalle cinque cariche si avrà:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝ + ⎛

=

5 , 1

5

* 1

* 4

r q K q

totale

p

U

U

p_totale = 4.83 * 10^-2 J

essendo r 1,5 = r 2,5 = r 3,5 = r 4,5 = r = 1 m

Si ha

U

^*ptotale

< U

ptotale perché la carica q⁵ aggiunta è negativa

c) Il campo elettrico in P, dovuto alle quattro cariche positive, ha la direzione (ed il verso) dell’asse x (per la simmetria della disposizione delle cariche).

Si ha PO=OA=OB=OC=OD= 2 ; 2

pertanto l’angolo OAP (=OBP=OCP=ODP= β) vale β = π/4 e:

β r sin K q totale

E

P =4 2 = 2.55 * 10⁴ V/m, con direzione e verso dell’asse x.

d) L’energia potenziale della carica q5, nella posizione P vale:

VP

p q

U

₅ ^{= 5 = q5 4 K} _r^q = 3.6 * 10^-4 J

e) Posto d=OA, il campo elettrico nel punto P* generico dell’asse x, vale, in modulo:

(

^{2 2}

)(

^{2 2}

)

¹²

4 ) (

d x

x d

x K q x

E = + +

e la forza che esso esercita su q5 vale: F(x) = q5 E(x), ed ha direzione x e verso -x.

Quando x<<d (piccole oscillazioni) si ha x d Kqq x

F( )=4 ₃⁵

Scrivendo il secondo principio della dinamica, con riferimento alla direzione x del moto : Fx = m ax = x

d K qq₃⁵

−4

Si ottiene quindi l’equazione del moto armonico che fornisce il periodo delle piccole oscillazioni:

5 3

2 4

Kqq

T = π md = 8.8 s