Si pu` o definire il momento rispetto ad un punto

(1)

Momento

di una forza rispetto a un punto

Si pu` o definire il momento rispetto ad un punto

1

Il suo modulo ` e il prodotto della forza per la distanza del punto dall’asse di applicazione di questa

2

La direzione ` e perpendicolare al piano individuato dalla forza e dal punto

3

il verso ` e dato sempre dalla regola della mano destra.

in ` e possibile riassumere questa definizione nella formula M = ~r × ~ ~ F

dove ~r ` e la posizione del punto di applicazione della forza rispetto al punto

dove ` e calcolato il momento

(2)

Equazioni cardinali della statica

Un corpo fermo in equilibrio non pu` o essere accelerato

Un corpo fermo in equilibrio non pu` o essere messo in rotazione.

se un corpo non ` e messo in accelerazione e in rotazione, potrebbe comunque traslare con velocit` a costante, ma questo non ` e molto rilevante in statica

Le condizioni espresse sopra mi portano alle equazioni cardinali della statica

La prima dice che la somma di tutte le forze che agiscono su un corpo (la risultante) deve essere nulla

P

i ~ F i = ~ R = 0

La seconda afferma che deve essere nulla la somma dei momento P

i M ~ _i = ~ M _tot = 0

(3)

Indipendenza dal punto di applicazione

Questa seconda equazione, in generale, ` e sensata solo se si precisa rispetto a quale punto sono calcolati i momenti. Infatti cambiando punto da A a B

M ~ _A = ~r _A × ~ F _i M ~ _B = ~r _B × ~ F _i M ~ _A − ~ M _B = (~r _A − ~r _B ) × ~ F _i Quindi, sommando tutte le forze

M ~ A tot − ~ M B tot = (~r A − ~r _B ) × ~ R

Poich´ e per` o la risultante, in statica, ` e nulla, i due momenti sono identici

(4)

Applicazioni della statica

altalena

Padre e figlio piccolo stanno sulla stessa altalena: possono stare in

equilibrio?

(5)

Applicazioni della statica

leve

(6)

Leve

per medici e farmacisti

(7)

Se applico delle forze tutte tra loro parallele, le posso sostituire con la somma delle forze applicata in un punto

per la gravit` a questo punto si chiama baricentro

in ogni volumetto di un corpo la forza di gravit` a applicata ` e F = ρ V g

ρ ` e la densit` a o massa volumica del corpo il peso specifico ` e ρ g

poich´ e la risultante delle forze, per definizione, ` e applicata nel baricentro, il momento rispetto al baricentro deve essere nullo Ne segue che

P

i ρ g (x _i − x _B ) = 0 E quindi, se g ` e costante

x B = x CM =

P

i

m

i

x

i

M

tot

coincide col centro di massa

e analoghe formule per gli assi y e z.

(8)

Equilibrio

Se risultante e momento totale delle forze su di un corpo sono nulli, il corpo ` e in equilibrio

Il baricentro deve cadere all’interno di un poligono che congiunge i punti d’appoggio del corpo

possiamo avere tre tipi di equilibrio, a seconda del comportamento del corpo per piccoli spostamenti dall’equilibrio

1

Il corpo ritorna alla situazione iniziale: stabile

2

il corpo si allontana sempre pi` u dalla situazione iniziale:

instabile

3

il corpo non si muove: indifferente

il baricentro del corpo umano ` e nel basso torce. Per non cadere la verticale deve essere compresa tra i piedi

di solito cade circa 3 cm davanti ai talloni

l’equilibrio instabile (come ` e spesso quello umano) ` e tanto peggiore

quanto pi` u il baricentro ` e disante dal punto di appplicazione della

reazione vincolare

(9)

Leggi di scala

Se raddoppio il lato di un cubo, la superficie aumenta 4 volte e il volume 8

se lo moltiplico per k, la superficie aumenta k ² volte e il volume k ³ Se raddoppio il raggio R di una sfera, la superficie, che vale 4πR ² , quadruplica e il volume, ⁴ ₃ πR ³ , diventa otto volte pi` u grande

in generale, qualunque sia la forma di un oggetto, moltiplicando per k

le dimensioni lineari, la superficie aumenta k ² volte e il volume k ³

volte

(10)

Applicazioni

delel leggi di scala - I

Se a un adulto di alto 1,80 m devo dare una dose di 2 grammi di medicina, a un bambino alto 90 cm quanta ne devo dare? Suppongo che la dose per Kg sia la stessa: allora il volume del bambino ` e 1/8 di quello dell’adulto, e posso supporre che lo stesso valga

approssimativamente per il peso; al bambino dar` o quindi 1/4 di grammo

Divisione cellulare: la cellula assorbe nutrimento dalla superficie (∝ R ² ), ma deve nutrirsi in proporzione al volume (∝ R ³ ). Quindi cellule troppo grandi hanno difficolt` a a nutrirsi, e conviene che si dividano.

dimensione degli insetti: Gli insetti resiprano attraverso la superficie

delle trachee, quindi al variare della dimensione lineare L la quantit` a

di ossigeno respirato aumenta come L ² ; il fabbisogno per` o aumenta

come L ³ , rendendo poco convenienti le grandi dimensioni

(11)

Applicazioni

delle leggi di scala - II

Quanto pu` o essere grande un animale? Le zampe devono sostenerne il peso che cresce come L ³ , e quindi anche la sezione di queste deve aumentare come L ³ , invece che come L ² come vorrebbe una semplice legge di scala. Oltre un certo limite questo renderebbe le gambe troppo ingombranti.

Quanto pu` o essere grande un uccello? Se supponiamo che tutti gli uccelli battano le ali con la stessa frequenza, la spinta verso l’alto sar` a proporzionale a L ² . Il peso da sostenere ` e per` o proporzionale a L ³ , quindi la superficie alare dovrebbe, in proporzione, crescere di pi` u.

Oltre un certo limite per` o non si pu` o andare

Deve stare pi` u attento alla disidratazione un elefante oppure uno

scarafaggio? Dato che l’acqua contenuta nel corpo ` e proporzionale al

volume (∝ L ³ ) mentre si perde attraverso la superficie (∝ L ² ), pi` u

l’animale ` e piccolo pi` u velocemente si disidrata.

(12)

Problemi

Forza sui sostegni di una trave

Una trave regge una certa massa m, posta a distanza disuguale dai piloni che reggono la trave. Calcolare il peso su ciacun pilone Forze: di gravit` a, reazione vincolare (normale)

Momenti: rispetto a qualunque pilone

(13)

Problemi

Lampadario

Un lampadario ` e sospeso per mezzo di due funi. Trovare la tensione di ognuna di esse Forze: di gravit` a, tensione delle funi Nel punto in cui le funi si incontrano la risultante deve essere nulla.

Il momento rispetto a questo punto ` e zero

perch´ e la retta di applicazione di tutte le

forze in gioco passa attraverso questo punto

(14)

Problemi

Mensola

Un blocco ` e appoggiato su di una mensola.

Il blocco ha massa M mentre la mensola ha massa m. Trovare la relazione tra le forze in condizione di equilibrio

Forze: di gravit` a di mensola e blocco, normale e tensione del cavo

Momenti: li calcolo rispetto al cardine

(15)

Problemi

Scala

Una scala ` e appoggiata ad un muro liscio ad un’altezza h, e poggia in terra ad una distanza L dal muro. Trovare le forze che agiscono sulla scala in condizione di equilibrio

Forze: normale, gravitazionale e di attrito

Momenti: mi conviene calcolarli rispetto al

punto di appoggio

Si pu` o definire il momento rispetto ad un punto

Momento

di una forza rispetto a un punto

Si pu` o definire il momento rispetto ad un punto

Il suo modulo ` e il prodotto della forza per la distanza del punto dall’asse di applicazione di questa

La direzione ` e perpendicolare al piano individuato dalla forza e dal punto

il verso ` e dato sempre dalla regola della mano destra.

in ` e possibile riassumere questa definizione nella formula M = ~r × ~ ~ F

dove ~r ` e la posizione del punto di applicazione della forza rispetto al punto

dove ` e calcolato il momento

Equazioni cardinali della statica

Un corpo fermo in equilibrio non pu` o essere accelerato

Un corpo fermo in equilibrio non pu` o essere messo in rotazione.

se un corpo non ` e messo in accelerazione e in rotazione, potrebbe comunque traslare con velocit` a costante, ma questo non ` e molto rilevante in statica

Le condizioni espresse sopra mi portano alle equazioni cardinali della statica

La prima dice che la somma di tutte le forze che agiscono su un corpo (la risultante) deve essere nulla

P

i ~ F i = ~ R = 0

La seconda afferma che deve essere nulla la somma dei momento P

i M ~ i = ~ M tot = 0

Indipendenza dal punto di applicazione

Questa seconda equazione, in generale, ` e sensata solo se si precisa rispetto a quale punto sono calcolati i momenti. Infatti cambiando punto da A a B

M ~ A = ~r A × ~ F i M ~ B = ~r B × ~ F i M ~ A − ~ M B = (~r A − ~r B ) × ~ F i Quindi, sommando tutte le forze

M ~ A tot − ~ M B tot = (~r A − ~r B ) × ~ R

Poich´ e per` o la risultante, in statica, ` e nulla, i due momenti sono identici

Applicazioni della statica

altalena

Padre e figlio piccolo stanno sulla stessa altalena: possono stare in

equilibrio?

Applicazioni della statica

leve

Leve

per medici e farmacisti

Se applico delle forze tutte tra loro parallele, le posso sostituire con la somma delle forze applicata in un punto

per la gravit` a questo punto si chiama baricentro

in ogni volumetto di un corpo la forza di gravit` a applicata ` e F = ρ V g

ρ ` e la densit` a o massa volumica del corpo il peso specifico ` e ρ g

poich´ e la risultante delle forze, per definizione, ` e applicata nel baricentro, il momento rispetto al baricentro deve essere nullo Ne segue che

P

i ρ g (x i − x B ) = 0 E quindi, se g ` e costante

x B = x CM =

P

m

x

M

coincide col centro di massa

e analoghe formule per gli assi y e z.

Equilibrio

Se risultante e momento totale delle forze su di un corpo sono nulli, il corpo ` e in equilibrio

Il baricentro deve cadere all’interno di un poligono che congiunge i punti d’appoggio del corpo

possiamo avere tre tipi di equilibrio, a seconda del comportamento del corpo per piccoli spostamenti dall’equilibrio

Il corpo ritorna alla situazione iniziale: stabile

il corpo si allontana sempre pi` u dalla situazione iniziale:

instabile

il corpo non si muove: indifferente

il baricentro del corpo umano ` e nel basso torce. Per non cadere la verticale deve essere compresa tra i piedi

di solito cade circa 3 cm davanti ai talloni

l’equilibrio instabile (come ` e spesso quello umano) ` e tanto peggiore

quanto pi` u il baricentro ` e disante dal punto di appplicazione della

reazione vincolare

Leggi di scala

Se raddoppio il lato di un cubo, la superficie aumenta 4 volte e il volume 8

se lo moltiplico per k, la superficie aumenta k 2 volte e il volume k 3 Se raddoppio il raggio R di una sfera, la superficie, che vale 4πR 2 , quadruplica e il volume, 4 3 πR 3 , diventa otto volte pi` u grande

in generale, qualunque sia la forma di un oggetto, moltiplicando per k

le dimensioni lineari, la superficie aumenta k 2 volte e il volume k 3

volte

Applicazioni

delel leggi di scala - I

Se a un adulto di alto 1,80 m devo dare una dose di 2 grammi di medicina, a un bambino alto 90 cm quanta ne devo dare? Suppongo che la dose per Kg sia la stessa: allora il volume del bambino ` e 1/8 di quello dell’adulto, e posso supporre che lo stesso valga

approssimativamente per il peso; al bambino dar` o quindi 1/4 di grammo

Divisione cellulare: la cellula assorbe nutrimento dalla superficie (∝ R 2 ), ma deve nutrirsi in proporzione al volume (∝ R 3 ). Quindi cellule troppo grandi hanno difficolt` a a nutrirsi, e conviene che si dividano.

dimensione degli insetti: Gli insetti resiprano attraverso la superficie

delle trachee, quindi al variare della dimensione lineare L la quantit` a

di ossigeno respirato aumenta come L 2 ; il fabbisogno per` o aumenta

come L 3 , rendendo poco convenienti le grandi dimensioni

Applicazioni

delle leggi di scala - II

Quanto pu` o essere grande un animale? Le zampe devono sostenerne il peso che cresce come L 3 , e quindi anche la sezione di queste deve aumentare come L 3 , invece che come L 2 come vorrebbe una semplice legge di scala. Oltre un certo limite questo renderebbe le gambe troppo ingombranti.

Quanto pu` o essere grande un uccello? Se supponiamo che tutti gli uccelli battano le ali con la stessa frequenza, la spinta verso l’alto sar` a proporzionale a L 2 . Il peso da sostenere ` e per` o proporzionale a L 3 , quindi la superficie alare dovrebbe, in proporzione, crescere di pi` u.

Oltre un certo limite per` o non si pu` o andare

i M ~ _i = ~ M _tot = 0

M ~ _A = ~r _A × ~ F _i M ~ _B = ~r _B × ~ F _i M ~ _A − ~ M _B = (~r _A − ~r _B ) × ~ F _i Quindi, sommando tutte le forze

M ~ A tot − ~ M B tot = (~r A − ~r _B ) × ~ R

i ρ g (x _i − x _B ) = 0 E quindi, se g ` e costante

se lo moltiplico per k, la superficie aumenta k ² volte e il volume k ³ Se raddoppio il raggio R di una sfera, la superficie, che vale 4πR ² , quadruplica e il volume, ⁴ ₃ πR ³ , diventa otto volte pi` u grande

le dimensioni lineari, la superficie aumenta k ² volte e il volume k ³

Divisione cellulare: la cellula assorbe nutrimento dalla superficie (∝ R ² ), ma deve nutrirsi in proporzione al volume (∝ R ³ ). Quindi cellule troppo grandi hanno difficolt` a a nutrirsi, e conviene che si dividano.

di ossigeno respirato aumenta come L ² ; il fabbisogno per` o aumenta

come L ³ , rendendo poco convenienti le grandi dimensioni

Quanto pu` o essere grande un animale? Le zampe devono sostenerne il peso che cresce come L ³ , e quindi anche la sezione di queste deve aumentare come L ³ , invece che come L ² come vorrebbe una semplice legge di scala. Oltre un certo limite questo renderebbe le gambe troppo ingombranti.

Quanto pu` o essere grande un uccello? Se supponiamo che tutti gli uccelli battano le ali con la stessa frequenza, la spinta verso l’alto sar` a proporzionale a L ² . Il peso da sostenere ` e per` o proporzionale a L ³ , quindi la superficie alare dovrebbe, in proporzione, crescere di pi` u.

volume (∝ L ³ ) mentre si perde attraverso la superficie (∝ L ² ), pi` u