Il percorso della luce I.

Il percorso della luce

I. Dagli specchi ustori alla fibra ottica

Primo Brandi - Anna Salvadori

Dipartimento di Matematica e Informatica

Università degli Studi di Perugia

Introduzione. Il 2015 è stato dichiarato dall'UNESCO Anno internazionale della Luce e delle tecnologie basate sulla Luce. Luce e la Cultura è uno dei quattro temi ufficiali, a cui vorremmo apportare un nostro modesto contributo con l'ottica della matematica.

Immagine UNESCO

La propagazione della luce ha incuriosito ed appassionato gli uomini fin dagli albori della civiltà. La questione, strettamente collegata alla visione, interagisce con l’anatomia e la fisiologia umana e la sua interpretazione in termini “scientifici” ha coinvolto nei secoli illustri filosofi e scienziati.

La modellizzazione matematica, nota come ottica geometrica, gioca un ruolo fondamentale per l’interpretazione di alcuni fenomeni quali la riflessione, la rifrazione e la riflessione totale. Permette inoltre di comprendere come si forma l'arcobaleno, di spiegare il miraggio di terra o di mare e avere un'idea del principio su cui si basa la fibra ottica o una lente gravitazionale. Infine si presta ad inaspettate applicazioni quali la progettazione degli scivoli per lo skateboarding o dei tiranti di un ponte sospeso, lo studio della forma ottimale di un proiettile o della tessitura radiale presente nel

"cerchio limite" di Escher.

In questa nota affrontiamo lo studio della propagazione di una radiazione in mezzi omogenei, ovvero in mezzi ad indice di rifrazione costante. Esso prende l'avvio dal Principio di Erone (I secolo a.C.) secondo cui la luce si muove lungo traiettorie di minima lunghezza (geodetiche spaziali).

Da questo postulato discende facilmente la legge della riflessione su una qualunque superficie "liscia".

Il postulato di Erone entra presto in crisi in quanto "non coerente" con il fenomeno della rifrazione (propagazione in due mezzi omogenei come aria-acqua).

Dopo il caparbio tentativo di Cartesio (1637) di trovare "una nuova via", l'intervento risolutivo si deve a Férmat (1662) che, ispirandosi al principio di economia della natura, propone un rivoluzionario cambiamento del punto di vista: la luce si muove lungo traiettorie ove breviori tempore percurri possint.

Ovviamente in un unico mezzo omogeneo le due traiettorie di minimo spazio e di minimo tempo coincidono.

Il principio di Férmat e la conseguente evoluzione dalle geodetiche spaziali a quelle temporali, opera una svolta significativa per gli studi futuri, anche con implicazioni filosofiche rilevanti.

Nella seconda parte introdurremo un modello di ottimizzazione generale ed astratto che inquadra in unico assetto sia le geodetiche spaziali che quelle temporali. Basato sul Calcolo di Newton, consente di trattare una varietà di fenomeni che vanno ben oltre l'ottica geometrica.

1. Il fenomeno della riflessione e gli specchi (piani e curvi)

Gli specchi ustori di Archimede. L’uso degli specchi risale alla più remota antichità; i primi specchi erano di rame o bronzo, successivamente di una lega di rame e alluminio. Nella valle del Nilo gli archeologi hanno rinvenuto uno specchio in perfette condizioni che risale al 1900 a.C.

La caratteristica fondamentale degli specchi doveva essere quindi ben nota agli antichi. Aristofane (450 a.C. circa – 388 a.C. circa) nella commedia Le nuvole (424 a.C.) fa riferimento agli specchi ustori che, concentrando i raggi riflessi del sole in uno stesso punto, erano in grado di accendere un fuoco.

E’ quindi verosimile la leggenda secondo cui Archimede (287-212 a.C.) avrebbe adottato specchi ustori come strumento di difesa della città di Siracusa dall’assedio romano durante la seconda guerra punica.

Dai resoconti dello storico Plinio (23-79 a.C.) risulta che anche i Romani disponessero successivamente di specchi ustori. Resti di specchi o sfere di cristallo che dovevano servire ad accendere il fuoco sono stati rinvenuti in scavi archeologici (fra cui quelli di Pompei).

La propagazione della luce e la dinamica della visione hanno appassionato alcuni tra i più grandi filosofi greci come Pitagora, Platone ed Aristotele, che hanno sviluppato diverse ipotesi sulla natura della luce. L’indagine assunse un “indirizzo scientifico” ad Alessandria per opera di Euclide (IV-III secolo a.C.) che, abbandonate le speculazioni filosofiche, fondò una trattazione geometrica della questione.

Nel trattato in due parti Ottica e Catottrica¹, Euclide crea il modello di raggio luminoso rettilineo, fondamento dell’ottica geometrica: Tutto ciò che si vede, si vede secondo una direzione rettilinea.

Per primo dà una spiegazione razionale della formazione delle immagini negli specchi piani e sferici, inoltre studia alcune questioni connesse alla propagazione della luce come ombre, immagini prodotte attraverso piccole aperture, grandezze apparenti degli oggetti e loro distanza dall’occhio. Nell’ultima proposizione della Catottrica si legge che con gli specchi concavi opposti al sole si può riuscire ad accendere un fuoco.

Il principio di Erone.

Un’altra opera chiave nell’ottica geometrica è un breve trattato di Erone (I secolo a.C.), giunto a noi soltanto in una versione latina, dove l’autore enuncia la legge della riflessione: dico che di tutti i raggi incidenti dallo stesso punto e riflessi nello stesso punto sono minimi quelli che negli specchi (piani e sferici) si riflettono ad angoli uguali.

L’autore sottointende il seguente principio di propagazione.

Principio (o postulato) di Erone. In un mezzo omogeneo la luce si propaga seguendo percorsi di minima² lunghezza ovvero seguendo curve geodetiche.

Immagine Erone

A partire da questo postulato si prova il seguente risultato.

Teorema (o legge) della riflessione. In un mezzo omogeneo ed isotropo, il raggio incidente, il raggio riflesso e la perpendicolare alla superficie riflettente nel punto di incidenza giacciono in uno stesso

1La Catottrica è attribuita da alcuni ad un autore posteriore.

2 In realtà i percorsi sono traiettorie localmente estremali o stazionarie, ovvero la lunghezza è minima o massima rispetto a quelle delle traiettorie “vicine”.

piano. L'angolo che il raggio riflesso forma con la suddetta perpendicolare, detto angolo di riflessione, è uguale a quello che il raggio incidente forma con la stessa perpendicolare, detto angolo di incidenza.

In sintesi

(Rl) sinisinr (legge della riflessione).

Dimostrazione. Sia assegnato un sistema di riferimento Oxy con l'asse delle ascisse coincidente con la sezione della superficie riflettente.

Fig.1

Denotato con S

 ^0,

yS



la sorgente e con B

 ^1,

yB



l'obiettivo, il problema consiste nell'individuare (se esiste) un punto X0 



x0

,0 

sull'asse delle ascisse tale che

 

0 0

min

X

SX X B SX XB

E' intuitivo (e si può facilmente dimostrare) che è sufficiente considerare punti ^{X }

 

^x

^,0

con ascissa compresa nell'intervallo

  ^0,1

^.

Esistenza ed unicità della soluzione. Indicato con B"il punto simmetrico di B rispetto all'asse delle ascisse (vedi figura) risulta

"

SXXBSX XB

Fig.2

Poiché il segmento rettilineo è l'unica curva piana di minima lunghezza (geodetica) che unisce due punti assegnati,

Fig.3

il punto X₀ (detto punto di Erone) di intersezione del segmento SB" con l'asse delle ascisse soddisfa la condizione

   

0 0 0 0

" min " min

X X

SX X BSX X B  SX XB  SX XB . Per costruzione gli angoli S X O B X B₀

, '

₀

",

B X B₀

'

sono congruenti, quindi ir, da cui

sinisinr.

^Fig.4

Calcolo del punto di Erone. Grazie alla similitudine fra i triangoli SOX₀ e BB X' ₀, possiamo facilmente determinare la coordinata x₀ del punto di Erone; risulta infatti

 

0 0 0

: : 1 ^S

S B

S B

y x y x x y

y y

   

 ^.

Un contributo fondamentale all’ottica si deve a Ibn Al Haithan, detto Alhazen (956-1039), considerato il più grande fisico medioevale, nonché astronomo e matematico. Alhazen compie fondamentali passi in avanti relativamente alla teoria della visione, effettuando anche interessanti esperimenti di “camera oscura”. In particolare studia a lungo la riflessione su specchi piani, sferici, cilindrici, conici.

Immagine Alhazen Fig.5

Il problema degli specchi di Alhazen. Famoso è il problema della determinazione dei punti di riflessione su uno specchio sferico, noto come problema di Alhazen. Esso consiste nella ricerca del cammino di un raggio luminoso (in un mezzo omogeneo) uscente da una sorgente per raggiungere l'obiettivo, dopo aver subito riflessione sullo specchio. Per note proprietà della riflessione, il problema si riduce da tre a due dimensioni. La dimostrazione fornita da Alhazen si presenta però contorta e confusa.

Anche Leonardo da Vinci (1452-1519) affronta la questione e, dopo vari tentativi falliti, adotta infine la dimostrazione “per via d’istrumento”, cioè dà una giustificazione per via sperimentale del fenomeno.

Approccio geometrico. Si deve attendere il 1669 per avere una semplice impostazione della questione per via geometrica proposta da Isaac Barrow (1630-1677) in Lectiones opticae.

La costruzione di Barrow, che può essere riguardata come una traduzione di quella di Alhazen, determinare i punti di Alhazen come intersezione di un luogo geometrico con lo specchio circolare.

Oggi può essere facilmente implementata mediante un software di geometria dinamica (cfr. Fig.7).

Immagine Barrow

Appena tre anni più tardi, Christian Huygens (1629-1695) nei Philosophical transactions prova che i punti di Alhazen si ottengono come intersezione di una circonferenza con una iperbole rettangolare.

Immagine Huygens

Solo in tempi recenti (1965) è stato provato che il problema di Alhazen non è risolubile con riga e compasso [E].

Approccio analitico. Per conoscere le coordinate dei punti di Alhazen è però indispensabile cambiare punto di vista, passando dall'approccio geometrico a quello analitico.

La prima impostazione analitica per il calcolo di tali punti è del 1776 (un secolo dopo la costruzione di Barrow) e si deve a A.G. Kaestner (1719-1800) [K].

Illustriamo i punti salienti di un moderno procedimento analitico, affiancato da un computer algebra system.

Teorema di Alhazen. Fissatiuna circonferenza , una sorgente puntiforme S ed un punto obiettivo

B (interni alla circonferenza), esistono due o quattro raggiuscenti da Sche, dopo una riflessione sulla curva speculare , raggiungono l'obiettivo B^.

Dimostrazione. Consideriamo una circonferenza di raggio unitario e fissiamo un sistema cartesiano ortogonale di origine O coincidente con il centro della circonferenza. Sia S



x yS

^,

S



la sorgente e B



xB

^,

yB



il punto obiettivo.

Fig.6

Il principio di Erone riconduce la questione posta da Alhazen ad un classico problema di ottimizzazione vincolata bidimensionale

 

 

,

min ,

x y d x y



relativo alla funzione distanza

  

²



²

  

²



²

( , )

_{S S B B}

d x y SX XB xx  yy  xx  yy . Esistenza della soluzione. La funzione d ammette minimo essendo continua nel compatto . I punti X di minimo, ossia tali che la lunghezza SX XB del percorso sia minima, sono detti punti di Alhazen.

Individuazione dei punti di Alhazen (approccio cartesiano). Come è usuale, iniziamo determinando i punti di  che risultano stazionari per la funzione ^{d x y}

 ^, 

, ovvero i punti ^{X }



^{x y}

^, 

tali che il vettore ^{grad d}

 

è parallelo al raggio vettore OX . Deve quindi risultare

det

d^x d^y

0

x y

 

 

  ^.

Tale condizione conduce all'equazione

(1)



y xS x yS

 

xxB

 

² yyB

 

²  y xB x yB

 

xxS

 

² yyS



² Attraverso un computer algebra system, la (1) si fattorizza nel modo seguente



yS yB

 

x xS xB



y



x yS B y xS B



f x y



^,



⁰

 

 

ove

         

     

3 2 2 3

2 2

,

2

S B S B S B S B

S B S B S B S B S B S B

f x y y y x x x x y y y xy x x y

y x x y x y x x y y x x y y xy

        

     

Osservato che il primo fattore è l'equazione della retta SB, la questione si riduce al sistema non lineare di VI grado fra la cubica ^{f x y}

 ^, 

^

⁰

(coincidente con il luogo geometrico indicato da Barrow) e la circonferenza 

(2)

 

2 2

, 0

1

f x y x y



  



Fig.7 Fig.7’

Inoltre dal sistema (2) non è difficile dedurre il sistema di IV grado (2')

 

2 2

, 0

1

g x y

x y



  

 ove

     

     

2

2

, 2

0

S B B S S B S B

S B S B S B S B

g x y y x y x x x x y y xy

y x x y y y y x x x y

     

      

è l'iperbole rettangolare studiata da Huygens (per i dettagli cfr. [A], [M]).

Si può provare che la curva di Barrow passa per i punti ciclici, di conseguenza i sistemi (2) e (2') sono equivalenti in campo reale. Poiché l'iperbole di Huygens passa per il centro della circonferenza, i sistemi ammettono o due o quattro soluzioni reali.

Fig.8 Fig.8’

Fig.7-8 - legenda 3

, 0.4264

S   5 

 

 

1, 0.4264

B5  

 

 

Fig.7’-8’ - legenda ^{S }



^{0.4, 0.6}



^{B }



^{0.6, 0.7}



Conta e calcolo dei punti di Alhazen (approccio polare). Un diverso approccio al problema si ottiene ricorrendo ad un sistema di riferimento in coordinate polari. Come vedremo il problema viene ridotto allo studio di un'equazione polinomiale di IV grado in una variabile, con evidenti vantaggi. In particolare oltre a discutere il numero delle soluzioni reali al variare dei parametri (conta dei punti di minimo) sarà possibile determinarle grazie alla formula risolutiva implementata in un computer algebra system.

Tratteremo questo argomento rielaborando una ricerca effettuata da F.Trotta [T] come approfondimento del corso di Metodi Matematici per l'Ingegneria.

Adottando un sistema in coordinate polari con il polo nel centro della circonferenza, denotiamo rispettivamente con S  



_S, _S



, B  



_B, _B



e X   

 

, , le coordinate della sorgente, dell'obiettivo e del generico punto X.

Poiché i punti di Alhazen appartengono alla circonferenza  ove il raggio vettore è costante ( 1), l'unica incognita è l’anomalia  di tali punti.

In accordo con la legge della riflessione sullo specchio concavo circolare  ir 0i r,  / 2

ove l'angolo di incidenza e l'angolo di riflessione sono calcolati rispetto alla retta perpendicolare alla tangente alla superficie  nel punto X di riflessione (cfr. Fig.2).

Imponendo

tanitanr

Fig.9

con semplici considerazioni trigonometriche, si deduce

 

   

 

sin sin

0 2

1 cos 1 cos

S S B B

S S B B

       

     

          da cui

(3)

     

  

²

 ^{ }

sin sin cos cos cos sin

sin 1 2 cos 2 cos sin cos 0

0 2

S S B B S S B B

S B S B S B S B

g                

                  

   

Riportiamo la soluzione grafica dell'equazione in due casi particolari

Fig.10 - legenda

 

, 0.9, ³ 0.9,³

10 4

S     B 

Fig.11 - legenda

 

^{, 0.65, 0.65,3}

10 5

S  B

      

   

   

La (3) è un'equazione goniometrica dipendente dai quattro parametri

0  _S 1 0  _B 1 0   _S 2 0   _B 2 . Posto

sin sin

S S B B

A      B _Scos  _{S B}cos_B

 

S B

sin

S B

C      D  

²

S B

^cos 

  S B



la (3) si trasforma nell'equazione polinomiale di IV grado nella variabile hcos seguente

(4)

  ^{ }  

 

2 2 4 3 2 2 2 2 2

2 2

4 2 2 4

2 0 1 1

C D h AC BD h A B C D h

AC BD h C B h

       

        ^.

Conta dei punti. Alla equazione algebrica polinomiale (4) possiamo applicare l'algoritmo di Sturm (estensione del noto metodo di Tartenville per le equazioni parametriche di secondo grado) e verificare che, al variare dei quattro parametri, i punti di Alhazen sono 2 o 4.

Tale algoritmo, implementato mediante un CAS, permette di costruire lo spettro conta soluzioni.

Fissato il punto sorgente S, coloriamo in blu [rispettivamente in rosso] i punti obiettivo B che sono raggiungibili da S dopo due [rispettivamente quattro] riflessioni sulla circonferenza.

Fig.12a - legenda

  ^{, 0.9, 11}

S   

4



  Fig.12b - legenda

  ^{, 0.4, 11}

S   

4



 

Calcolo delle coordinate dei punti. Come è noto, ogni equazione polinomiale di IV grado ammette (nel campo complesso) una formula risolutiva per radicali.

Di conseguenza, assegnate le coordinate della sorgente e dell'obiettivo e scritte le soluzioni formali della (4) nel campo complesso (che non riportiamo per brevità), è immediato calcolare una loro approssimazione. Le soluzioni reali trovate costituiscono i punti di Alhazen.

Biliardo di Alhazen Il problema di Alhazen può essere interpretato come il problema del biliardo circolare:

determinare una direzione da cui lanciare una biglia S affinché, dopo una o più riflessioni sulla sponda, colpisca una seconda biglia posta in B.

In questo contesto segnaliamo il caso particolare del comune biliardo rettangolare ove si cerca una direzione da cui lanciare una biglia S affinché, dopo una o più riflessioni sulle sponde, questa colpisca una seconda biglia posta in B.

Fig.13 Fig.14

Riflessione su ellissi. Come caso particolare ricordiamo che ponendo la sorgente S in uno dei fuochi dell’ellisse , i raggi riflessi tramite  convergono sull’altro fuoco.

Questa proprietà applicata al suono, invece che alla luce, produce sotto le volte del Palazzo della Prefettura a Perugia un sorprendente effetto eco [LA]. La riflessione delle onde sonore sulla volte dei tunnel stradali, produce un forte inquinamento acustico, che viene attutito grazie all'istallazione di pannelli fono-assorbemti.

Riflessione su parabole. Ricordiamo infine che i raggi paralleli all’asse di uno specchio parabolico convergono sul fuoco della parabola. Questa proprietà trova applicazione nelle antenne paraboliche per la ricezione di segnali o nei fanali delle auto, aventi la ricevente o la sorgente, rispettivamente, nel fuoco della sezione parabolica.

2. Il fenomeno della rifrazione e le lenti

Arcobaleno e magici effetti. Oltre alla riflessione, gli antichi si sono appassionati e incuriositi al fenomeno della rifrazione. L’arcobaleno ha attirato l’attenzione dei primi osservatori greci, certamente per la magnificenza e l’imponenza del fenomeno.

Seneca (3 a.C. – 65 d.C.) riferisce che un globo di vetro pieno di acqua può produrre magnifici effetti.

Alhazen studia l’ingrandimento prodotto da sfere di vetro, presentandolo come illusione ottica; egli affronta il fenomeno della rifrazione prendendo le mosse da esperimenti meccanici del lancio dei proiettili contro tavolette sottili. La teoria della visione di Alhazen ebbe però in occidente poca fortuna³, forse la sua trattazione sperimentale era troppo diversa dalle comuni trattazioni filosofiche del tempo, forse l’autorità degli antichi filosofi soffocò la voce di un autore nuovo e per giunta

“infedele”.

Maggiore successo ebbe un trattato sull’ottica scritto da Vitellione⁴ intorno al 1275, “saccheggiando”

altri autori, tra cui Alhazen.

In esso l’autore osserva che l’arcobaleno non può essere spiegato con la semplice riflessione della luce sulle goccioline di pioggia, ma si deve far intervenire anche la rifrazione dei raggi solari.

Nello stesso periodo, Ruggero Bacone (1214-1292) dedica al fenomeno ben dieci capitoli del suo trattato Opus majus, scritto per dimostrare che nulla scientia potest sciri sine mathematica. La quinta parte del trattato, dedicata all’ottica, è basata sull’opera di Alhazen.

Lenti, occhiali e strumenti ottici. Nell’Opus majus per la prima volta uno scienziato parla di lenti:

Se un uomo guarda le lettere o altre cose minute per mezzo di un cristallo o di un vetro o di un altro perspicuo sovrapposto alle lettere, e sia minore della sfera la parte la cui convessità è rivolta verso l’occhio, e l’occhio sia in aria, vedrà le lettere molto meglio e gli appariranno maggiori …

3Gli scritti di Alhazen furono probabilmente tradotti in latino nel corso del XII secolo.

4Personaggio forse di origine polacca, di cui è dubbio anche il nome, che pare abbia soggiornato a lungo in Italia studiando a Padova (1262-1268) e a Viterbo.

Bacone utilizzò lenti in molti esperimenti e ne inviò una in dono a papa Clemente IV incitandolo a sperimentare.

Nonostante l’immenso contributo che questi dischetti rigonfi di vetro hanno dato al progresso della fisica, non è stato possibile accertare né il luogo, né il tempo esatto in cui ebbe luogo l’invenzione delle lenti. Ormai è accreditata la teoria di una scoperta casuale, avvenuta probabilmente negli ambienti della lavorazione del vetro, forse a Murano. E’ certo comunque che gli occhiali dovevano essere diffusi già alla metà del XIV secolo, in quanto in un affresco del 1325 appare un monaco con gli occhiali⁵.

Johannes Kepler (1571-1630) è autore di due opere fondamentali⁶, dove l’ottica fisiologica medioevale è sostituita dall’ottica geometrica moderna, che l’autore applica allo studio delle lenti, alla funzione del cristallino nell’occhio, alla correzione della miopia e presbiopia.

Egli inoltre affronta lo studio della combinazione di più lenti e lo applica alla costruzione di un cannocchiale convesso⁷, detto poi kepleriano. Il dispositivo, oggi detto teleobbiettivo, fornisce la teoria base del cannocchiale galileiano.

Galileo Galilei (1564-1642) con il telescopio⁸ riuscì a vedere le lune di Giove il 7 gennaio del 1610 e nello stesso anno gli anelli di Saturno; in seguito lo strumento si rivelò essenziale per la sua teoria della rotazione terrestre.

Nello stesso periodo fu inventato il microscopio, probabilmente dal tedesco Zacharias Janssen (1588- 1632).

Le scoperte astronomiche di Galileo resero l’ottica argomento di grande attualità. Le due opere di Kepler avevano sottratto la teoria della visione al dominio della filosofia, mancava però ancora una legge fondamentale: quella della rifrazione, invano ricercata per millenni.

Crisi del modello di Erone. Da tempo il fenomeno del bastone spezzato⁹ aveva incuriosito gli studiosi e messo in evidenza come il principio di Erone non fosse adeguato a spiegare il fenomeno della rifrazione.

In questo ambiente culturale, Renè Descartes (1596-1650), eccitato dall’invenzione del cannocchiale, col dichiarato intento di migliorarne la costruzione e forse nella speranza di emulare e superare Galileo nelle scoperte astronomiche, inizia lo studio dell’ottica. Nel secondo “Discorso”, che tratta delle leggi della riflessione e della rifrazione dei proiettili, è contenuto lo studio di una palla lanciata contro una tela. Il procedimento adottato gli consente di ottenere la legge della rifrazione: il rapporto tra il seno dell’angolo d’incidenza e il seno dell’angolo di rifrazione è costante.

L’idea chiave del procedimento cartesiano è dovuta ad Alhazen e si basa sulla scomposizione della velocità della luce. Il procedimento cartesiano viene però criticato in quanto confuso, con lacune e contraddizioni. Cartesio stesso è consapevole che il problema fondamentale è la teoria della luce e che la sua regola è dedotta da un modello non coerente con le concezioni teoriche del tempo. La legge si dimostra però subito molto feconda: Cartesio l’assoggetta a numerose verifiche sperimentali e la utilizza per tracciare i profili delle lenti e per spiegare mirabilmente l’arcobaleno.

Vari scienziati, tra cui Leibniz e Huygens, lo accusano di plagio¹⁰ perché la legge era stata scoperta sperimentalmente da Willebord Snell (1591-1626) che insegnava a Leida e le cui lezioni dovevano essere note a Cartesio.

Bibliografia.

[A] E.J. Atzema, Solving Alhazen’s problem: technology and history in the classroom, Proceeding IX Annual International Conference on Technology in Collegiate Mathematics, Reno- Nevada November 1996, Addison Wesley (1998)

[AV] AA.VV., Storia delle Scienze, (Storia della Fisica a cura di M.Ghiozzi) UTET (1962)

5 L’affresco di Tommaso da Modena è nella Chiesa di S. Niccolò a Treviso. Il monaco ritratto è Frate Ugone da Provenza.

6 Ad Vitellionem paralipomeni, quibus astroniae pars optica traditur (1604) e Diopatrice (1611) .

7 Il cannocchiale kepleriano venne realizzato da C. Scheiner nel 1630.

8 Galileo che aveva avuto notizia dell’invenzione di un artigiano olandese, si era costruito da solo un telescopio.

9 Se si immerge un bastoncino di legno in un bicchiere pieno di acqua, il bastoncino appare come piegato in corrispondenza al pelo libero.

10L’idea chiave di Cartesio si basa sulla scomposizione della velocità della luce, idea appresa da Alhazen, per cui la scoperta della legge andrebbe attribuita allo scienziato arabo.

[BS] P.Brandi, A.Salvadori, Modelli Matematici Elementari, B.Mondadori Ed. (2004) [E] J. M. Elkin, A Deceptively Easy Problem, Math. Teacher 58, 194-199 (1965)

[K] G.A.Kaestner, De obiecti, in speculo spherico visi, magnitudine apparente, Novi Commentarii Societatis Regiae Gottingensis, VII (1796)

[LA] C.Donati, E.Fagioli, F.Lia, E.Minciaroni, A.Pistelli – LS Alessi PG, Tutors C.Zampolini, P.Guidi, Musica sotto i portici, Concorso di Comunicazione M&R (2006)

[M] C.F. Manara, Sul problema detto di Alhazen, L'insegnamento della Matematica e delle Scienze Integrate 2, (1999); http://www.carlofelicemanara.it/index.asp?idPagina=30

[T] F.Trotta, Uno studio del Problema di Alhazen, Tesina del corso di Metodi Matematici per l'Ingegneria, Facoltà di Ingegneria - cdl Ingegneria Elettronica, Università degli Studi di Perugia (1999)