LeLing11: Determinanti.
A ¯ rgomenti svolti:
• Determinante di una matrice: Le sue proprieta’ basilari.
• Calcolo del determinate.
• Multilinerita’ del determinate.
• Formule di Cramer.
E ¯ sercizi consigliati: Geoling 14
Determinati
Il determinante di una matrice A e’ un numero molto utile denotato con det(A) o
|A|. Il determinate e’ collegato con il calcolo dell’ area o del volume del parallelogramma definita da un numero di vettori. Vediamo i principi fondamentali del calcolo dell’ area o del volume in dimensione 2.
Se − → v , − → w sono due vettori del piano sia A(− → v , − → w ) l’area
del parallelogramma 0, − → v , − → w , − → v + − → w . Ci sono due propri-
eta’ molto importanti dell’ area. La prima e’ quella che ci
dice cosa succede quando un vettore viene moltiplicato per
una costante m. E’ abbastanza chiaro che A(m− → v , − → w ) =
mA(− → v , − → w ).
Ecco la seconda propieta’, la quale e’ un caso particolare del principio di Cavalieri
1:
A(− → v , − → w ) = A(− → v , − → w + m− → v ) .
L’area non cambia se si somma a un vettore del parallelo- gramma un multiplo di un altro vettore dello stesso paral- lelogramma. La terza proprieta’ (ovvia ma importante) e’
quella che dice che il quadrato unita’ ha area 1.
Queste tre proprieta’ servono come base della definizione di determinante di una matrice.
Definizione 0.1. Il determinate
2e’ una funzione che associa un numero det(A) a una
matrice quadrata A =
R
1.. . R
i.. . R
n
e che soddisfa:
(i) det
R
1.. . mR
i.. . R
n
= m det
R
1.. . R
i.. . R
n
, cioe’ moltiplicando una riga per un numero m il
determinante si moltiplica per lo stesso numero,
(ii) det
R
1.. . R
i+ mR
j.. . R
n
= det
R
1.. . R
i.. . R
n
se i 6= j , cioe’ sommando a una riga un multiplo
di un altra non cambia il determinante,
1
Bonaventura Cavalieri, matematico italiano allievo di Galileo Galilei.
2
A volte denotato anche |A| .
(iii) det
1 0 · · · 0 0 1 · · · 0 .. . .. . . .. ...
0 0 · · · 1
= 1 , cioe’ il determinante della identica e’ uno.
Si osservi che se una riga di A e’ nulla allora il determinante e’ zero. Infatti usando la proprieta’ due possiamo moltiplicare per 0 = m quella riga senza cambiare la matrice ma il multiplo m esce fuori e dunque il determinante e’ nullo. Questo naturalmente esprime il fatto che un parallelograma ha area zero se uno dei suoi lati e’ zero.
Queste tre proprieta’ del determinante ci permettono di calcolarlo usando il metodo di Gauss-Jordan.
Esempio 0.2. Ecco il calcolo di det
2 0 4 1 1 1 8 7 3
.
det
2 0 4 1 1 1 8 7 3
= 2det
1 0 2 1 1 1 8 7 3
= 2det
1 0 2 0 1 −1 8 7 3
= 2det
1 0 2 0 1 −1 0 7 −13
=
2det
1 0 2 0 1 −1 0 0 −6
= −12det
1 0 2 0 1 −1 0 0 1
= −12det
1 0 2 0 1 0 0 0 1
= −12det
1 0 0 0 1 0 0 0 1
.
Dunque det
2 0 4 1 1 1 8 7 3
= −12.
Ricordiamo che nel metodo di Gauss-Jordan a volte e’ necessario uno scambio di righe. Nel calcolo del determinate questo implica un cambiamento di segno come fa vedere la seguente proposizione.
Teorema 0.3. Il determinante cambia segno quando si scambiano due righe, cioe’
det
R
1.. . R
i.. . R
j.. . R
n
= −det
R
1.. . R
j.. . R
i.. . R
n
Dimostrazione.
det
R
1.. . R
i.. . R
j.. . R
n
= det
R
1.. . R
i.. . R
i+ R
j.. . R
n
= det
R
1.. .
−R
j.. . R
i+ R
j.. . R
n
= det
R
1.. .
−R
j.. . R
i.. . R
n
= −det
R
1.. . R
j.. . R
i.. . R
n
2
Esempio 0.4. Ecco il calcolo di det
0 0 4 0 1 1 1 7 3
:
det
0 0 4 0 1 1 1 7 3
= −det
1 7 3 0 1 1 0 0 4
= −4det
1 7 3 0 1 1 0 0 1
= −4det
1 7 0 0 1 0 0 0 1
=
−4det
1 0 0 0 1 0 0 0 1
= −4.
Notare che una volta terminata la tappa di Gauss non e’ necessario completare quella di Jordan. Infatti, se terminata la tappa di Gauss c’e’ una riga nulla allora il determi- nante e’ zero. Altrimenti lungo la diagonale ci sono soltanto degli 1 che nella tappa di Jordan non mutano il valore del determinante. Quest’ossevazione dimostra la seguente proposizione.
Proposizione 0.5. Il determinante di una matrice triangolare si ottiene moltiplicando i numeri sulla diagonale, cioe’
det
d
1∗ · · · ∗ 0 d
2· · · ∗ .. . .. . . .. ...
0 0 · · · d
n
= d
1d
2· · · d
n, det
d
10 · · · 0
∗ d
2· · · 0 .. . .. . . .. ...
∗ ∗ · · · d
n
= d
1d
2· · · d
nDimostrazione Se il prodotto d
1d
2· · · d
ne’ diverso da zero il risultato segue della discussione precedente. Contarriamente, se un d
ie’ zero, allora il rango non e’ massimo e terminata la tappa di Gauss si trovare almeno una riga nulla. 2
Siccomme una matrice e’ invertibile se e solo se il suo rango e’ massimo, vale il seguente criterio.
Proposizione 0.6. Una matrice A e’ invertibile se e solo se det(A) 6= 0.
Per trovare una formula
3si osserva che il determinate e’ lineare in ciascuna delle righe della matrice, cioe’
Proposizione 0.7. Sia A una matrice n × n e siano A
1, · · · , A
nle sue righe. Se la riga A
ie’ una combinazione lineare di k righe B
1, · · · , B
k, cioe’ A
i= c
1B
1+c
2B
2+· · ·+c
kB
kallora
det(A) =
k
X
i=1
c
idet
A
1.. . B
i.. . A
n
Dimostrazione. Si noti che basta dimostrare il caso k = 2 e c
1= c
2= 1, cioe’ basta dimostrare che se una riga e’ somma di due righe il determinante e’ somma dei due determinanti ottenuti con ciascuna delle due righe. Dunque assumiamo che A
i= B + C dove B, C sono due righe qualsiasi.
Dividiamo la dimostrazione in due casi a seconda det(A) 6= 0 o det(A) = 0.
det(A) 6= 0 : Allora le due righe B, C sono combinazioni lineari delle A
i, cioe’ esistono numeri b
i, c
itali che B = b
1A
1+ · · · , b
nA
ne C = c
1A
1+ · · · + c
nA
ne dunque:
det(A) = det
A
1.. . B + C
.. . A
n
= det
A
1.. . P
j
b
jA
j+ P
j
c
jA
j.. . A
n
= det
A
1.. . b
iA
i+ c
iA
i.. . A
n
l’ultima ugualianza e’ vera poiche’ possiamo (pazientemente) usare la proprieta’ (ii) del determinate per eliminari tutti i termini a contributo nullo. Dunque usando la proprieta’ (i) del determinante risulta:
det(A) = det
A
1.. . b
iA
i+ c
iA
i.. . A
n
= (b
i+ c
i)det
A
1.. . A
i.. . A
n
= b
idet
A
1.. . A
i.. . A
n
+ c
idet
A
1.. . A
i.. . A
n
=
3
cioe’ l’usuale formula che serve come punto di partenza della teoria classica, cioe’ uno svilupo di
Laplace.
det(A) = det
A
1.. . b
iA
i.. . A
n
+ det
A
1.. . c
iA
i.. . A
n
= det
A
1.. . P
j
b
jA
j.. . A
n
+ det
A
1.. . P
j
c
jA
j.. . A
n
dove l’ultima ugualianza segue ancora usando pazientemente la proprieta’ (ii). Dunque in questo caso
det(A) = det
A
1.. . B + C
.. . A
n
= det
A
1.. . B
.. . A
n
+ det
A
1.. . C
.. . A
n
det(A) = 0 : Assumiamo che le righe A
1, A
2, · · · , c A
i, · · · , A
n 4siano linearmente dipendenti. Dunque e’ chiaro che i tre determinati a seguire sono zero:
det
A
1.. . B + C
.. . A
n
, det
A
1.. . B
.. . A
n
, det
A
1.. . C
.. . A
n
Quindi possiamo assumere che le righe A
1, A
2, · · · , c A
i, · · · , A
nsono L.I. Se B, C ∈ L(A
1, A
2, · · · , c A
i, · · · , A
n) allora i tre determinanti sono ancora zero .
Dunque possiamo assumere che B / ∈ L(A
1, A
2, · · · , c A
i, · · · , A
n) e allora (A
1, A
2, · · · , B, · · · , A
n) e’ una base dello spazio delle righe. In particolare possiamo scrivere
C = c
1A
1+ c
2A
2+ · · · + c
iB + · · · + c
nA
n. E cosi’ segue che:
det
A
1.. . B + C
.. . A
n
= det
A
1.. .
B + c
1A
1+ c
2A
2+ · · · + c
iB + · · · + c
nA
n.. .
A
n
= det
A
1.. . B + c
iB
.. . A
n
4
Il simbolo c A
isignifica ”togliere” la righa A
i.
dove l’ultima ugualianza segue di un uso reiterato della proprieta’ (ii) dei determi- nanti.
Dunque
det
A
1.. . B + C
.. . A
n
= det
A
1.. . B + c
iB
.. . A
n
= (1 + c
i)det
A
1.. . B
.. . A
n
= det
A
1.. . B
.. . A
n
+ det
A
1.. . c
iB
.. . A
n
=
= det
A
1.. . B
.. . A
n
+ det
A
1.. .
c
1A
1+ c
2A
2+ · · · + c
iB + · · · + c
nA
n.. . A
n
= det
A
1.. . B
.. . A
n
+ det
A
1.. . C
.. . A
n
2
La formula di Binet e le sue conseguenze.
Ecco una formula fondamentale nella teoria dei determinati:
det(AB) = det(A)det(B)
Questa formula si conosce come formula di Binet
5o formula del prodotto.
La dimostrazione utilizza un trucco molto importante. L’idea e’ pensare la matrice A come un variabile X , dunque si introduce la funzione f (X) = det(XB). Quindi f e’ una funzione che associa ad una matrice X un numero, cioe’ il determinante del prodotto XB . L’osservazione chiave e’ che f soddisfa le proprieta’ (i) e (ii) del de- terminate. Infatti, pensando il prodotto XB dal punto di vista delle righe risulta che
XB =
X
1B X
2B
.. . X
nB
dunque f (XB) = det
X
1B X
2B
.. . X
nB
chiaramente soddisfa (i) e (ii). Siccome
f non soddisfa la (iii), poiche’ f (Id) = det(B) possiamo dividere f per det(B) suppo- nendo det(B) 6= 0. Piu’ precisamente la funzione ˜ f (X) =
det(B)f (X)soddisfa (i), (ii) e (iii) e questo implica (per definizione di determinante) det(X) = ˜ f (X) =
det(B)f (X)=
det(XB)det(B).
5
Matematico francese (1786-1856).
Questo dimostra la formula di Binet nel caso det(B) 6= 0. Finalmente se det(B) = 0 allora B non e’ invertible e dunque nemmeno XB sara’ invertible, cioe’ det(B) = 0 implica det(XB) = 0. 2
Il trucco di considerare la funzione f e’ molto utile e si usa anche per dimostrare che:
det(A) = det(A
t) ,
cioe’ che il determinate di una matrice e’ uguale al determinate della sua trasposta. In- fatti, mettiamo f (X) = det(X
t) vogliamo dimostrare che f soddisfa (i), (ii) e (iii) e dunque f (X) sara’ certamente il determinante di X , cioe’ f (X) = det(X). Osservare che (iii) e’ vera banalmente. Notare che f soddisfa (i), infatti se si moltiplica una colonna per m il determinate si moltiplica per m. Ricordiamo che moltiplicare una colonna per un numero e’ uguale a moltiplicare X per una matrice elementare R a de- stra, cioe’ XR . Siccome det(XR) = det(X)det(R) e det(R) = m risulta che f soddisfa (i). In modo analogo si dimostra che f soddisfa (ii).
Riassumiamo tutto questo nel seguente teorema.
Teorema 0.8. Siano A, B due matrici quadrate. Allora:
det(AB) = det(A)det(B)
det(A
t) = det(A) e come conseguenza det(A
−1) =
det(A)1.
Finalmente si pu notare che il determinate si comporta nello stesso modo sia dal punto di vista delle righe che da quello delle colonne grazie alla proprieta’ det(A
t) = det(A), cioe’ (i) e (ii) sono anche vere se applicate alle colonne. Questo ci porta al seguente corollario.
Proposizione 0.9. Sia A una matrice n × n e siano C
1, · · · , C
nle sue colonne. Se la colonna C
ie’ una combinazione lineare di k colonne B
1, · · · , B
k, cioe’ C
i= c
1B
1+ c
2B
2+ · · · + c
kB
kallora
det(A) =
k
X
i=1
c
idet C
1· · · B
i· · · C
nUn’applicazione classica di quest’ultima proposizione sono le cosiddette formule di
Cramer.
Corollary 0.10. (Formule di Cramer). Sia (A|B) un sistema lineare non-omogeneo dove la matrice dei coefficienti A e’ n×n ed invertibile. Siano A
1, A
2, · · · , A
nle colonne di A. Allora la soluzione X = (x
i) dal sistema (A|B) (unica!, poiche’ X = A
−1B) si puo’ calcolare del modo seguente:
x
i= det A
1· · · A
i−1B A
i+1· · · A
ndet(A) ,
cioe’ la coordinate x
idella colonna soluzione X si trova dividendo il determinate che risulta da A rimpiazzando la colonna A
icon la colonna del termine noto B .
Dimostrazione. Abbiamo visto che X = (x
i) e soluzione se e solo se P
j
x
jA
j= B . dunque
det A
1· · · A
i−1B A
i+1· · · A
n= det A
1· · · A
i−1P
j
