Matematica Discreta I
Lezione del giorno 18 dicembre 2008
Principio della somma
Siano A,B insiemi finiti con A=n, B=m.
Se A,B non hanno elementi comuni, cioè se A∩B=, è ovvio che la cardinalità dell’unione AB coincide con la somma delle singole cardinalità dei 2 insiemi, perché l’elenco degli elementi distinti di AB si ottiene semplicemente elencando consecutivamente gli elementi di A e di B:
AB = n + m = A +B (è il cosiddetto principio della somma per 2 insiemi).
E’ ovvio che tale principio si generalizza ad un numero qualunque di insiemi: se A
1,A
2,…,A
nsono n insiemi finiti, e se a 2 a 2 hanno intersezione vuota, si ha allora:
A
1A
2…A
n= A
1+A
2+….+A
n (principio della somma per n insiemi).
Principio di inclusione-esclusione
Siano A,B insiemi finiti con A=n, B=m.
Se A,B hanno qualche elemento in comune, cioè se A∩B, il principio della somma non è più valido, perché la somma delle singole cardinalità di A e B non coincide con la cardinalità dell’unione AB, in quanto nella somma delle cardinalità gli elementi comuni sarebbero erroneamente contati 2 volte.
Si deve quindi modificare la formula nel modo seguente:
AB = A +B- A∩B (è il cosiddetto principio di inclusione-esclusione per 2 insiemi) E’ ovvio che il principio della somma diventa un caso particolare del principio di inclusione- esclusione nel caso che sia A∩B= (perché in tale caso la cardinalità di A∩B è 0).
Tale principio di inclusione-esclusione si può estendere facilmente a più di 2 insiemi. Se per esempio sono dati 3 insiemi finiti A,B,C, per calcolare la cardinalità della loro unione, usando le proprietà insiemistiche dell’unione e dell’intersezione e usando il principio di inclusione-esclusione nel caso di 2 insiemi, si ha:
ABC=A(BC)=A+BC-A∩(BC)=A+BC-(A∩B)(A∩C)=
A+B+C-B∩C- [A∩B+A∩C-A∩B∩C]=
=A+B+C-[A∩B+A∩C+B∩C]+A∩B∩C
e si ottiene quindi la formula del principio di inclusione-esclusione nel caso di 3 insiemi finiti:
ABC = A+B+C-[A∩B+A∩C+B∩C]+A∩B∩C
Esiste una formula generale per il caso di n insiemi (che si dimostra con il principio di induzione, ma della quale omettiamo la dimostrazione): se sono dati n insiemi finiti A
1,A
2,…,A
n, la cardinalità della loro unione si calcola con la formula
A
1A
2…A
n=α
1- α
2+ α
3- α
4+……. ± α
ndove α
1è la somma delle cardinalità dei singoli insiemi; α
2è la somma delle cardinalità di tutte le possibili intersezioni a 2 a 2 degli insiemi; α
3è la somma delle cardinalità di tutte le possibili intersezioni a 3 a 3 degli insiemi; etc…….. …….; α
nè la cardinalità dell’intersezione di tutti gli insiemi: l’ultimo addendo é preceduto da un segno + se n è dispari, da un segno – se n è pari (principio di inclusione-esclusione per n insiemi).
Uso del principio di inclusione-esclusione
Esistono un uso positivo e un uso negativo del principio di inclusione-esclusione.
1) Uso positivo del principio di inclusione-esclusione.
Sia dato un insieme finito A ed n diverse proprietà P
1, P
2,….,P
nche possono essere (o no) soddisfatte dagli elementi di A. Se vogliamo contare il numero degli elementi di A che soddisfano almeno una delle n proprietà, ciò equivale a costruire per ogni i=1,2,…,n l’insieme A
idegli elementi di A che soddisfano la proprietà A
i, e calcolare la cardinalità dell’unione A
1A
2…
A
n, servendosi della formula del principio di inclusione-esclusione.
Esempio: Sia A l’insieme di tutte le parole di lunghezza 3 sull’alfabeto {a,b,c,d,e}. Risolviamo il problema di contare il numero della parole di A che soddisfano almeno una delle seguenti 3 proprietà: 1) la prima lettera della parola è b ; 2) la prima e seconda lettera della parola coincidono ; 3) l’ultima lettera della parola è c.
A tale scopo dobbiamo costruire gli insiemi degli elementi di A che soddisfano singolarmente le 3 proprietà:
A
1= { xA / la prima lettera della parola x è b }
A
2= { xA / la prima e seconda lettera della parola coincidono } A
3= { xA / l’ultima lettera della parola x è c }
e calcolare, con la formula del principio di inclusione-esclusione:
A
1A
2A
3=(A
1+A
2+A
3)-(A
1∩A
2+A
1∩A
3+A
2∩A
3)+A
1∩A
2∩A
3.
Servendoci del principio delle scelte multiple si ottengono i valori:
A
1=A
2=A
3=25, A
1∩A
2=A
1∩A
3=A
2∩A
3=5, A
1∩A
2∩A
3=1.
Quindi la risposta al problema è:
A
1A
2A
3 = 25+25+25-(5+5+5)+1 = 61 .
2) Uso negativo del principio di inclusione-esclusione.
Sia dato un insieme finito A ed n diverse proprietà P
1, P
2,….,P
nche possono (o no) essere soddisfatte dagli elementi di A. Se vogliamo contare il numero degli elementi di A che non soddisfano nessuna delle n proprietà, ciò equivale a costruire per ogni i=1,2,…n l’insieme A
idegli elementi di A che soddisfano la proprietà A
i, e calcolare la cardinalità del complementare dell’unione A
1A
2…A
n, cioè calcolare la differenza A-A
1A
2…A
n, usando la formula del principio di inclusione-esclusione.
Daremo 2 esempi importanti di applicazione dell’uso negativo del principio di inclusione-
esclusione: il problema della “segretaria distratta” e il calcolo della funzione di Eulero.
Il problema della “segretaria distratta”.
Supponiamo di avere n lettere (per n destinatari diversi) e le n buste corrispondenti (con il nome del destinatario già stampato), e di effettuare un “imbustamento” mettendo ogni lettera in una busta (lettere diverse in buste diverse).
Quesito: in quanti modi diversi si può effettuare un imbustamento totalmente errato, cioè in cui nessuna lettera vada nella busta corretta corrispondente ?
Possiamo numerare la lettere e le buste da 1 ad n (lettera e busta corrispondente con lo stesso numero) e rappresentare ogni imbustamento come una funzione biunivoca
f : {1,2,…,n} → {1,2,…,n}
L’insieme A di tutti gli imbustamenti coincide con l’insieme di tutte le suddette funzioni biunivoche, di cardinalità n!.
Ogni imbustamento totalmente errato è una funzione fA che non soddisfa nessuna delle seguenti n proprietà:
f(1)=1; f(2)=2; … … ; f(n)=n
Possiamo allora usare la forma negativa del principio di inclusione-esclusione. Costruiamo quindi gli n insiemi:
A
1= { fA / f(1)=1 }; A
2= { fA / f(2)=2 }; etc …. ….; A
n= { fA / f(n)=n } La risposta al quesito sarà: A-A
1A
2…A
n.
Per il principio di inclusione-esclusione si ha:
A
1A
2…A
n=α
1-α
2+α
3-α
4+…….±α
ndove α
1è la somma delle cardinalità dei singoli insiemi; α
2è la somma delle cardinalità di tutte le possibili intersezioni a 2 a 2 degli insiemi; α
3è la somma delle cardinalità di tutte le possibili intersezioni a 3 a 3 degli insiemi; …….. …….; α
nè la cardinalità dell’intersezione di tutti gli insiemi, preceduta da un segno + se n è dispari, da un segno – se n è pari.
Calcoliamo la cardinalità di A
1: esso contiene le funzioni biunivoche f : {1,2,…,n} → {1,2,…,n}
tali che f(1)=1, dunque in pratica le funzioni biunivoche f : {2,3,…,n} → {2,3,…,n}.
Si ha dunqueA
1=(n-1)!.
Con ragionamenti analoghi si ottiene:
A
1=A
2=……=X
n=(n-1)!
dunque α
1è la somma di n addendi tutti uguali ad (n-1)!, ossia α
1= (n-1)!n = n!.
Ragionando in modo simile si ottiene che X
1∩X
2=(n-2)!, e ciò vale per la cardinalità dell’intersezione di 2 qualunque degli insiemi. Le possibili intersezioni a 2 a 2 corrispondono alle combinazioni semplici di n insiemi presi a 2 a 2, quindi sono in numero di
2 n
.
Si ha allora: α
2=(n-2)!
2
n
= (n-2)!
2!(nn!2)!=
2!n!
. Con ragionamenti analoghi si ha: α
3=
3!
n!
, α
4=
4!n!
, ... , α
n=
n!n!
=1 . Dunque il numero di imbustamenti totalmente errati é:
A-X
1X
2…X
n=n!-(n!-
2!n!
+
3!n!
-
4!n!
+....±
n!
n!
) =
2!n!
-
3!n!
+
4!n!
