“somma di infiniti termini”

SERIE SERIE

Data la successione che significato possiamo dare alla

“somma di infiniti termini”

?

Di primo

Di primo acchittoacchitto si potrebbe pensare che ad una si potrebbe pensare che ad una

““somma di infiniti terminisomma di infiniti termini”” non si possa associare non si possa associare come

come ““risultatorisultato”” un valoreun valore finitofinito ma ... ma ...

1 3

=1 2

n

ovvero

... _{n n}

a a a a a

+ + + +

∑

{ } a

Consideriamo il numero periodico Consideriamo il numero periodico non può forse pensarsi scritto come non può forse pensarsi scritto come

? ?

1 0, 333...

3 = 1 0, 3 0, 03 0, 003 ...

3 = + + +

Data la successione chiamiamo

serie associata

alla successione . Chiamiamo inoltre

Chiamiamo inoltre

successione delle successione delle somme parziali

somme parziali

definita da:

{ } a

{ } a

1

n n

a

∞

∑

{ } s

1

1 2

1

2

1

2 1

2 1

..

.

. ..

n n n n

s s

s

s a

s a

a a a a

a

a

−

+

+ + +

= =

= +

+

=

=

Diremo che la

serie

convergente, divergente o convergente, divergente o

indeterminata indeterminata

se la

successione

rispettivamente

convergente, convergente, divergente o indeterminata.

divergente o indeterminata.

1

n n

a

∑

{ } s

Nel caso in cui , s

S i d irà SOMMA D ELL A SERIE

s

→ S

Esempio 1 Esempio 1

0

SERIE GEOMETRICA di ragione q

n n

q

∑

2 1

Per 1

1 1 ...

1

n n

n

s q q

q q q

q

− −

= + + =

≠ + +

− (n volte) per

1

1 lim

Per 1 1 ... 1

la serie diverg

e m

n li

n n

q n

q s

s

n

n

→∞ →∞

= + +

=

=

⇒ = = +∞ ⇒ + =

1

la serie CONVERGE ed ha somma 1 lim lim 1

Per 1 1

1 1

n

n n n

s q

q q

S q

q →∞ →∞

= −

⇒

− =

=

< −

−

⇒

lim l 1 la serie DIVERG

Per im E

1 1

n

n n n

q

q s q

→∞ = →∞ − = +∞ ⇒

> −

lim lim 1

1 la serie è INDETERMI

Per 1 NATA

n

n sn n

q qq

→∞ = →∞ − ∃ ⇒

≤ − −

Data la

serie

se la serie

converge converge ⇒ ⇒

⇒ ⇒

1

n n

a

∞

∑

lim

0

n

a

→∞

=

NB: NB: questa condizione questa condizione è è solo solo necessaria

necessaria ma ma non non è è sufficiente sufficiente per la convergenza di una serie

per la convergenza di una serie

Esempio 2 Esempio 2

1

SERIE ARMONICA 1

n n

∞

∑

Si può dimostrare che

Si può dimostrare che questa questa serie diverge

serie diverge eppure il suo termine eppure il suo termine generale tende a zero.

generale tende a zero. _a

¹

= n Si chiama

Si chiama serie armonica serie armonica generalizzata

generalizzata la serie la serie

1

1

n

n

∞

∑

* se

* se α α >1 >1 , , converge converge

* se

* se α≤ α≤ 1 1 , , diverge diverge

1

2

li La ser

0

i 1

m 2

e

1 1

n

n

n n

n n

∞

→∞

=

+

−

+ = ≠

−

∑ NON CONVERGE in quanto

NB: NB:

permette di concludere sulla convergenza permette di concludere sulla convergenza

della serie ma

della serie ma

permette di permette di escludere

escludere la convergenza la convergenza quando quando il termine generale non tende a zero

il termine generale non tende a zero

Esempio 3 Esempio 3

Criteri di convergenza per le

Criteri di convergenza per le SERIE A SERIE A TERMINI POSITIVI

TERMINI POSITIVI

Le

serie a termini positivi

convergenti o divergenti

non possono non possono essere indeterminate.

essere indeterminate.

Infatti:

1

0 si chiama

n n

a an

∞

=

∑

1

con 0

n n n n

s = s

+ a a ≥

è una successione monotona successione monotona crescente

crescente e pertanto dotata di limite dotata di limite finito o infinito

finito o infinito

1 1

0

n n

n n

n n n n

a b

a b a b

∞ ∞

= =

≥ ≤

∑ ∑

Date due serie e co n

e e allora :

CRITERIO DEL CONFRONTO CRITERIO DEL CONFRONTO

1 1

n n

n n

b a

∞ ∞

= =

∑ ^converg ⇒ ∑

1) Se e co n verge

1 1

n n

n n

a b

∞ ∞

= =

∑ ^diverg ⇒ ∑

2) Se e di verge

1 1

n n

n k n k

k k

n

n

n

s n

b s a

δ

δ δ

δ

= =

⇒

→ ≤

⇓

→

∑ ∑

converge e 1)

l

imitata Dimostrazione

Dimostrazione

n n

n

n

s s

s

δ

≤ ≤

⇓ monotona

M crescente converge

1

n n

b

∞

=

⇓

∑

Supponiamo per assurdo converge

2

nte )

1

a ,

n n

n n

a

b

∞

=

⇓

≤

∑

Poiché pe

o le ipo r 1)

tesi

Esempio 4 Esempio 4

2 1

1

n

sen n

∞

∑

Serie a termini positivi per la quale Serie a termini positivi per la quale èè

soddisfatta la condizione necessaria di soddisfatta la condizione necessaria di

convergenza:

convergenza: ^{lim 1}₂ ⁰

n sen

→∞ n =

POTREBBE CONVERGERE POTREBBE CONVERGERE

2 2

1 1

0 sen

n n

< <

2 2

1 1

1 1

n n

n sen n

∞ ∞

= =

∑

∑

Esempio 5 Esempio 5

1

1

n

sen n

∞

∑

1 1 0 sen

n n

< <

1

1

1 1

n

n

n

sen n

∞

=

∞

=

∑

∑

diverge

nulla ci dice il criterio del confronto per

1 1

0 0

n n n n

n n

a b a b

∞ ∞

= =

≥ >

∑ ∑

Date due serie e con e

CRITERIO DEL CRITERIO DEL

CONFRONTO ASINTOTICO CONFRONTO ASINTOTICO

l mi ⁿ 0

n n

a L

→∞ b = >

le due serie hanno lo stesso cara 1

t Se

)

tere

lim 0

n n

n n

n

n n

b a a

→∞ b = ⇒

∑

∑

Se onverge e conv

2) erge

lim ⁿ

n n

n n

n n

a

b b a

→∞ = +∞ ⇒

∑

∑

S

3) e e e diverge

scelto : - 0

Applicando il criterio de

( - ) (

l confronto 0

)

, -

tesi

n n n

n n

l b

l

b

a

a l

b l

ε ε ε

ε

ε ε ε

<

∀ > <

+

>

⇒

< +

<

⇒

⇒

def.

1)

Dimostrazione Dimostrazione

Applicando il criterio del confronto 0

t si -

e

n n

n n

a

b a b

ε ε ε ε

∀ <

⇒

> < < + ⇒

def

2) .

Applicando il criterio del confronto t s 0

e i

n n

n n

a

b b

k k a > k

∀ > >

⇒

⇒

def.

3)

Esempio 6 Esempio 6

1

1

n

sen n

∞

∑

n

n

n

1

lim 1

1

1

1 1

n sen e

n sen n

n

sen n

→∞ = ⇒ n

⇓

∑ ∑

∑

hanno lo stesso ca d

rattere iverge

1

n n 0

n

a a

∞

=

∑

Data la serie con

CRITERIO DELLA RADICE CRITERIO DELLA RADICE

lim 1

1 1

n

n

n

n n

a

a

a

L

L

→∞

<

>

=

=

⎧ ⎪⎪

⎨ ⎪

⎪⎩

⇒

⇒

⇒

∑ ∑

converge diverge

nulla si può dire a priori

Se

Esempio 7 Esempio 7

1

3

n n

n e

∞

∑

3 1

lim

1

n

n e e

→∞

= <

⇒ ⇒ la serie converge la serie converge

1

n n 0

n

a a

∞

=

∑

Data la serie c n o

CRITERIO DEL RAPPORTO CRITERIO DEL RAPPORTO

lim

1 1 1

n n

n

n

n

a

a L

L a

a

→∞

=

⎧ <

⎪ >

=

⎪ ⎨

⎪ ⇒

⎩

⇒

⇒

⎪

∑ ∑

converge diverge

nulla si può dire a priori

Se

Esempio 8 Esempio 8

1

!

n n

n e

∞

∑

1

1

( 1) !

lim !

( 1) ( 1) 3 2 1 1

lim lim

( 1

l

) 3

m

2 i

1

n n n

n n n

n

n n

n

n e

n e

n n n e n

e e e n n

a

a ^{→∞ +}

→∞ →

+

→

∞

∞

= + =

+ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +

= = =

⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +∞

⇒ ⇒ la serie diverge la serie diverge

Esempio 9 Esempio 9

1

0

!

n

n

x x n

∞

=

∑

1

1 !

lim lim

( 1) !

lim 0

1

n

n n

n

n n n

x n

n a

a

x n x

+

→∞ →∞

+

→∞ = = =

+ +

⇒ ⇒ la serie converge la serie converge Questa serie si chiama

Questa serie si chiama serie serie esponenziale

esponenziale e la sua e la sua somma somma è è

S = e

Criteri di convergenza per le

Criteri di convergenza per le SERIE A SERIE A TERMINI DI SEGNO QUALSIASI

TERMINI DI SEGNO QUALSIASI CRITERIO DELL

CRITERIO DELL’’ASSOLUTA CONVERGENZAASSOLUTA CONVERGENZA

1

1 n n

n n

a

a

∞

=

∞

=

⇒

⇒

∑

∑

converge con v

S e

erge

1

1 n

n

n n

a

a

∞

=

∞

=

∑

∑

diverge, nulla si può NB : Se

a priori per la serie

dire

Esempio 10 Esempio 10

1

( 1)ⁿ 1

n n

∞

=

∑

Ma la serie data, come vedremo Ma la serie data, come vedremo

successivamente,

successivamente, è è una serie una serie convergente.

convergente.

1 1

1 1

( 1)ⁿ

n n n n

∞ ∞

= =

− =

∑ ∑

Esempio 11 Esempio 11

1

0

!

n

n

x x n

∞

=

∑

Questa serie ha i

Questa serie ha i termini di segno alternotermini di segno alterno..

1 1

1 !

Poichè la serie =

! !

n n

n n

x n

n

x x

n n

e

x n

∞ ∞

=

∞

=

=

⇒

⇒

∑

∑

∑

converge

anche la serie converge ad

Criteri di convergenza per le

Criteri di convergenza per le SERIE A SERIE A TERMINI DI SEGNO ALTERNO

TERMINI DI SEGNO ALTERNO CRITERIO DEI LEIBNIZ

CRITERIO DEI LEIBNIZ

1

lim 0

n n

n n

u u

u

+

→∞

≤

=

⇒

Se definitivamente la serie conv

1) 2)

erge

1

( 1)ⁿ _{n n} 0

n

u u

∞

=

− ≥

∑

Data la serie con

Esempio 12 Esempio 12

2

( 1) 1

log

n

n n

∞

=

∑

⇒ ⇒ la serie converge la serie converge

1 1 perchè log( 1) l log( 1) lo

1) 2)

g lim 1

l

og

og 0

n

n

n

n n n

→∞

+ >

+ ≤

=

Vediamo se la serie

Vediamo se la serie èè assolutamente assolutamente convergente

convergente

2 2

1 1

( 1) log log

n

n n n n

∞ ∞

= =

− =

∑ ∑

1

lim log lim

1 log

n n

n n

n n

→∞ = →∞ = +∞

( 1) log

Poichè 1 1

log

n

n

n

⇒ n

⇒ −

∑

∑

∑

è convergente ma non assolutament

diverge d

e conver i

g

verge

ente