Infiniti e Infinitesimi

1

Infiniti e Infinitesimi

Def. Una funzione f(x) si dice infinitesima per x x₀ (o per x ) , x₀ punto di accumulazione per il dominio di f(x), se:

0 ) ( lim

0



f x 

x

x ( lim ( )0)





f x oppure

x

Infiniti e Infinitesimi

Esempi.

y=e^x è un infinitesimo per 𝑥 → −∞

y=lnx è un infinitesimo per 𝑥 → 1 y= sinx è un infinitesimo per 𝑥 → 0

(𝑚𝑎 𝑎𝑛𝑐𝑕𝑒 𝑝𝑒𝑟 𝑥 → 𝜋, 2𝜋 𝑒𝑡𝑐. ) y= ln(1+x) è un infinitesimo per 𝑥 →0

Infiniti e Infinitesimi

Def. Una funzione f(x) si dice infinita per x x₀

(o per x  ), x₀ punto di accumulazione per il dominio di f(x), (o per x ) se:



 ( ) lim

0

x f

x x

) )

( lim

( 



 f x oppure

x

Esempi

y=e^x è un infinito per 𝑥 → +∞

y=lnx è un infinito per 𝑥 → 0⁺

y=𝑥² + 𝑥 è 𝑢𝑛 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜 𝑥 → ∞

Infiniti e Infinitesimi

Def.: Ordine di infinitesimo

Siano f(x) e g(x) infinitesimi per x  x₀ (o per x  ), con g(x) 0. Se  R+ e R,   0 tale che

 

 

) (

) lim (

0 g x

x f

x

x _^{o limx}





Esempi.

y=sinx è un infinitesimo per 𝑥 → 0 𝑑𝑖 𝑜𝑟𝑑𝑖𝑛𝑒 1 𝑟𝑖𝑠𝑝𝑒𝑡𝑡𝑜 𝑎𝑙𝑙^′𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑒𝑠𝑖𝑚𝑜 𝑐𝑎𝑚𝑝𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑔 𝑥 = 𝑥 Infatti lim

𝑥→0 𝑠𝑖𝑛𝑥

𝑥^𝛼 =1 solo se 𝛼 = 1

𝑦 = 𝑡𝑔²𝑥 è un infinitesimo di ordine 2 rispetto ad x, per 𝑥 → 0

ord(1-cosx)=2 rispetto ad x per 𝑥 → 0

Infiniti e Infinitesimi

Def.: Ordine di infinito

Siano f(x) e g(x) infiniti per x  x₀ ( o per x  ), con g(x) 0.

Se  R+ e R,   0 tale che

 

 

) (

) lim (

0 g x

x f

x x

Allora, si dice che per x  x₀, (o per x  ), f(x) è un infinito di ordine  rispetto all’infinito campione g(x).

 



 



 _ 

) (

) lim (

x g

x o f

x

Esempi ord(√𝑥) = ¹

2 𝑟𝑖𝑠𝑝𝑒𝑡𝑡𝑜 𝑎𝑑 𝑥 per 𝑥 → +∞

𝑜𝑟𝑑 ¹

𝑠𝑖𝑛𝑥 =1 rispetto a ¹

𝑥 per 𝑥 → 0

𝑜𝑟𝑑 1

𝑒^𝑥 − 1 = 1 𝑟𝑖𝑠𝑝𝑒𝑡𝑡𝑜 𝑎 1

𝑥 per 𝑥 → 0

CONFRONTO TRA INFINITESIMI























 

ntabili non confro

f e g esiste

non

ord(g) ord(f)

ord(g) ord(f)

ord(g) ord(f)

x g

x f

x x

, 0

0

) (

) lim (

0



Siano f(x) e g(x) infinitesime per x  x

,

del tipo

𝑥→𝑥lim₀

𝑓₁+𝑓₂ 𝑔₁+𝑔₂,

dove 𝑓₁, 𝑓₂, 𝑔₁, 𝑔₂ sono funzioni infinitesime per 𝑥 → 𝑥₀, si possono trascurare gli infinitesimi di ordine maggiore (analogo discorso per funzioni infinitesime 𝑥 → ∞) Es.

𝑥→0lim

𝑥²+ 𝑥³+ 2𝑡𝑔𝑥 𝑒^𝑥 − 1 ²+ 𝑠𝑖𝑛𝑥 =

𝑥→0lim

2𝑡𝑔𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥 =2

CONFRONTO TRA INFINITI























 

ntabili non confro

f e g esiste

non

ord(g) ord(f)

ord(g) ord(f)

ord(g) ord(f)

x g

x f

x x

, 0

0

) (

) lim (

0



Stesso risultato se f(x) e g(x) sono infinite per x  

Siano f(x) e g(x) infiniti per x  x

,

Infiniti e Infinitesimi

Utilizzando il confronto tra infiniti nel calcolo di limiti del tipo

𝑥→𝑥lim₀

𝑓₁+𝑓₂ 𝑔₁+𝑔₂,

dove 𝑓₁, 𝑓₂, 𝑔₁, 𝑔₂ sono funzioni infinite per 𝑥 → 𝑥₀, si possono trascurare gli infiniti di ordine minore (analogo discorso per funzioni infinite 𝑥 → ∞)

 ^{  }  ^{ }





x x x

x x

x

x

2 1 3

lim 3

2

3 2

Infiniti e Infinitesimi Esercizio.

Calcolare il limite x





x

x 2 1 3

lim ₂ 3

3 2













Si ha:

2 . 1 2

lim







x

x

x

Def.

Si dice che due funzioni f, g sono asintotiche per x  x₀ se

e si scrive 𝑓~𝑔 𝑝𝑒𝑟 𝑥 → 𝑥₀ Es.

sinx ~x per 𝑥 → 0 ln(1+x) ~x per 𝑥 → 0 e^x-1~x per 𝑥 → 0

) 1 (

) lim (

0

 g x  x f

x x

Infiniti e Infinitesimi

Gerarchia degli infiniti Per 𝑥 → +∞ 𝑠𝑖 𝑕𝑎

Non sempre è possibile calcolare l’ordine di infinito (o di infinitesimo) rispetto alla funzione campione usuale.

Es

 ^log

^x 

^{ x}

^{ b}

^{, con  ,   0 , a , b  1}

1 , 0

,

lim    



 a

x a^x

x _ 

 

1 , 0 , , log 0

lim    



 a

x

a x

x _ ^  

Regole aritmetiche

Siano f(x)=o(𝑥^𝛼) (si legge «o piccolo di») e g(x)=o(𝑥^𝛽)

due funzioni infinitesime di ordine superiore rispettivamente ad 𝛼 𝑒 𝑎 𝛽 𝑝𝑒𝑟 𝑥 → 0

Allora si ha cf(x)= o(𝑥^𝛼),

R c



) ( )

( ^{ }

 f x o x 

x

) ( ) ( )

(x g x o x^ f

) , min(

), ( ) ( )

(x g x o x^    

f

Infiniti e Infinitesimi Regole aritmetiche

Siano f(x) e g(x) due funzioni infinite di ordine rispettivamente 𝛼 𝑒 𝛽

Allora si ha









 





ord