appunti

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LEZIONI ED ESERCITAZIONI DI MATEMATICA

Prof. Francesco Marchi

1 Appunti ed esercizi su:

Dimostrazioni in algebra elementare

11 marzo 2012

1 _{Per altri materiali didattici o per informazioni:}

Blog personale:francescomarchi.wordpress.com

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Leggi qui! “Istruzioni per l’uso” di questi appunti

Questi appunti sono in fase di bozza

Questi appunti sono ancora in una fase di bozza, perciò può capitare che: un paragrafo sia lasciato a metà, non sia affatto trattato o sia presente solo il titolo; siano presenti errori tipografici o di calcolo; i numeri dei riferimenti alle figure o agli esercizi non siano corretti. In ogni caso, credo che possano essere di una qualche utilità: in attesa di una prossima revisione, cerca di prendere il più che puoi da questi materiali!

Come usare questi appunti

L’approccio seguito in queste “dispense” `e un po’ diverso da quello tipico dei libri tradizionali.

Per quanto riguarda la parte di teoria, sono spesso presenti domande, a cui dovresti cercare di rispondere prima di proseguire nella lettura (anche in modo “personale”: non sempre c’`e una sola risposta giusta!). Per quanto riguarda gli esercizi, a volte, ti verr`a richiesto uno sforzo supplementare: spesso dovrai “costruirti gli esercizi”, dal momento che in alcuni dei miei file di appunti sono presenti esercizi che rimandano ad un archivio finale o a delle appendici, dove sono presenti una serie di equazioni, disequazioni, grafici e altro2_.

In questo modo, separando la richiesta dell’esercizio dal singolo esempio su cui “applicare tale richiesta”, si favorisce, credo, una maggiore attenzione sui metodi e sugli obiettivi didattici, piuttosto che sui dettagli numerici specifici di ogni esercizio.

Nota dell’autore

Le lezioni e gli esercizi proposti in questo libro sono il frutto della mia esperienza pluriennale di insegnante nella scuola secondaria. Laddove ho tratto spunto da altri testi, sono sempre state indicate le fonti originali.

In ogni caso, per segnalare uso improprio di materiale coperto da copyright, o per segnalarmi errori, suggerimenti e quant’altro, scrivimi afra.marchi@yahoo.it.

Puoi riutilizzare gli appunti e gli esercizi proposti di seguito, citando questo file e/o il mio blog M@T&FiS (francescomarchi.wordpress.com), dove puoi trovare altri materiali didattici, sia di matematica che di fisica.

Ringraziamenti

Rivolgo un grazie a tutti i miei alunni ed ex-alunni, per il piacevole tempo trascorso insieme e per gli stimoli che hanno saputo darmi, contribuendo (a volte direttamente, altre indirettamente) alla creazione di appunti sempre pi`u completi.

Versione finale

11 marzo 2012.

2_{Ad esempio, in nell’archivio relativo agli appunti sulle funzioni, sono presenti dei grafici di curve sotto i quali sono}

indicate le rispettive equazioni cartesiane: per svolgere un esercizio di abbinamento grafico-equazione, puoi annotare su un foglio a parte le equazioni, in ordine sparso, e poi, guardando i soli grafici, procedere all’abbinamento.

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INDICE 2

Indice

1 Algebra elementare: dimostrazioni 3

1.1 Numeri razionali e calcolo con le frazioni. . . 3

1.2 Monomi, polinomi etc. . . 3

1.2.1 Calcolare, spiegare, dimostrare . . . 3

1.2.2 Altri esempi di dimostrazioni . . . 4

1.2.3 Un disegno, per chiarire le idee . . . 4

1.2.4 Scomporre il problema della dimostrazione . . . 5

1.2.5 Alcuni approfondimenti . . . 6

1.3 Esercizi . . . 7

1.3.1 Dimostrazioni . . . 7

1.3.2 Rappresentazioni grafiche . . . 7

A Formulario 9 A.1 Algebra elementare . . . 9

A.1.1 Propriet`a fondamentali . . . 9

A.1.2 Altre propriet`a “di dimostrazione immediata” . . . 9

A.1.3 Prodotti cosiddetti notevoli . . . 9

A.2 Potenze ed esponenziali . . . 10

A.3 Funzioni circolari . . . 10

A.3.1 Relazioni tra funzioni goniometriche . . . 10

A.3.2 Formule di addizione e sottrazione . . . 11

A.3.3 Formule di duplicazione e di bisezione . . . 12

A.3.4 Formule cosiddette parametriche . . . 12

A.3.5 Formule di prostaferesi e di Werner . . . 13

A.4 Funzioni logaritmiche . . . 13

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Capitolo 1

Algebra elementare: dimostrazioni

1.1 Numeri razionali e calcolo con le frazioni

1.2 Monomi, polinomi etc.

1.2.1 Calcolare, spiegare, dimostrare

Vogliamo dimostrare le formule relative ai cosiddetti prodotti notevoli, elencate nell’appendiceA.1.3. Innanzitutto vogliamo far vedere la differenza fra eseguire un calcolo e fare una dimostrazione. Prendiamo, ad esempio, la formulaA.7. Per spiegarla, si potrebbe fare nel seguente modo:

(a − b)(a + b) = a2+ ab − ab − b2= a2− b2

Si tratta di una spiegazione e non di una vera e propria dimostrazione. Infatti: Definizione 1. Dimostrare una formula significa:

1. Esplicitare le regole che si assumono per vere1, dette ipotesi.

2. Giustificare ciascuno dei passaggi fatti sulla base delle regole considerate come ipotesi.

A seconda di quali regole consideriamo come formule che possiamo utilizzare nella dimostrazione, tale dimostrazione sarà più o meno complicata: se prendiamo per buone molte regole, la dimostrazione sarà breve; se possiamo basarci solo su poche regole, la dimostrazione sarà più lunga. Vediamo allora una dimostrazione della formula suddetta, basandoci solo sulle regole elencate nell’appendiceA.1.1.

Dimostrazione.

(a − b)(a + b)A.4= (a − b)a + (a − b)bA.2= a(a − b) + b(a − b)A.4= a · a − b · a + a · b − b · bA.12a= a2− b · a + a · b − b2A.2= a2− a · b + a · b − b2A.1= a2− b2 Nel primo passaggio abbiamo considerato a − b come “un oggetto unico”, per poter usare la propriet`a

A.4. Prima di spiegare meglio la cosa, prova a rispondere, da solo, a questa domanda:

1_Perch´_{e alcune regole possano essere considerate vere senza dimostrazione e altre no `}_{e un punto assai delicato e verr`}_a

approfondito nel seguito: una vera comprensione del perch´e arriver`a solo dopo aver visto molti esempi, non solo relativi all’algebra, ma anche ad altri settori della matematica.

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CAPITOLO 1. ALGEBRA ELEMENTARE: DIMOSTRAZIONI 4

Domanda 1. Perch´e nella dimostrazione precedente abbiamo usato tanti passaggi per “sviluppare le parentesi”? Non potevamo utilizzare subito la propriet`a distributiva e scrivere (a − b)(a + b) = a · a − b · a + a · b − b · b?

Non potevamo usare subito la proprietà distributiva perché abbiamo detto che dovevamo fare la dimostrazione usando solo le proprietà dell’appendice A.1.1: e da tali regole risulta che la proprietà distributiva vale solo per distribuire un numero (o una “lettera”, a ad esempio) su due altri numeri; e non che valga per distribuire due numeri su due numeri.

Se la richiesta dell’esercizio fosse stata: “dimostrare la formula in questione usando anche le regole dell’appendiceA.1.2”, avremmo potuto usare subito la proprietà “doppia distributiva”, la dimostrazione sarebbe stata più breve e l’esercizio, in un certo senso, più facile.

Per sintetizzare: anche nella richiesta di un esercizio di dimostrazione deve essere messo bene in evidenza “da dove si vuole partire”, cio`e quali sono le regole che si possono usare nella dimostrazione.

1.2.2 Altri esempi di dimostrazioni

La dimostrazione fatta nella sezione precedente suggerisce che ci sono alcune formule importanti, che utilizzeremo spesso, che è perciò utile dimostrare. Prova a farlo tu per esercizio: dimostra le formule della sezioneA.1.2 dell’appendice a partire da quelle fondamentali (sezioneA.1.1) e da quelle sulle proprietà delle potenze (A.2).

Soluzioni degli esercizi proposti

Dimostrazione della propriet`aA.6, (a + b)(c + d) = ab + ad + bc + bd: Dimostrazione.

(a+b)(c+d)A.4= (a+b)c+(a+b)dA.2= c(a+b)+d(a+b)A.4= ca+cb+da+dbA.2= ac+bc+ad+bdA.3= ac+ad+bc+bd

Dimostrazione della propriet`aA.5, (a + b)c = ac + bc: Dimostrazione.

(a + b)c = . . .

1.2.3 Un disegno, per chiarire le idee

Tutto quello che abbiamo detto pu`o essere chiarito con un disegno, chiamato grafo, proposto nella figura

1.1.

In tale disegno trascriviamo, dentro dei rettangoli, detti nodi del grafo, tutte le proprietà di cui abbiamo parlato: sia quelle “prese per buone”, sia quelle dimostrate. Per dimostrare laA.6, cosa che abbiamo fatto nel paragrafo precedente, abbiamo usato, nel corso della dimostrazione, tre proprietà: commutativa della somma (A.3), distributiva del prodotto (A.4), commutativa del prodotto (A.2). Perciò, da quelle tre formule facciamo partire delle frecce verso la formula “che le utilizza”, ovvero (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd.

Si può fare la stessa cosa con il prodotto notevole dimostrato nella sezione precedente e cos`ı con tutte le altre formule. E’ chiaro che cos`ı facendo il grafo si riempie molto velocemente di tante frecce e diventa difficile da capire. Per questo, conviene fare le dimostrazioni “poco per volta”: a partire da quelle fondamentali dimostrare le proprietà che abbiamo detto “immediate” (e che potremmo anche chiamare “intermedie”); poi, a partire da queste, dimostrare le proprietà dette prodotti notevoli; poi, a partire dai prodotti notevoli, proprietà ancora più complicate; e cos`ı via. Chiariremo la cosa, con un esempio, nella prossima sezione.

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Figura 1.1: Dimostrazione di propriet`a algebriche e prodotti notevoli: rappresentazione tramite grafo.

Domanda 2. Quali sono le proprietà “prese per buone” e quelle dimostrate e che relazione c’è con le frecce che collegano le varie proprietà?

I nodi del grafo (ovvero i rettangoli in cui sono contenute le formule) su cui non arrivano frecce sono propriet`a non dimostrate.

Domanda 3. Sulla base del numero di frecce “che arrivano” su di un nodo e di quelle “che partono” da un nodo, quali teoremi (in questo caso quali formule) possono essere considerati pi`u difficili da dimostrare? E quali teoremi possono essere considerati pi`u importanti?

1.2.4 Scomporre il problema della dimostrazione

A questo punto dovresti aver capito che, poiché dimostrare una proprietà a partire da poche regole fondamentali può essere molto lungo, conviene “scomporre” il problema in vari passaggi: a partire dalle regole prese per buone, si dimostrano alcune proprietà; in seguito si potranno usare sia queste, che quelle fondamentali per dimostrare un fatto più complesso.

Facciamo un esempio, dimostrando la formula del quadrato di binomio: (a + b)2= a2+ b2+ 2ab

Prima lo faremo usando sia le regole dell’appendice A.1.1 che quelle dell’appendice A.1.2; poi, usando solo quelle dell’appendiceA.1.1.

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Dimostrazione fatta usando anche le “propriet`a immediate” Dimostrazione.

(a + b)2= a2+ b2+ 2abA.12a= (a + b)(a + b)A.6= a · a + a · b + b · a + b · bA.2= a · a + a · b + a · b + b · bA.12a= a2+ ab + ab + b2= a2+ 2ab + b2 Il grafo relativo a questa dimostrazione `e proposto nella figura1.2(a).

In questa dimostrazione abbiamo usato il fatto che ab + ab = 2ab. E’ una regola di calcolo nota; ma si pu`o dimostrare anch’essa, oppure non ammette dimostrazione? Beh, anche questa regola pu`o essere dimostrata2_.

Dimostrazione fatta usando solo le “propriet`a fondamentali” Dimostrazione.

(a + b)2= a2+ b2+ 2abA.12a= (a + b)(a + b)A.4=

A.4

= (a + b)a + (a + b)bA.2= a(a + b) + b(a + b)A.4=

A.4

= a · a + a · b + b · a + b · bA.2= a · a + a · b + a · b + b · bA.12a= a+ab + ab + b=a2+ 2ab + b2 In pratica, rispetto alla dimostrazione precedente, questa è più lunga di due passaggi, quelli centrali, che si sono dovuti aggiungere per evitare di usare la proprietàA.6, che non era, in questo secondo caso, ammessa. Questi due passaggi potranno essere evitati in questa ed in ogni altra dimostrazione, se si prenderà per buona laA.6, che perciò è importante dimostrare una volta per tutte, come abbiamo fatto nella sezione1.2.2.

1.2.5 Alcuni approfondimenti

Perch´e a − a = 0?

Abbiamo visto fin qui come si dimostrano alcune formule di algebra elementare. In sostanza, dimostrare significa “prendere per buone” alcune formule e a partire da esse spiegarne altre. Ma questo processo ha un termine? In altre parole: quelle regole “prese per buone” possono essere a loro volta dimostrate? La risposta a questa domanda `e assai complessa, per cui accenneremo soltanto ad una spiegazione. Detto in termini semplici, “da qualche parte bisogna pur cominciare”. Quindi alcune regole vanno prese necessariamente per buone e tali regole sono dette, a seconda dei casi:

• Assiomi: ad esempio, la propriet`a commutativa della moltiplicazione, ab = ba, `e un assioma che vale per i numeri (ma non, ad esempio, per le matrici o le trasformazioni geometriche).

2_{Si pu`}_{o scrivere infatti:}

ab + abA.4= ab · (1 + 1) = ab · 2A.2= 2ab

Avendo preso per buono che 1+1=2. Si può dimostrare anche questo? Beh, questa è una domanda che va molto al di là degli scopi di questi appunti.

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• Definizioni: una definizione, diversamente da un assioma, non `e una vera e propria regola, ma una spiegazione di cosa si intende con un nuovo termine (una nuova operazione, un nuovo termine geometrico e cos`ı via). Ad esempio, se non so cosa vuol dire fare il quadrato di un numero, ma so cosa vuol dire fare il prodotto, posso definire il quadrato in termini della moltiplicazione: a2= a · a `

e la definizione di quadrato. Analogamente, si pu`o definire la moltiplicazione in termini di quale operazione? E qual `e tale definizione?

1.3 Esercizi

1.3.1 Dimostrazioni

Esercizio 1

Dimostra le propriet`a della sezioneA.1.2 dell’appendice utilizzando solo quelle della sezioneA.1.1. Esercizio 2

Dimostra le propriet`a della sezione A.1.3 dell’appendice, utilizzando le propriet`a proposte nelle sezioni

A.1.1,A.1.2,A.2dell’appendice.

1.3.2 Rappresentazioni grafiche

Rappresenta tramite il software yEd graph editor le formule (tramite dei rettangoli) e le dimostrazioni (tramite delle frecce che collegano i rettangoli) che hai dimostrato negli esercizi precedenti.

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(a) Grafo relativo alla “dimostrazione breve”.

(b) Grafo relativo alla “dimostrazione lunga”.

Figura 1.2: Dimostrazione della formula del quadrato di binomio: confronto tra la “dimostrazione breve” (basata su fatti intermedi gi`a dimostrati) e la “dimostrazione lunga” (basata solo sulle regole fondamentali).

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Appendice A

Formulario

A.1 Algebra elementare

A.1.1 Propriet`

a fondamentali

(inverso dell’addizione) a − a = 0 (A.1)

(commutativa del prodotto) a · b = b · a (A.2)

(commutativa dell’addizione) a + b = b + a (A.3)

(distributiva del prodotto sull’addizione) a · (b + c) = a · b + a · c (A.4)

A.1.2 Altre propriet`

a “di dimostrazione immediata”

(distributiva dell’addizione sul prodotto) (a + b)c = ac + bc (A.5)

(“doppia distributiva”) (a + b)(c + d) = ab + ad + bc + bd (A.6)

A.1.3 Prodotti cosiddetti notevoli

(differenza di quadrati) (a + b)(a − b) = a2− b2 (A.7)

(quadrato di binomio) (a ± b)2= a2+ b2± 2ab (A.8)

(quadrato di trinomio) (a + b + c)2= a2+ b2+ c2+ 2ab + 2ac + 2bc (A.9)

(cubo di binomio) (a + b)3= a3+ 3a2b + 3ab2+ b3 (A.10)

(somma di cubi) a3+ b3= (a + b)(a2+ b2− ab) (A.11)

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APPENDICE A. FORMULARIO 10

A.2 Potenze ed esponenziali

an= a · a . . . · a. | {z } n volte (A.12a) a0= 1 (a 6= 0) (A.12b) am· an_{= a}m+n _(A.12c) am an = a m−n _(A.12d) a b n = a n bn (A.12e) (am)n= am·n (A.12f) n √ am_{= a}mn (A.12g) a−n= 1 an (A.12h) alogax_{= x} _(A.12i)

A.3 Funzioni circolari

A.3.1 Relazioni tra funzioni goniometriche

Relazioni fondamentali

sin2x + cos2x = 1 (A.13)

tan x = sin x

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Espressione di una funzione in termini delle altre

sin x = ±p1 − cos2_x _(A.15a)

= ±√ tan x

1 + tan2_x (A.15b)

cos x = ±p1 − sin2x (A.15c)

= ±√ 1 1 + tan2_x (A.15d) tan x = ±_p sin x 1 − sin2x (A.15e) = ± √ 1 − cos2_x cos x (A.15f)

A.3.2 Formule di addizione e sottrazione

cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β (A.16a)

cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β (A.16b)

sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β (A.16c)

sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β (A.16d)

tan(α − β) = tan α − tan β

1 + tan α tan β (A.16e)

tan(α + β) = tan α + tan β

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A.3.3 Formule di duplicazione e di bisezione

Duplicazione

sin(2x) = 2 sin x cos x (A.17a)

cos(2x) = cos2x − sin2x (A.17b)

= 1 − 2 sin2x (A.17c) = 2 cos2x − 1 (A.17d) tan(2x) = 2 tan x 1 − tan2_x (A.17e) Bisezione sinx 2 = ± r 1 − cos x 2 (A.18a) cosx 2 = ± r 1 + cos x 2 (A.18b) tanx 2 = ±r 1 − cos x 1 + cos x (A.18c)

A.3.4 Formule cosiddette parametriche

Sia t = tan x₂. Allora:

sin x = 2t 1 + t2 (A.19a) cos x =1 − t 2 1 + t2 (A.19b) tan x = 2t 1 − t2 (A.19c)

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A.3.5 Formule di prostaferesi e di Werner

Prostaferesi

sin x + sin y = 2 sinx + y 2 cos

x − y

2 (A.20a)

sin x − sin y = 2 cosx + y 2 sin

x − y

2 (A.20b)

cos x + cos y = 2 cosx + y 2 cos

x − y

2 (A.20c)

cos x − cos y = −2 sinx + y 2 sin

x − y

2 (A.20d)

Werner

sin x sin y = 1

2[cos(x − y) − cos(x + y)] (A.21a)

cos x cos y = 1

2[cos(x − y) + cos(x + y)] (A.21b)

sin x cos y = 1

2[sin(x + y) + sin(x − y)] (A.21c)

A.4 Funzioni logaritmiche

A.4.1 Propriet`

a dei logaritmi

Laddove non è indicata esplicitamente la base, è inteso che la proprietà vale qualsiasi sia la base.

log(xy) = log x + log y (A.22a)

logx y

= log x − log y (A.22b)

log xn= n log x (A.22c)

log_ax = logbx

log_ba (A.22d)

log_aax= x (A.22e)