Circuiti in corrente continua

(1)

Circuiti in corrente continua

28.1 Forza elettromotrice

28.2 Resistori in serie ed in parallelo 28.3 Leggi di Kirchhoff

28.4 Circuiti RC

(2)

Circuiti in corrente continua

28.1 Forza elettromotrice

28.2 Resistori in serie ed in parallelo 28.3 Leggi di Kirchhoff

28.4 Circuiti RC

(3)

Corrente elettrica

I dQ

= dt

La corrente elettrica (I) è la quantità di carica che attraversa la superficie

nell’unità di tempo.

È una grandezza scalare

Unità di misura: Ampere (A) [C/s]

Per convenzione, il verso positivo della corrente è quello in cui fluisce la carica positiva.

m edia

I Q

=  t



Se in una certa regione di spazio c’è un flusso di cariche non nullo, allora è presente una corrente elettrica.

In un conduttore in equilibrio

elettrostatico il campo elettrico è nullo e non ci sarà trasporto di cariche.

Se due conduttori, collegati da un filo conduttore, sono mantenuti ad una differenza di potenziale costante, allora ci sarà un flusso ordinato di cariche, ovvero una corrente elettrica

(4)

Fisica II – Corso di Laurea in Scienze Geologiche – Virginia Strati

Forza elettromotrice

In un circuito una batteria è una sorgente di f.e.m. costante: la corrente nel circuito rimane costante in intensità e direzione (corrente continua)

La forza elettromotrice (f.e.m.)  di una batteria è la massima differenza di potenziale possibile che la batteria può erogare ai suoi terminali.

Unità di misura: Volt [V]

Andamento del potenziale elettrico:

BATTERIA IDEALE: ha resistenza interna nulla e la differenza di potenziale ai morsetti della batteria (detta tensione ai morsetti) è sempre uguale alla f.e.m.

BATTERIA REALE: quando nel circuito circola corrente, la tensione ai

morsetti non è uguale alla f.e.m: il mezzo interno alla batteria offre resistenza al passaggio delle cariche. Questa resistenza è chiamata resistenza interna r e aumenta quando la batteria si sta scaricando.

• Da a a b: il potenziale aumenta ( )

• Da c a d: il potenziale diminuisce (Ir)

BATTERIA

d a

V V V Ir

 = − = − 

La tensione ai morsetti della batteria è:

(5)

Resistenza interna e resistenza di carico

r: Resistenza interna R: Resistenza di carico

V = IR



Ai capi di R:

IR Ir

= +



I = R r +



2 2

P = I  = I R + I r

CORRENTE

POTENZA

BATTERIA

V Ir IR

 ^{= − =} 

2 2

( V ) P I V I R

R

 

= = =

La corrente dipende sia dalla resistenza di carico

esterna R sia dalla resistenza interna r della batteria.

Se R è molto maggiore di r, come accade nella

maggior parte dei circuiti reali, possiamo trascurare r.

f.e.m.

(6)

Tensione ai morsetti di una batteria

Una batteria è caratterizzata da una f.e.m. di 12.0 V ed ha una resistenza interna di 0.05 Ω. I suoi morsetti sono connessi ad una resistenza di

carico di 3.00 Ω.

(A) Si determinino la corrente nel circuito e la tensione ai morsetti della batteria.

(B) Si calcolino la potenza fornita alla resistenza di carico, quella fornita

alla resistenza interna alla batteria e la potenza fornita dalla batteria.

(7)

Tensione ai morsetti di una batteria

Una batteria è caratterizzata da una f.e.m. di 12.0 V ed ha una resistenza interna di 0.05 Ω. I suoi morsetti sono connessi ad una resistenza di

carico di 3.00 Ω.

(A) Si determinino la corrente nel circuito e la tensione ai morsetti della batteria.

(B) Si calcolino la potenza fornita alla resistenza di carico, quella fornita alla resistenza interna alla batteria e la potenza fornita dalla batteria.

I 3.93A

R r

=  = +

V Ir IR 11.8V

 ^{= − =}  ⁼

2 2

P = I  = I R + I r

P = 46.3W + 0.772W = 47.1W

Quando la batteria si sta scaricando, la sua resistenza interna cresce fino ad arrivare a 2.00 Ω. Come cambia la differenza di potenziale effettiva, la corrente e le potenze erogate al resistore di carico e alla resistenza interna?

(8)

Circuiti in corrente continua

28.1 Forza elettromotrice

28.2 Resistori in serie ed in parallelo 28.3 Leggi di Kirchhoff

28.4 Circuiti RC

(9)

e q 1 2 3

R = R + R + R ...

Resistori in serie

tot 1 2 1 1 2 2

V = V + V = I R + I R

  

tot 1 2

I = = I I

RESISTENZA EQUIVALENTE

Se una certa quantità di carica Q esce dal resistore R₁, questa carica Q deve entrare nel

secondo resistore R₂. Non si può accumulare carica elettrica in uno dei fili che collegano i resistori.

• Le correnti circolanti nei due resistori devono essere le stesse:

• La differenza di potenziale sarà suddivisa tra i resistori

I = R r +

  V = I R

^{e q}

= I R

¹ ¹

+ I R

² ²

(10)

eq 1 2 3

1 1 1 1

R = R + R + R + ...

Resistori in parallelo

1 2

V = V = V

  

1 2

tot 1 2

1 2

V V

I I I

R R

= + =  + 

RESISTENZA EQUIVALENTE

• Quando le cariche arrivano nel punto a si dividono in due parti: una parte va verso il resistore R₁ e una parte va verso il resistore R₂

Entrambi i resistori sono connessi ai morsetti della batteria e le differenze di potenziale sono uguali.

1 2

eq 1 2

V V V

I R R R

  

= = +

(11)

Riassumendo…

Resistori in serie Resistori in parallelo

eq 1 2

R = R + R

(

1 2

)

V I R R

 = +

1 2

V V

I R R

 

= +

_eq ¹ ²

1 2

R R R

R R

= +

(12)

Riassumendo…(condensatori)

Condensatori in serie Condensatori in parallelo

1 2

Q Q V C C

 = +

^eq ¹ ²

1 2

C C C

C C

= +

(

₁ ₂

)

Q = C + C  V C

^eq

= C

¹

+ C

²

(13)

Calcolo della resistenza equivalente

Quattro resistori sono collegati come in Figura.

(A) Si trovi la resistenza equivalente tra i punti a e c.

(B) Se viene applicata fra i punti a e c una differenza di potenziale di 42 V, quanto vale la corrente di ciascun resistore?

C) Quanto valgono le differenze di potenziale ai capi di ciascun resistore?

2 3

eq 1 2

2 3

R R R R R 14

R R

 

=   +   + + = 

1 2 3 4

I = = + = I I I 3.0A

3 4 3 3 4 4

4 3

3

V V I R I R I 2I 2A

I 1A

 =  = =

= =

=

3 4

V V 6.0V

 =  =

V

1

24.0V

 =

V

2

12.0V

 =

(14)

http://www.falstad.com/circuit/e-ohms.html

Simulatore di circuiti con resistori e

condensatori

(15)

Circuiti in corrente continua

28.1 Forza elettromotrice

28.2 Resistori in serie ed in parallelo 28.3 Leggi di Kirchhoff

28.4 Circuiti RC

(16)

Leggi di Kirchhoff

Ad ogni nodo la somma delle

correnti deve essere uguale a zero.

nodo

I = 0



Un nodo è un qualunque punto di un circuito in cui una corrente può dividersi.

1 2 3

I − − = I I 0

1. LEGGE DEI NODI

2. LEGGE DELLE MAGLIE

La somma delle differenze di potenziale ai capi degli elementi che costituiscono una maglia deve essere uguale a zero

maglia

V 0

 =



Una maglia è un insieme di due o più rami consecutivi che formano un circuito chiuso.

La carica si conserva.

L’energia si conserva.

(17)

Circuiti in corrente continua

28.1 Forza elettromotrice

28.2 Resistori in serie ed in parallelo 28.3 Legge di Kirchhoff

28.4 Circuiti RC

(18)

Circuito RC

Differenza di potenziale ai capi dei diversi

componenti:

• f.e.m. : 

• resistenza: iR

• condensatore: q/C

1) Il condensatore inizialmente è scarico.

L’interruttore è aperto, non circola corrente.

2) t = 0 L’interruttore è nella posizione a: si ha la massima corrente. Il condensatore inizia a caricarsi, la differenza di potenziale aumenta fino a che non sarà uguale a quella della batteria. Alla fine la carica sarà massima e la

corrente nulla.

Per la seconda

legge di Kirchhoff 𝜀 − 𝑞

𝐶 − 𝑖𝑅 = 0

• t = 0 , q = 0

• Alla fine i = 0

I

m ax

R

= 

Q

m ax

= C 

C

Circuito che contiene un condensatore ed una resistenza in serie: la corrente ha sempre la stessa direzione ma varia nel tempo.

(19)

( )

^RC^t max ^RC^t

q t C 1 e⁻  Q 1 e⁻ 

=  −  =  − 

   

Carica di un condensatore

dq q

dt R RC

=  − dq q C

dt RC

= − − 

න

0

𝑑𝑞

𝑞 − 𝐶𝜀 = − 1 𝑅𝐶 න

0 𝑡

𝑑𝑡

ln 𝑞 − 𝐶𝜀

−𝐶𝜀 = − 𝑡

𝑅𝐶

dq 1

q C = − RC dt

− 

( )

^RC^t

i t e

R

 −

=

q e i sono valori istantanei:

durante il processo di carica dipendono dal tempo

q iR 0

− − = C



COSTANTE DI TEMPO: l'intervallo di tempo che la corrente impiega perché il suo valore diventi 1/e del suo valore iniziale

 = RC

Δ𝑉_𝑅 𝑡 = 𝑅 𝑖 𝑡 = ε 𝑒⁻^𝑅𝐶^𝑡

Δ𝑉_𝐶(𝑡) = ^𝑄(𝑡)

𝐶 = ε (1 − 𝑒⁻^𝑅𝐶^𝑡 )

(20)

Circuito RC: processo di carica

Corso di Fisica II – Corso di Laurea in Scienze Geologiche – Fabio Mantovani

( )

max ^RC^t

q t Q  1 e

⁻



=  − 

 

( )

^RC^t

i t e

R



−

=

max max

i 1 I 0.37I

= e =

(21)

Carica di un condensatore in un circuito RC

Un condensatore scarico e un resistore sono collegati in serie ad una batteria. Se ε = 12.0 V, C = 5.00 μF e R = 8.00 × 10

⁵

Ω.

Quando l'interruttore viene ruotato in posizione a, si trovino:

A) la costante di tempo del circuito B) la massima carica sul condensatore C) la corrente massima nel circuito

D) la carica e la corrente in funzione del tempo.

RC 4.0s

 = =

Q

max

=  = C 60.0 C  I

max

15.0 A

R

=  = 

( )

^4.0^t

q t 60.0 1 e 

⁻



=  − 

 

( )

^4.0^t

i t = 15.0e

⁻

(22)

Scarica di un condensatore

dq q R dt C

− = dq 1

q = − RC dt

^q ^t

Qi 0

dq 1

q = − RC dt

 

i

q t

ln Q RC

 

  = −

  q t ( ) = Q e

i ⁻^RC^t

( ) ^Q

ⁱ ^RC^t

i t e

RC

= −

−

Il condensatore inizialmente è carico.

Quando l’interruttore viene ruotato in posizione b, il condensatore inizia a scaricarsi attraverso il resistore.

q iR 0

 − − = C

Q

_i

= valore iniziale della carica

Q

_i

/RC = valore iniziale della corrente

(23)

Circuito RC: processo di scarica ( )

^RC^t

q t = Qe

⁻

http://www.falstad.com/circuit/e-cap.html

(24)

Scarica di un condensatore in un circuito RC

Si consideri un condensatore di capacità C che si scarica attraverso un resistore di resistenza R.

(A) Dopo quante costanti di tempo la carica del condensatore scenderà ad un quarto del suo valore iniziale?

(B) L’energia immagazzinata nel condensatore decresce durante la sua scarica. Dopo quante costanti di tempo l’energia immagazzinata scenderà ad un quarto del suo valore iniziale?

2 2

2t / RC

i i

Q Q

1 e

4 2C 2C

=

−

t

i RC

i

Q Q e 4

=

− ^RC^t

1 e 4

−

= t

ln 4 RC

− = − t = RC ln 4

2t

RC

1 e 4

−

= 1

t RC ln 4

= 2

( )

i ^RC^t

q t = Q e

⁻ ^{𝑈 𝑡 =} ^𝑞_2𝐶² ^𝑡

Circuiti in corrente continua