I e II Teorema di Euclide
I e II Teorema di Euclide
Prerequisiti
:Conoscere il significato di congruenza ed equivalenza Saper operare con rapporti e proporzioni
Conoscere il concetto di similitudine Riconoscere e disegnare figure simili
Conoscere i criteri di similitudine dei triangoli Obiettivi :
Conoscere ed applicare i Teoremi di Euclide
Riconoscere e risolvere problemi in contesti diversi utilizzando i Teoremi
Spiegare il procedimento seguito
I Teorema di Euclide
1.«In ogni triangolo rettangolo un cateto è medio proporzionale tra l’ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull’ipotenusa»
2. «In un triangolo rettangolo il quadrato costruito su uno dei due cateti è equivalente ad un rettangolo che ha per dimensioni l’ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull’ipotenusa»
I Teorema di Euclide due possibili enunciati
I Teorema di Euclide
Osserviamo i triangoli ABC e AHC.
Essi hanno:
BĈA = AĤC = 90°
CÂB = C ÂH perché in comune
ABC = HĈA perché angoli complementari dell’angolo HÂC
Pertanto per il primo criterio di similitudine i due triangoli sono simili e hanno quindi i lati omologhi, che sono sempre opposti agli angoli congruenti, in proporzione , cioè:
AB : AC = AC : AH
Osserviamo ora i triangoli ABC e HBC.
Essi hanno: . BĈA = CĤB= 90° .
ABC = HBC perché in comune
CÂB =BĈH perché angoli complementari dell’angolo HBC
Pertanto per il primo criterio di similitudine i due triangoli sono simili e hanno i lati omologhi in proporzione,
AB : BC = BC : HB 1. «In ogni triangolo rettangolo un cateto è medio proporzionale
tra l’ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull’ipotenusa»
I Teorema di Euclide
Consideriamo nuovamente il triangolo ABC rettangolo in C e le due relazioni fornite dal primo teorema di Euclide:
AB : AC = AC : AH e AB : BC = BC : HB e applichiamo ad entrambe la relazione fondamentale delle proporzioni:
AC · AC = AB · AH e BC · BC = AB · HB Che possiamo scrivere nel seguente modo:
AC2= AB · AH e BC2= AB · HB
Possiamo dunque enunciare il primo teorema di Euclide anche nella seguente formulazione:
“In un triangolo rettangolo il quadrato costruito su uno dei due cateti è equivalente ad un rettangolo che ha per dimensioni l’ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull’ipotenusa»
I Teorema di Euclide
Dimostrazione geometrica
1. «In un triangolo rettangolo il quadrato costruito su uno dei due cateti è equivalente ad un rettangolo
che ha per dimensioni l’ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull’ipotenusa»
II Teorema di Euclide
Il II Teorema di Euclide può essere enunciato in due modi diversi ma equivalenti a seconda della proprietà che si desidera sottolineare.
1.Equiestensione tra figure
2.Rapporto tra lunghezze dei segmenti del triangolo
II Teorema di Euclide
Considerando l'equiestensione tra figure il teorema afferma che:
«In un triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull'altezza
relativa all'ipotenusa è equivalente al rettangolo che ha per lati
le proiezioni dei due cateti sull'ipotenusa.»
II Teorema di Euclide
Dimostrazione
Costruito CL perpendicolare e congruente a CA e CR congruente a CH.
Si vuole arrivare a dimostrare che il quadrato HPQB è equivalente al rettangolo RSML.
1) Al triangolo BCH si applica il Teorema di Pitagora quindi CBDE è equivalente alla somma di HPQB e CRSH
CBDE= HPQB + CRSH
2) Al triangolo ABC si applica il I Teorema di Euclide e ne consegue che CBDE è equivalente al rettangolo CHML.
Dato che
CHML = CHSR + RLMS
si potrà dedurre che, per sottrazione delle aree, HPQB è equivalente a RLMS.
