Trasporto di neutroni
con sezioni d'm'to dipendenti dalla temperatura (*).
A. BELLE~I-MO~A~TE (Firenze)
A D ~ I o GRAFFI nel sue 70 ° compleanno
1 ] i a s s u n t o . - S i studia u n problema n o n lineare di trasporto di neutroni i n u n m u t e omogeneo con sezioni d'urto dipendenti dalla temperatura. ~acendo use di aleune tecniche standard della teoria delle equazioni non lineari di evoluzione, si prova l°esistenza e l'unicit~ di u n a soluzione ]erie u ~- u(t), p e r ogni t e [0, t], eve t ~ svelte i n mode opportune. In]ine, si indiea u n procedimento p e r determinate u n a ]unzione continua e non negativa b = b(t),
tale eh~ ttu(t)ll
<b(t) per
ognite[O, ~].
S u m m a r y . - We study a non-linear neutron transport problem i n a homogeneous slab w i t h temperature/eedbaek. B y using some standard techniques I t e m the theory o] non-linear evolu- tion equations, we prove existence and uniqueness o] a strong solution u = u(t) at a n y t e [0, t].
F i n a l l y , we indicate a procedure to l i n d a non-negative continuous b = b(t), such that
]]u(t) I] <
b(t), at a n y t E[0, ~].
1 . - I n t r o d u z i o n e .
L ' e f f e t t o di un~ c o n t r o r e a z i o n e , d o v l t t a alle variazioni di t e m p e r a t u r a , sul com- p o r t a m e n t o di u n r e a t t o r e nucleare 5 s t a t e e s a m i n a t o in diversi lavori di r e c e n t e pllbblicazione, [1], [2], ..., [10].
Nelle n o t e citate, il f e n o m e n o del t r a s p o r t o dei n e u t r o n i ~ e s a m i n a t o n e l l ' a m b i t o della teoria. (approssimata) della diffusione e i l m e e c a n i s m o di controre~zione a.gisce u n i c a m e n t e t r a m i t e il coefficiente di moltiplicazione, che c o m p a r e nell'equuzione di diffusione dei n e u t r o n i , [1].
I n questo lavoro, ci p r o p o n i a m o di s t u d i a r e gli effetti dell'~ccoppiamento tra- sporto di n e u t r o n i - t e m p e r a t u r ~ in u n m u r o di spessore 2a, f a c e n d o use della t e o r i a m o n o e n e r g e t i c a del t r a s p o r t o . L a seelta della t e o r i a m o n o e n e r g e t i c a e della simme- tri~ p i a n a del mezzo m a t e r i a l e ~ d o v u t a u n i c a m e n t e a ragioni di semplicit~ formale.
I n cffetti, i m e t o d i di cui f a r e m o use nel seguito possono essere generalizzati senz~
difficolt~ al case in cui il mezzo n o n h a s i m m e t r i a p i a n a e la diffusione dei n e u t r o n i v i e n e e s a m i n a t u n e l l ' a m b i t o della t e o r i u de1 t r a s p o r t o con d i p e n d e n z a dall'energiu.
(*) Entrata in Redazione il 15 marzo 1975.
86 A. BELLEiNI-MOtCA~TE: Trasporto di neutroni con sezioni d'urto, etc.
~ e i due pur~gr~fi seguenti si espone il probleina fisico e si indicano gli struinenti analitici necessuri per t r a s f o r m a r e il sistema di equazioni, che regol~ il fenoineno fisico, in a n problema a s t r a t t o (non lineare) di evoluzione in a n opportuno spazio di Ban~ch. I1 para.grafo 4 ~ uppunto dedicato a d u n breve esaine di tale problema
~stratto, m e n t r e , nel paragrafo 5, si prov~ l'esistenz~ e l'unicit~ di u n a soluzione forte u = u(t), definita per ogni t e [0, t] con t scelto in modo opportnno. Infine, nel p~ragrafo 6, si dednce u n a liinitazione per tlu(t)fl.
2. - P o s i z i o n e d e l p r o b l e m a .
I n d i c a t e con N ( x , y, t) e con T(t) r i s p e t t i v a m e n t e la densit~ neutronica e 1~ tein- p e r a t u r a media nel Inuro di spessore 2a, valgono le seguenti equazioni di bi- lancio, [1], [19],[20]:
+ 1
~N ~N _ vX_Y + -~ v (x, y', t) d y ' , , ,
(1) ~ t = - ~ Y ~ x Ixl<a lvl<l t > 0 ;
- - I
(2)
o r e :
+ a + 1
- - a - - t
, I x ] < a , t > 0 ,
v = v e t o c i t ~ dei n e u t r o n i ; X : s e z i o n e macroscopica d ' u r t o totale; ? = . Y . + v X f , con X~ sezione d ' u r t o di <( scattering >>, Xf sezione d ' u r t o di fissione e v n u m e r o Inedio di n e u t r o n i p r o d o t t i d a ogni evento di fissione;
h = coefficiente di scainbio termico con il fluido refrigerante, [1];
K = eoefficiente di produzione di energi~ (generata dalle fissioni, [1]);
T s = t e m p e r a t u r a Inedia del fiuido refrigerante.
Alte equazioni (1) e (2) v a n n o associate condizioni iniziali ed ol contorno del tipo:
(3) (¢)
• ( x , y , O ) = N o ( x , y ) , ] x l < a , ] y ] < l ; T(0) = To ;
N ( - - a, y, t) ~ O, VyE(O, 1] ; N ( a , y , t ) ~ O , V y e [ - - 1 , 0), o r e No e To sono assegnate.
~ell'ipotesi c h e l a reazione, d o v u t a alle variazioni di teInpera,tura, sia lineare [1], [2], si h a infine:
(5)
Z = Z'o(1 + ~ 0 ) , k = ~'o(1 + ~¢~0), K = Ko(1 @ cqO), (6) 0 = O(t) = T ( t ) - - T~ ,A. BELLE2gI-M:ORANTE:
Trasporto di neutroni con sezioni d'urto, eve.
87 o r e Xo, ko e Ko sono e o s t a n t i p o s i t i v e , a l , ce2, e ~ s o n o c o s t a n t i e T,t e l n p e r a t n r a di r i f e r i m e n t o .
F a c e n d o uso delle (5), la (1) e la (2) d i v e n g o n o :
u n ' o p p o r t u n a
(7)
(s)
+ 1
~N ~2¢ +-~ Vyo f N(x, y', t)dy'--
1T i = - v y ~ - V-ro~V
- - 1
+ a + 1
do_at hO + Kof~X'flV(x', y', t)dy'@
--a --1
+ l
-- ei vZoO2g + -~ e~vyoO f N (x, y', t) dy'
1- - 1
+ a + 1
+ :,aKoOfdx'fN(x' , y', t)dy'+ h(Tf-- T,).
--Ct - - 1
O s s e r v i a m o e h e l a (7) e 1~ (8) sono n o n lineari helle ineognite h r e 0 e ehe l ' e f f e t t o delle v a r i a z i o n i di t e m p e r a t u r a g di c o n t r o r e a z i o n e se :q, ~2 e ~ sono n e g a t i v e .
A v v e r t i a m o p u r e ehe i p r o e e d i m e n t i , di cui f a r e m o uso nel seguito, p o s s o n o essere generalizzati s e n z a difficolt~ al easo in eui 2:, y e K sono p r o p o r z i o n a l i a (1 + ~'0 + ~"02).
No~A 1. - I~o spessore 2a, il eoeffieiente (positivo) h e la t e m p e r a t u r a del fluido r e f r i g e r a n t e Tj sono p e r i p o t e s i i n d i p e n d e n t i dal t e m p o , [1].
3 . - P r e l i m i n a r i m a t e m a t i c i .
P o s t o X1 = L~([-- a, + a] x [-- 1, -~- 1]) e i n d i e a t o con X~ l ' i n s i e m e dei h u m e r i eomplessi, sie X = X~ x X ~ . X g u n o spazio di B a n a e h con n o r m a :
(9)
tl]tl = gottllItl+ ht]2t, J = J~
llil la
n o r m a in X~:+ a + 1
llld =fd@l (x, y)idy,
- - a - - 1
N e l l a (9), ]e c o s t a n t i Ko ed h sono s t a t e i n t r o d o t t e p e r ragioni di o m o g e n e i t ~ : in- f a t t i I[]11]1 h a le d i m e n s i o n i di nn~ densit~ n e u t r o n i e a p e r u n a lunghezza, m e n t r e If21 h a le d i m e n s i o n i di nn~ t e m p e r a t u r e .
:NOTA 2. - L ' u s o dello spazio X1 ~ ginstifieato d~l f a t t o e h e lI2gltl fornisee il nu- m e r o t o t M e di n e u t r o n i p r e s e n t i nel mezzo a l l ' i s t a n t e t.
88 A . BELLEkNI-)/~ORANTE:
Trasporto di neutroni con sezioni d'urto, eee.
Definiamo poi gli operatori seguenti:
(10)
(11)
+1
J~f~ -~ ½ f f~(x, y') dy' ,
- - 1
+a +1
- - a - - 1
D(J~) = X~, R(J~) cX~ ;
D(J~) =- X~, R(J~) c X~ ;
(12)
B~ ~, = -- ~ ~ ~1-- r i o / ~ ,
D(B~)={]~:fIeXI; f~(x,y) ~
assolutamente continua in x per quasi ogni y e [ - - 1 , ~- 1];B~/~eX~;
]~(--a, y) = 0 Yye(0, 1];]~(a,
y)---- 0 Y y e [ - - 1 , 0)},R(B~) c XI ,
ove, ad esempio,D(B~) e R(B~)
sono rispettivamente il dominio ed il codominio di B~.Dalle definizioni (10) e (11) si ottiene senza difficolt~ il seguente
ore :B(X~, Xj) ~ lo spazio degli operatori lineuri e limitati da X~ in Xj, ([22], Capi- tolo 3, paxagr. 3).
Per qllanto riguarda Foperatore B~, risultati orm~i classici~ esposti in dettaglio nel Capitolo 8 di [21], assicurano che B~ ~ il gener~tore di un semigrnppo fortemente continno {exp
(tB1), t>O}e:~(X~),
t~le che I]exp (~B~)tl~<ex p ( -VXot)
per ogni t>~0 (si veda anche [23]). I n altri termini:LElg~A 2. - B ~ e ~ ( l ~ - VXo), ([22]~ Capitolo 9). • Introduciamo infine i seguenti operatori da X in X:
(13)
(14)
(15) Si ha:
B-~ (B~ --hIO ) , D(B)-=D(B~)×X~;
~v?oJ~ 00) D ( J ) = X ; J = ~KoJ~
= X .
LE~:~A 3. - J e : B ( X ) ;
tlJ]ll <fill]ll, fl--- (v?o+ h). •
Dalla definizione (14), dalla (9) e dal L e m m a 1, si ottiene infatti:
]IJ]]I = Ko]lV?oJ1
]1111 -~- hlKoJJ~ I <~ (vyo ~- h)Koll]l]l, <
A. BELr,E~I-MoRA~TE: Trasporto di neutroni con sezioni d'lerto, eec. 89
LE~I~A 4. - B e 9 ( 1 , - - z o ) , con z o = m i n ( v S o , h). •
I n f a t t i , per il I~emma 2, D(B~) ~ denso in X~; B1 e C(X1) ([22], Capitolo 3, pa- ragr. 5); R(z, BO = ( z I - - B,)-~a ~(X1) con llR(z, Bx)],tl~<(z + vSo)-'It]~ll, per ogni z > - v S 0 , segue che D ( B ) = D ( B , ) × X ~ ~ denso in X e ehe B e C ( X ) dato che
h i ~ 55(X~) c C(X,). Inoltre, avendosi:
R(z, B ) = ( z I - - B ) - ~ : (R(z, B,) 0 (z ~- h)-' I ! '
si ottiene subito che R(z, B ) e 3t(X) e che
HR(z, B)I]
< ( z + zo)-' per ogni z > - Z o . Si conclude che B e g ( 1 , - - z o ) . "Consideriamo infine l'operutore non lineare F ; d~ti ] e g in X, si ric~va dalla (15):
(16) ilz~(1) - F(g)It = KoIto:,vZo(]l]~-gxgz)- cqvyo(lJJ, - gzJ, g,)ll, -F
+ hl:,~ Ko(l: J~t, - g~J,g,)l.
D'altra parte,
Ill, I, - glg, I1, = Ilt, l~ - t,g, + / , g ~ - g,a,]]l < 113- .q,ll11111, + Ig~lllY, - gill1, I{.¢1 t~- g,g,l[1 = II1,I, - gJ~ + g J ~ - g,g~l[, < I1~- g~l llg, II, + I/~I11/, - gill,,
e quindi:[1 ,fl)¢~
-- g,gzl[, ~<½ {[{fzl-}- [g2l] {I. ¢, -- 6111,-[- [It],N 1 + Ilg,[{,] {.f2-g~l}-
Disuguagli~nze dello stesso tipo si ottengono per I]]~Jlf,--g~Jlgllt, e per I / ~ J 2 t l - --g~J~g,], facendo uso dei risultati del L e m m a 1. Dallu (16) si ottiene cosi:
tlF(i) - F(g)lI < :, {hl:ll.t + tg~l]Kolil~- glt]~ --F- K . [ II/~ll~ + Itg~KthI/~- g~i} <
<411Yll + llgll] {Kolt/,- glll,-t- hiY~- g~l} = 411ill + IIgll:]l]l- gll,
o v e
I n conctusione, vale il seguente
:LEMMA 5. -- I2operatore non ]ineare F ha dominio coincidentc con l'intero spuzio X e soddisfa le diseguaglianze:
(~s) I i ~ ( 1 ) - F ( g ) l l <~(I1111 + IIgll)llt-gll, Vt, g ~ X ,
(]9) IIF0 ') 11 < ~,ll]II ~ , v/~ x,
duto che F ( 0 ) = 0. i
90 A. BELLENI-£~C]~OtCANTE: Trasporto di neutroni con sezioni d~urto, eec.
Sia infine s,(]0) la s f e r a
~,(]o) = {I: l e x , lit-]o1[ < r } ,
owe ]0 6 u n a s s e g n a t o e l e m e n t o di X ; dalla (18) e dalla (19) si o t t i e n e :
(20) ll~(1)-F(g)II<2~(~+ II/ol[)il/-glt, Vt, ge~,(fo),
(21) [IF(t) ll = ~(, + 1110ll) illl[, vl ~ ~,(I0),
dato e]~e tltlt e ttgll non ~uper~no ( , + II1oll).
4. - II p r o b l e m a a s t r a t t o .
F a e e n d o uso delle definizioni (13), (14) e (15), il s i s t e m a ( 7 ) + (8) con le eorri- s p o n d e n t i condizioni iniziati ed al c o n t o r n o p u b essere p o s t o nella f o r m a :
(22)
O W e
d ~
- ~ = (B --I- J)u(t) @ F(u(t)) @ % ,
l i m u ( t ) = uo ,
t---->O +
[u~(t)] ~ o(t) , u o = ~ r o _ y ~ ]
t > O ,
NeUe (22), u(t) v a o r a i n t e r p r e t a t o c o m e u n a t r a s f o r m a z i o n e d a [0, + oo) in X m e n t r e la d e r i v a t a d/dt ed il l i m i t e sono nel senso della n o r m a di X , [22].
I1 s i s t e m a (22) t r a d u c e u n p r o b l e m a n o n l i n e a r e di evoluzione hello spazio di B a n a c h X , che p u b essere s t u d i a t o con le t e c n i c h e d e l i n e a t e in [11], ..., [18].
Osserwiamo che ogni s o h z i o n e c o n t i n u a p e r t > 0 e deriwabile p e r t > 0 di (22) (se esiste) soddisfa a n c h e l ' e q u a z i o n e i n t e g r a l e ([22], Capitolo 9):
t
(23) u(t) = wo(t) - F f Z ( t - s)EJu(s) -F F(u(s))]ds, t•O,
0
o r e P i n t e g r a l e ~ nel senso della n o r m a di X ed o r e si ~ p o s t o
(24) Z(t) = e x p (tB) ,
t
Wo(t) = at)Uo + f z ( t -
s)%ds .O
L'~0TA 3. - T e l caso p a r t i c o l a r e in cui ~ = 0, o v v e r o se a l = ~ = a 3 = 0, la p r i m a c o m p o n e n t e della (23) coincide con la classiea e q u a z i o n e di B o l t z m a n n in f o r m a i n t e g r a l e [19], [20]. Cosi la (23) ~ u n a generalizzazione di t a l e f o r m a i n t e g r a l e al caso in cui i n t e r v i e n e u n a reazione doYuta alle wariazioni di t e m p e r a t u r a .
A. BELLENI-~OlCANTE: Trasporto di neutroni con sezioni d~urto~ eec. 91
Viceversa, se 1~ (23) a m m e t t e u n u soluzione u(t) c o n t i n u a p e r t~O, non ~ d e t t o che, in gener~le, u(t) soddisfi il s i s t e m a (22); con BRow])E~ [11], diciamo che u(t) u n a soluzione di tipo (~ mild )) ((( mild solution ))) di (22). Pifl p r e c i s a m e n t e , fissato o p p o r t u n a m c n t e t ~ 0, sia
]~= c([o, ~]; x )
lo spazio delle t r a s f o r m a z i o n i co)~tinue w-~ w(t) d~ [0, i] in X, con n o r m s :
IIIw III
= {maxllu(t)ll, t e [0, ~]} ;allora, sc la (23) a m m e t t e u n a soluzione u e Y , diciamo che u = u(t) ~ u n a solu- zione di tipo (~ mild ~ del sistema (22) nell~intervallo [0, t].
O s s e r v i a m o che, p e r q u a n t o a c c e n n a t o nella ~ o t a 3, 1~ conoscenza di u n a solu- ziome (( mild )) del s i s t e m a (22) h a n o t e v o l e i m p o r t a n z a da u n p u n t o di v i s t a fisico.
~ e l n o s t r o c~so t u t t a v i a , ogni soluzione (( m i l d ~) in [0, t] di (22) risnlta c o n t i n u a e derivabile in [0, t ] e perSanto ~ ~nche soluzione f o r t e del sistema (22), ([12], Teo- r e m a 7; [13], T e o r e m ~ 2). Questo risult~to pub del r e s t o essere verificato diretta- mente s t u d i a n d o il c o m p o r t a m e n t o di R ( t ) = u~(t)--[u(t4-h)--u(t)]/h, o r e u~(t) l ' u n i c a soluzione c o n t i n u a dell'equazione integrale lineare che si o t t i e n e ]ormalmente dalla (23) eseguendo la sostituzione s ' = t - - s e poi d e r i v a n d o r i s p e t t o a t.
5. - S o l u z i o n e del s i s t e m a ( 2 2 ) .
Dai L e m m a 3, 4 e 5 e t e n e n d o p r e s e n t e l'Osservazione 2 al T e o r e m a 3 di [12], lecito c o n c l u d e r e che il sistem~ (22) a m m e t t e u n ' u n i c u soluzione (~mild ~) per t ~ [0, ~] se ~ b scelto in m o d o o p p o r t u n o . Q u a n t o segue ~, p e r t a n t o d i r e t t o ~ v a l u t a r e ed g ealcol~re u n a limitazione p e r ]lu(t)]l, o r e , p e r q u u n t o osserv~to ulla fine del par~grafo lorecedente, u ---- u(t) ~ a n c h e la soluzione f o r t e per t e [0, i] del sistem~ (22).
Cib premesso~ definiamo il s e g u e n t e o p e r u t o r e n o n lineaxe da ~Y in :Y:
t
(25)
P(w)
= ~o÷fz(t-
s)[Jw(s) + F(w(s))] ds, D(P) : Y ,0
o r e , per la (24), risulta che woEY.
Dai I J e m m a 3, 4 e 5 e dall~ (25) si o t t i e n e :
(26)
t
llv(~) (t)- P(~)(t)II < f e x r [ - ~o(t- ~)1{~ + ~[ I1<8)ti + I1"(~)II ]} tI~(~) - ~(~)II a8 <
0
<p(~) {~ + ~[ ltlu III + Iltw III]} II1~ - w I11,
92 A. BELL]Z~-Mo~n~TE: Trasporto di neutroni con sezioni d~urto~ eae.
o v e
(27) p(i) = [1 - e x p ( -
zo~)]/Zo,
ed o r e si ~ t e n u t o conto del f~tto che IIz(t)II < e x p ( - z o t ) d a t o che B e g ( l , - - z o ) . Dall~ (26) si ric~v~:
(28) (29)
I[IP(~) - .P(w)II1 < p ( b {8 -1- ~[ Illu tll + IIIw III]} 111~ - w Ill, [liP(u) - Wo lit < p ( t ) ( 8 + ~ tIlu 111}
lllu
it[q u a l u n q u e siano u e w in Y, ove ]u (29) segue d~ll~ (28) con w ~ - 0 (e quindi con P ( w ) = wo, err. 1~ (25)).
Se, in particola~r% u e w ~ppartengono ntl~ sfer~
s~(Wo) = {w: w e :Y, lilly- wolll <~'},
1~ (28) e 1~ (29) divengono:
(30) IIIt)(~)- P(w)lll <q, l l l u - w t l l , Vu, w e S~(Wo),
(31) lttP(u)--Woiti<q~iiluill<q~r, Vu~S~(wo),
o v e
q, = q,(~, r) = p(~)[8 + 2~(r + lllwo III)],
q~ = q,(~, r ) = pg)[8 + ~(~ + lllw III)],
q~ = q~(~, r) --- q~(Z, r)[1 + lilwo JJl/r)].P o s t o infine:
(32)
si o t t i e n e dall~ (30) e da.ll~ (31):
(33) l[I.P(u) - .P(w)[!i < q IIlu - w Ill,
(34) HIP(u) -- wo Hi • qr ,
q = q(~, r) =
Pg)[8 + 2~(r + tllwo Ill)ill + ILIwo III/r],
Vu, w e S,(Wo),
Vu e S,(wo).
Osserviamo t h e , fissato r, q(t, r) ~ una. funzione erescente di ~ e che q(O, r) =- O, lira q(i, r) ~- ~ [fi -F 2 a ( r - F 1 IHw01fl)] [1 -F IHwoi[]/r] > 1
d~to che zo-~ rain (h, vZo) < fi : (vTo-F h). Esiste d u n q u e u n to ---- to(r) tale q(~,r)>~l per t>~to. Ovvero:
che
A. BELLENI-M01~ANTE: Trasporto di neutroni con sezioni d'urto, etc. 93 I J ] ~ A 6. - A d ogni raggio r si p u b associ~re u n t o : to(r), t a l e che q(t, r ) ~ 1 se t 6 fissato in m o d o che t < to. •
~OTA 4. - L~ f u n z i o n e to----to(r) pub essere ric~v~tu senzu difficolt~ ~ p a r t i r e d~llu relazione q ( t o , r ) = 1. O v v i ~ m c n t % conviene scegliere r in m o d o che t0 sin m~ssimo.
F i s s a t a d u n q u e ~ in m o d o che 0 < ~ < to, 1~ (34) m o s t r a che P t r u s f o r m u S~(wo) in s6 stcssa, m e n t r e , p e r l~ (33), P risulta s t r e t t a m e n t e c o n t r a t t i v ~ in S~(wo). Si con- clude ehe Fequ~zione:
(35) u = -P(u)
(e ciob 1~ (23) con t e [0,3]) ~ m m e t t e u n ' u n i c a soluzione u ~ S~(wo)c Y, tale che:
(36) lira Niu( ~ ) - uNI = 0
i - - > + co o v e
(37) u ~+~) ~ P ( u (~)) , i = 0, 1, 2, ... ; u (°) : Wo.
D u n q u e :
T ] ~ o m ~ A 1. I1 sistem~ (22) ~ m m e t t e n n ' u n i c ~ soluzione <(mild ~) u : u(t), con- tin~a~ p e r t ~ [0, t] e t~le che tiu(t)-Wo(t)l I < r p e r ogni t ~ [0, t]; tale u : u ( t ) r i - su]ta a n c h e essere soluzione f o r t e di (22) in [0, t]. •
~omh 5. - I1 raggio r, che c o m p a r e nell'enunci~to del T e o r e m ~ 1, p o t r e b b e a priori esscre ((molto grandee>. Cosl, la diseguaglianza Hu(t)--Wo(t)i]<r p o t r e b b e nvere scarso senso fisico. Cib giustifica la ricerc~ di u n a limitazione pifi significativ,~
per Ilu(t)- Wo(t)lt.
6 . - L i m i t a z i o n i p e r
Iiu(t)[I.
D a l l ' e q u a z i o n e integrale (23) si o t t i e n e :
t
(38) [lu(t)][ < Nwo(t)H
+fexp
[-- Zo(t-- s)]{tTNu(s)H-p- otHu(s)[i2}ds ,0
o r e , p e r il T e o r e m a 1,
[p~(t)l[
b u n a f u n z i o n e c o n t i n u a e n o n n e g a t i v a per t ~ [0, t]ed o r e
(39) II o(t) ll <exp (- ot)Iiuoll + - (-- zot)]lI 'olll o = bo(t).
L a diseg~agli~nza integTale (38) suggerisce di ricerc~re se l ' e q u a z i o n e integrale
t
(40) b(t) = bo(t) --t-fexp [-- Zo(t -- s) ] ( flb(t) -{- ct[b(t)]z} ds
o
7 - A n n a l i d e M a t e m a t i c a
94 A. BELLENI-MORANTE: Trasporto di neutroni con sezioni d'urto, eec.
a m m e t t a u n a s o ] u z i o n e c o n t i n u ~ e n o n n e g a t i v a p e r t e [0, t]. I n t a l e a s o i n f ~ t t i si a v r e b b e IIu(t)II <b(t) p e r o g n i t e [0, t], c o m e si v e r i f i c a f a c i l m e n t e a p a r t i t e d a l l e (37).
C o n s i d e r i a m o ullora il s e g u e n t e s i s t e m a , o t t e n u t o dallu (40) p e r d e r i v a z i o n e r i s p e t t o a t:
(41) db d--t ~-- ~[b(t)]~ --~ ( f i - zo)b(t) + llvolt , t > 0 ; b(O) = IIuoll .
L ~ p r i m a delle (41) a m m e t t e l a s o l u z i o n e e o s t a n t e
c h e 6 r e a l e p u r c h ~ ~ sia, s u f f i c i e n t e m e n t e p r o s s i m o a zero ( r i c o r d i g m o t h e z o < fl).
:Not~ la b~, c o n m e t o d i s t a n d a r d si o t t i e n e l a s o l n z i o n e di (41):
(43)
(44)
b(t) = b~-[- 1/c(t),
e-2 llu011 + [ 1 - e=p ( - et)] , }
v a l i d a p e r o g n i t e [ 0 , ~ ) , o r e i~ 6 il p r i m o z e r o di e(t).
N o t i a m o e h e , e s s e n d o f l - - z 0 > 0 e s u p p o n e n d o c h e c¢ si~ s u f f i c i e n t e m e n t e p r o s - s i m o a zero, r i s u l t ~ c(O)> O, de(t)/dt< O, tl~m¢~ c ( t ) = - o:/~ < 0 ; i n o l t r e b ( 0 ) = [luoll > 0, db(t) /dt = -- [1/c~(t) ]de(t) /dt > O.
Si c o n c l u d e c h e b(t) 6 n o n n e g a t i v a e f i n i t a p e r o g n i t e [0, ~ ] o r e t~ 6 t a l e c h e c(~)---- 0. D u n q u e :
TEORE~A 2. I1 p a r a m e t r o n o n n e g a t i v o c¢ si~ s u f f i c i e n t e m e n t e p r o s s i m o a z e r o ; allora,, IIu(t)II < b ( t ) , o r e b(t) 6 d a t a d a l l a (43), p e r o g n i t e [0, t], c o n ~ < r a i n (to, t~). •
O s s e r v i a m o c h e l a l i m i t a z i o n e l[u(t)l] <~ b(t) n o n d i p e n d e d a l r a g g i o r del T e o r e m a 1.
NOTA 6. - L e p r o p r i e t ~ di u = u(t) r i s p e t t o a i p a r a m e t r i g~, :q, ~s ( p e r es., 1~
c o n t i n u i t £ e 1~ derivabilitY) p o s s o n o e s s e r e e s a m i n a t e m e d i a n t e p r o c e d i m e n t i simiti a quelli di [24].
B I B L I O G R A F I A
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[2] D. H. NGUYEN, Nucl. Sci. Eng., 52 (1973), p. 292.
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A. BELLE~I-MORA~TE: Trasporto di neutroni con sezioni d'urto, ecc. 95
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