Politecnico di Bari. ESERCITAZIONE 6: LA TRAVE Parte 1 Progetto armature longitudinali

DICATECh

Dipartimento di Ingegneria Civile, Ambientale, del Territorio, Edile e di Chimica Politecnico di Bari

08 gennaio 2021

Corso di FONDAMENTI DI TECNICA DELLE COSTRUZIONI E SOSTENIBILITA’ DELLE STRUTTURE – Mod I e II

Ing. Francesco Porco

ESERCITAZIONE 6:

LA TRAVE – Parte 1

Progetto armature longitudinali Politecnico di Bari

1) Analisi dei carichi unitari 2) Schema statico

3) Schema di carico 4) Sollecitazioni

5) Progetto delle armature (c.a.) 6) verifiche

PROGETTO DEGLI ELEMENTI STRUTTURALI

LA TRAVE

a) Armatura Longitudinale b) Armatura Trasversale

Obiettivo

Esempio strutturale per illustrare il progetto di una trave in c.a.

Pianta architettonica del piano tipo

Pianta di tracciamento dei pilastri dalla 1^ alla 4^tesa

Carpenteria piano tipo

Per indicazioni dimensionali, il riferimento è il

D.M. Infrastrutture 17 gennaio 2018 – Norme tecniche per le

costruzioni

§ 7.4.6.1 Limitazioni Geometriche

Alcune regole di predimensionamento

❑Trave a spessore portante: B=L/6 con L: luce da coprire.

❑ In presenza di carichi verticali per il predimensionamento dell’altezza viene sovente utilizzate una formula che lega l’altezza H alla luce L della trave:

H=1/10L, che per le usuali luci delle travi negli impalcati di edifici per civile abitazione conduce in genere altezze H di 50-60 cm.

h_t

b_t

b_c b_t h_t

b_t  20 cm

b_t  h_t/2+b_c+h_t/2

b_t  2b_c

Trave emergente

Trave a spessore

D.M. Infrastrutture 17 gennaio 2018 – Norme tecniche per le costruzioni

§ 7.4.6.1.1 – Limitazione geometriche: travi

b

_c

: Altezza del pilastro ortogonale all’asse della trave

b

_t

: Larghezza della trave h

_t

: Altezza della trave

b_t / h_t  0.25

Telaio 1 – travata di bordo tra i picchetti 1-2-3-4-5

Telaio 1 (sezione longitudinale)

TRAVATA 1-5 DI BORDO

323 309 309 309 309 309 309

1) Analisi dei carichi unitari 2) Schema statico

3) Schema di carico 4) Sollecitazioni

5) Progetto delle armature (c.a.) 6) verifiche

PROGETTO DEGLI ELEMENTI STRUTTURALI

La TRAVE

D.M. Infrastrutture 17 gennaio 2018 – Norme tecniche per le costruzioni

§ 2.5.3 - Combinazioni delle azioni

§ 2.6 – Azioni nelle verifiche agli Stati limite

Nel caso in esame, per gli S.L.U., la formula generale per la combinazione fondamentale da impiegare agli SLU diventa:



_G2 = 1,3 carichi «ben» definiti (1 se il suo contributo aumenta la sicurezza)



_G1

·G

₁

+ 

_G2

·G

₂

+ 

_Q1

·Q

_k1



_Q1 = 1,5 (0 se il suo contributo aumenta la sicurezza)



_G1 = 1,3 (1 se il suo contributo aumenta la sicurezza)

Analisi dei carichi unitari: TAMPONATURE ESTERNE

14

Analisi dei carichi unitari: TRAMEZZI

D.M. Infrastrutture 17 gennaio 2018 – Norme tecniche per le costruzioni

§ 3.1.3.1 – Elementi divisori interni

Per un altezza di 2.70m si ha: 1.48 kN/m² x 2.70m =3.99 kN/m

Analisi dei carichi unitari: SOLAI

G1

G1 G2

G2 Q

Q

CARICHI COMPLESSIVI AGENTI SULLA TRAVE:

G1

4.85m 1.50m

G₁ = peso proprio della trave (G_1,trave) + peso proprio del solaio interno (G_1,solaio)+ peso proprio balcone (G_1,balcone)

G

₁ = [2500 x 0.30 x 0.50] + [400 x 4.85/2] + [(400 x 1.5) + (2500 x 0.3 - 400) x 0.3]

=2050 kg/m =

2050 daN/m

Fascia piena

_cls

G_1,trave G_1,balcone

G_1,solaio

CARICHI COMPLESSIVI AGENTI SULLA TRAVE:

G2

4.85m 1.50m

G₂ = sovraccarico permanente della trave (G_2,trave) + sovraccarico permanente del solaio interno (G_2,solaio)+ sovraccarico permanente balcone (G_2,balcone) + peso della tamponatura (G2,tamponatura)

G

₂ = [84 x 0.30 + (2 x 30 x 0.20)] + [354 x 4.85/2] + [(185 x 1.5) + (25 x 1.07)] + [390 x (3.09-0.5-0.04)] =2194.40 kg/m =

2194.40 daN/m

spessore massetto Massetto in

daN/m²

G_2,trave G_2,balcone

G_2,solaio G2,tamponatura

CARICHI COMPLESSIVI AGENTI SULLA TRAVE:

Q

4.85m 1.50m

Q = carico variabile del solaio interno (Q_solaio)+ carico variabile del balcone (Q_balcone)

Q

= [200 x 4.85/2] + [400 x 1.5] = 1085 kg/m =

1085 daN/m

Q_balcone

Q_solaio

1) Analisi dei carichi unitari 2) Schema statico

3) Schema di carico 4) Sollecitazioni

5) Progetto delle armature (c.a.) 6) verifiche

PROGETTO DEGLI ELEMENTI STRUTTURALI

La TRAVE

Schema statico per il progetto del solaio

SCHEMA STATICO PER IL PROGETTO DELLA TRAVE

L’analisi delle sollecitazioni per le combinazioni di carico allo S.L.U. viene condotta con riferimento a 2 schemi statici.

L’adozione di due schemi nasce dall’esigenza di considerare due situazioni limite relative al vincolo esercitato dal pilastro di bordo nel confronto delle travi

Schema statico con pilastri di estremità (“schema ad H”)

Schema particolarmente indicato ai piani bassi (pilastri di maggiore dimensione)

Schema statico a trave continua

Schema particolarmente indicato ai piani alti (per la presenza dei pilastri di dimensione minore per effetto della risega)

1) Analisi dei carichi unitari 2) Schema statico

3) Schema di carico 4) Sollecitazioni

5) Progetto delle armature (c.a.) 6) verifiche

PROGETTO DEGLI ELEMENTI STRUTTURALI

La TRAVE

M

⁺_max

M

⁺_max

M

⁺_max

M

⁺_max

M

^-_max

M

^-_max

M

^-_max

Combinazioni di carico per schema ad H

M

⁺_max

M

⁺_max

M

^-_max

M

^-_max

M

^-_max

M

⁺_max

M

⁺_max

Combinazioni di carico per schema a

trave continua

Alcune considerazioni in presenza di simmetria (come nel caso in esame)

M⁺₂₃ = M⁺₃₄

M^-₂ = M^-₄ M⁺₁₂ = M⁺₄₅

Asse di simmetria

Incremento da normativa per la verifica delle armature

longitudinali in presenza di sollecitazioni taglianti

Incremento momento in campata (da applicare se non si considerano i due schemi limite o se non si fanno tutti i caricamenti...)

Asse di simmetria

1) Analisi dei carichi unitari 2) Schema statico

3) Schema di carico 4) Sollecitazioni

5) Progetto delle armature (c.a.) 6) verifiche

PROGETTO DEGLI ELEMENTI STRUTTURALI

La TRAVE

a) Armatura Longitudinale

b) Armatura Trasversale

Nota preliminare

A differenza del solaio, in una trave sono sempre presenti, sia superiormente che inferiormente un numero di barre (anche dette “reggi-staffe”) pari a quello dei bracci delle staffe che si impiegano.

Numero di bracci: 2

Numero di barre superiori: 2 (1 per spigolo) Numero di barre inferiori: 2 (1 per spigolo)

Trave alta

Trave a spessore

Numero di bracci: 4

Numero di barre superiori: 4 Numero di barre inferiori: 4 Bracci

Bracci

32

Caratteristiche dei materiali

§ Tab. 4.1.I DM 17/01/2018

R

_ck

=40 N/mm

²

, f

_ck

=32 N/mm

²

f

_cd

= 

_cc

f

_ck

/ 

_c

= 0.85· 32 /1.5 = 18.8 N/mm

²

=1917036 daN/m

²

Acciaio B450C

f

_yd

= 450/1.15 = 391 N/mm

²



_yd

= f

_yd

/E = 391/2100000 = 0.186%

FLESSIONE SEMPLICE RETTA: Sezione rettangolare a semplice armatura

PROGETTO CONDIZIONATO

 = 0.416 k = 0.81

Progetto condizionato Noti

M

_Sd,

b

e

d

Dalla (2), con M_Rd=M_Sd si ricava x Dalla (1) si ricava s (deve essere > ^yd)

Dalla (3) si ricava A_s

( )

( _{1 0 . 416} ) ₍₃₎

416 (2) .

0 1

(1)

2 2

x r

x x

k



 x 

-

=

-

=

= +

b d f

M

bd f

M

yd rd

cd rd

s cu

cu

FLESSIONE SEMPLICE RETTA: Sezione rettangolare a semplice armatura

PROGETTO CONDIZIONATO

34

bd A^s

r = percentuale geometrica di armatura

bd f² cd 1.0 0.5 ^{0.1 0.1}

M

= 20%

= 100%

= 80%

= 60%

= 40%

m_rd =











d

 _{= 0.10}

B450C

= 391 N/mm² f_yd

x/d

rd

= 0

0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3

0.1 0.2

fcd

bd

1.0

0.5  ^{= As fyd}

= 0

= 100%

= 80%

= 60%

= 40%

= 20%

II III IV

b

M

2

M

2

= 40%

= 100%

= 80%

= 60%

rd =

m bd

rd =

m bd







f

rd cd

f

rd cd

= 20% = 0 x/d

0.2

0.1

0.1

0.2 0.15 0.05

0.15

0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0

= 60%

= 80%

= 100%







0.3

0.2

0.1

= ^s f A f_yd



bd cd

= ^s f A f_yd



bd cd

= 0

= 20%



= 40%

= 80%

= 100%

= 60%

0.1 0.2

0.05 0.15

0.5 0.4

0.3 0.2

0.1

II

^a

II

^a'

= 100%





= 80%

= 60%

II

a a' b

= 40%

 s

A^'s=

A_s A

d x



0.5

= 0 x/d



= 20%

0.4 0.6

= 0

= 20%

= 40%

III IV

FLESSIONE RETTA

PROGETTO CONDIZIONATO

 A

_s

2^Sd

0.251

Rd

cd

m M

= bd f =

Come controllo dei calcoli fatti a “mano”...

m_rd = M_rd (=M_sd) / (b d² f_cd)

 = (A_s f_yd) / (bd f_cd)

A

_s

A

s, commerciale

FLESSIONE RETTA – Sezione rettangolare doppia armatura

PROGETTO CONDIZIONATO mediante l’uso di tabelle

Progetto condizionato: dati M_Sd b h R_ck B450C determinare x (quindi x) , A_s

B 300 mm h 500 mm

 71 mm d 429 mm

Geometria sezione

M_Sd 122500 N m

Momento massimo in campata AB

(C32/40) R_ck 40 N/mm² f_cd 18.8 N/mm² (B450C) f_yk 450 N/mm² f_yd 391.3 N/mm²

Materiali

Esempio: Progetto condizionato in corrispondenza della sezione più sollecitata della campata 1-2

1 2

s

A^'s= 

A_s A

d x



b

d = h -  = 500-71 = 429mm

copriferro di calcolo COPRIFERRO staffa

 = 50+10+22/2 = 71mm

Camp. 1-2 M_Sd = 122500Nm; Rd ₂^{Sd 0.251} cd

m M

= bd f = _{0.118; 0.1295;}A_s =bdf_cd / f_yd =0.2752x900x250x15.78/391=24.98_{8,00 cm}² cm²

App. 3 M_Sd = 152610Nm; Rd ₂^{Sd 0.251} cd

m M

= bd f = _{0.147; 0.1619;} A_s =bdf_cd / f_yd =_{10.01 cm}0.2752x900x250x15.78/391=24.98² cm² App.1 M_Sd = 105100Nm; _{Rd 2}^{Sd 0.251}

cd

m M

= bd f =_{0.101; 0.1133;} A_s =bdf_cd / f_yd =_{7.00 cm}0.2752x900x250x15.78/391=24.98² cm²

Camp. 2-3 M_Sd = 91800Nm; Rd ₂^{Sd 0.251} cd

m M

= bd f = _{0.088; 0.0971;} A_s =bdf_cd / f_yd =_{6,00 cm}0.2752x900x250x15.78/391=24.98² cm² App. 2 M_Sd = 168650Nm; Rd ₂^{Sd 0.251}

cd

m M

= bd f = _{0.162; 0.1836;} A_s =bdf_cd / f_yd =_{11.35 cm}0.2752x900x250x15.78/391=24.98² cm²

Uso della tabella

1 2 3

_max =

0.1067;

m_Rd,max=

0.1209;

m_Rd,max=

0.1663;

m_Rd,max=

0.0923;

m_Rd,max=

0.1484;

m_Rd,max=

_max =

_max =

_max =

_max =

Progetto delle armature: schema riassuntivo dei risultati

A =8.00 cm² A =7.00 cm²

A =11.35 cm²

A =6.00 cm²

A =10.01 cm²

2F22 = 7.60cm² 3F22 = 11.40cm²

3F22 = 11.40cm²

3F22 = 11.40cm² 2F22 = 7.60cm²

4F16 = 8.03cm²

4F16 = 8.03cm² 4F16 = 8.03cm²

6F16 = 12.05cm²

5F16 = 10.05cm² 3F18 = 7.63cm²

3F18 = 7.63cm² 4F18 = 10.17cm²

4F18 = 10.17cm² 5F18 = 12.71cm²

D.M. Infrastrutture 17 gennaio 2018 – Norme tecniche per le costruzioni

§ 4.1.6.1.1 – Dettagli costruttivi: armatura delle travi

Progetto delle armature: schema riassuntivo dei risultati

A =8.00 cm²

A =7.00 cm² A =11.35 cm²

A =6.00 cm²

A =10.01 cm²

2F22 = 7.60cm² 3F22 = 11.40cm²

3F22 = 11.40cm² 3F22 = 11.40cm² 2F22 = 7.60cm²

A_s,min = max (0,26 f_ctm· b_t · d / f_yk ; 0,0013 b_t · d) f_ctm = 0,30 f_ck^2/3 per classi  C50/60

Classe 32/40 → f_ck = 32 N/mm² f_ctm = 0,30 ·32^2/3 = 3,02 N/mm²

A_s,min = max (0,26·3,02·300·429/450 = 224,5 mm² (=2,25cm²); 0,0013 b_t·d (= 1,673cm²) A_s,max = 0,04 A_c = 0,04 · 300 · 500 = 6000 mm² (=60 cm²)

Le quantità di armatura sono nei limiti prescritti dal D.M. 17/01/2018

bd f² cd 1.0 0.5 ^{0.1 0.1}

M

= 20%

= 100%

= 80%

= 60%

= 40%

m_rd =











d

 _{= 0.10}

B450C

= 391 N/mm² f_yd

x/d

rd

= 0

0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3

0.1 0.2

fcd

bd

1.0

0.5  ^{= As fyd}

= 0

= 100%

= 80%

= 60%

= 40%

= 20%

II III IV

b

M

2

M

2

= 40%

= 100%

= 80%

= 60%

rd =

m bd

rd =

m bd







f

rd cd

f

rd cd

= 20% = 0 x/d

0.2

0.1

0.1

0.2 0.15 0.05

0.15

0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0

= 60%

= 80%

= 100%







0.3

0.2

0.1

= ^s f A f_yd



bd cd

= ^s f A f_yd



bd cd

= 0

= 20%



= 40%

= 80%

= 100%

= 60%

0.1 0.2

0.05 0.15

0.5 0.4

0.3 0.2

0.1

II

^a

II

^a'

= 100%





= 80%

= 60%

II

a a' b

= 40%

 s

A^'s=

A_s A

d x



0.5

= 0 x/d



= 20%

0.4 0.6

= 0

= 20%

= 40%

III IV

FLESSIONE RETTA

VERIFICA

 A

s,commerciale

cd rd

rd

bd f

m = M

₂

M

_Sd

 M

_Rd

La verifica è soddisfatta se:

Come controllo dei calcoli fatti a “mano”...

Camp. 1-2 A_S,com= 11.40cm²

App. 3 A_S,com= 11.40cm² App. 1 A_S,com= 7.60cm²

Camp. 2-3 A_S,com= 7.60cm² App. 2 A_S,com= 11.40cm²

s yd cd

A f

= bd f = 0.122;

s yd cd

A f

 =bd f = 0.187;

s yd cd

A f

= bd f = 0.187;

s yd cd

A f

 =bd f = 0.122;

s yd cd

A f

= bd f = 0.187;

= 0.1165;

= 0.1692;

= 0.1692;

= 0.1165;

= 0.1692;

M_Rd = m_Rd bd ²f_cd =120925 Nm >105100 Nm

M_Rd = m_Rd bd ²f_cd =175628 Nm >122500 Nm M_Rd = m_Rd bd ²f_cd =175628 Nm >122500 Nm

M_Rd = m_Rd bd ²f_cd =120925 Nm >105100 Nm M_Rd = m_Rd bd ²f_cd =175628 Nm >122500 Nm

M_Sd M_Rd

mediante interpolazione

m_Rd

m_Rd m_Rd

m_Rd

m_Rd

Verifica con l’uso della tabella

Per tutte le sezioni significative la verifica è soddisfatta.

Verifica Calcoli con VCA SLU

App. 1 A_S,com= 7.60cm^{2 s yd}

cd

A f

 = bd f = 0.122; = 0.1165; M_Rd = m_Rd bd ²f_cd =120925 Nm

Verifica Calcoli con VCA SLU

Camp. 1-2 A_S,com = 11.40cm^{2 s yd}

cd

A f

= bd f = 0.187; = 0.1692; M_Rd = m_Rd bd ²f_cd =175628 Nm

Costruzione della distinta armature

390 390 390 390

105.1

122.5

168.5

91.8

152.6 0

100 50 150 200

100 50

150 200

100 100 100 30

30

322: MR=175.6 222: MR=120.9 322: MR=175.6 222: MR=120.9

390 390 390 390 105.1

122.5

168.5

91.8

152.6 0

100 50 150 200

100 50

150 200

100 100 100 30

30

322: MR=175.6 222: MR=120.9 322: MR=175.6 222: MR=120.9

322 222

222 322

222

222 222

222

222

122 122 122

390 390 390 390 105.1

122.5

168.5

91.8

152.6 0

100 50 150 200

100 50

150 200

100 100 100 30

30

322: MR=175.6 222: MR=120.9 322: MR=175.6 222: MR=120.9

322 222

222 322

222

222 222

222

222

122 122 122

La

La

La La

La La

La La

La

La La La

La La La

La La

La

La La

390 390 390 390

105.1

122.5

168.5

91.8

152.6 0

100 50 150 200

100 50

150 200

100 100 100 30

30

322: MR=175.6 222: MR=120.9 322: MR=175.6 222: MR=120.9

322 222

222

322 222 222

122 ^{La La} 122 ^{La La} 122 ^La

La

La

La La

La La

La

La

In alternativa con riduzione delle sezioni di interruzione

❑ In ogni sezione devono essere garantiti minimo 4 ferri (1 per ogni spigolo).

❑ La lunghezza massima della singola barra non deve superare i 12m.

❑ La sovrapposizione delle barre inferiori è consigliata in corrispondenza degli appoggi (zona compressa – fibre tese: superiori).

❑ La sovrapposizione delle barre superiori è consigliata in corrispondenza della mezzeria della campata (zona compressa – fibre tese: inferiori).

❑ La lunghezza di sovrapposizione, per barre ad aderenza migliorata, si può fissare in maniera approssimata pari a 40 volte il diametro della barra in zona tesa, e 20 volte in zona compressa.

❑ La distanza mutua (interferro) nella sovrapposizione non deve superare 4 volte il diametro della barra (§ 4.1.6.1.4)

Distinta armature

Disposizione delle armature longitudinali: confronto tra approcci diversi

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