SUL PROCESSO DI EFFLUSSO DA UNA GRIGLIAACCLIVE CON BARRE LONGITUDINALI

IntroduzIone

Come è noto, le briglie aperte o filtranti, diffuse fin dagli inizi degli anni ’50 nella sistemazione del tratto montano dei corsi d’acqua (Ferro, 2006), si differenziano da quelle convenzionali perché presentano un vano nel corpo centrale del manufatto. L’impiego di una briglia aperta consente di effettuare un arresto non indiscriminato del materiale solido trasportato dalla corrente, dato che questo manufatto può essere dimensionato in maniera da esercitare, mediante un opportuno rallentamento della corrente a monte dell’opera, una azione di selezione granulometrica.

Nella briglia selettiva a reticolo il vano centrale interessa tutto il corpo dell’opera, raggiunge la base della stessa, e contiene una griglia posizionata su un piano generalmente inclinato rispetto all’orizzontale (d^ragogna, 1967), (PuglIsI, 1968; 1972), (Ferro e FerrerI, 1988), (Ferro, 1988).

Costruttivamente la griglia si può realizzare utilizzando dei profilati metallici (ad es. con sezione a T) che possono essere disposti longitudinalmente o trasversalmente rispetto alla direzione della corrente.

Nel 1952 Genet brevettò un nuovo tipo di briglia filtrante (genet, 1953), mostrata in Fig. 1 in una sua recente realizzazione ad opera dell’Azienda Speciale di Sistemazione Montana della Provincia di Trento (gorFer, 1991) che presenta una griglia inclinata verso valle ammorsata nelle ali del manufatto.

Qualunque sia la configurazione geometrica della griglia adottata, la briglia a reticolo per conseguire gli scopi della sistemazione deve determinare un rallentamento della corrente a monte del manufatto e, pertanto, il processo di efflusso che si realizza attraverso la griglia acclive è quello determinato da una corrente lenta in moto permanente sulla griglia e con portata decrescente lungo il percorso. Il suddetto processo di efflusso è stato oggetto di studi a

– L’Italia Forestale e Montana / Italian Journal of Forest and Mountain Environments 67 (4): 337-345, 2012 © 2012 Accademia Italiana di Scienze Forestali doi: 10.4129/ifm.2012.4.03

Il processo di efflusso da una griglia acclive con barre longitudinali, di notevole interesse per le applicazioni pratiche, viene studiato applicando l’analisi dimensionale e la teoria dell’autosimilitudine incompleta.

La nuova scala teorica di efflusso dedotta viene verificata facendo ricorso ad una apposita sperimentazione di laboratorio.

Parole chiave: briglie; griglie; analisi dimensionale; autosimilitudine.

Key words: check dams; grids; dimensional analysis; self-similarity.

Citazione – dI steFano C., Ferro V., 2012 – Sul processo di efflusso da una griglia acclive con barre longitudinali. L’Italia Forestale e Montana, 67 (4): 337-345. http://dx.doi.org/10.4129/ifm.2012.4.03

COSTANZA DI STEFANO (*) - VITO FERRO (**) (°)

SUL PROCESSO DI EFFLUSSO DA UNA GRIGLIA ACCLIVE CON BARRE LONGITUDINALI

(*) Ricercatore; Dipartimento dei Sistemi Agro-Ambientali, Facoltà di Agraria, Università di Palermo, Viale delle Scienze, 90128 Palermo.

(**) Professore Ordinario di “Sistemazioni Idraulico-Forestali”; Dipartimento dei Sistemi Agro-Ambientali, Facoltà di Agraria, Università di Palermo, Viale delle Scienze, 90128 Palermo.

(°) Autore corrispondente; vito.ferro@unipa.it

carattere sia teorico sia sperimentale (BouVard, 1953), (orth et al., 1954), (noseda, 1956a, b), (QuIgnones, 1964; 1965), (Ferro, 1988). In particolare QuIgnones (1964) ha esaminato il caso di una griglia acclive inclinata di un angolo a rispetto al piano orizzontale, avente una larghezza B e caratterizzata un rapporto y tra la larghezza a delle fessure, tra le barre che la costituiscono, e l’interasse a+b tra due fessure, essendo b la larghezza di una barra (Fig. 2).

Fig. 1 – Briglia Genet (gorFer, 1991).

Fig. 2 – Schema di griglia acclive.

Nel caso di corrente lente in arrivo sulla griglia, il profilo di corrente sulla griglia è rettilineo e risponde alla seguente equazione:

2 (1)

1 + ν α

=

−

in cui h indica il tirante idrico misurato in verticale, x l’ascissa della sezione misurata lungo il piano della griglia, e_o il carico totale della corrente rispetto al fondo della sezione di incile della griglia (x = 0) e n un coefficiente che dipende dalle caratteristiche idrauliche (coefficiente di efflusso) e geometriche (inclinazione a e rapporto y) del manufatto.

Se indichiamo con h_o il tirante idrico nella sezione di incile (x = 0) della griglia, dalla (1) si deduce:

( )

1 2

o o

o g B h

h Q h

= + ν

+

in cui Q è la portata.

Dalla (2), con semplici passaggi, si perviene alla seguente espressione della scala di efflusso della griglia acclive:

( ) ²

2

o gh g Bh

h B

Q

= ν = ν

Elevando a ²/₃ ambo i membri della (3) si ottiene:

( )

/ h

g B

Q2 3 2

2 ν

/₃

=

2 ¹/₃

/₃

1

Poiché il primo membro della (4) è l’altezza critica di una corrente in moto in un canale a sezione rettangolare di larghezza B, la (4) può essere riscritta:

( )

h_o

⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎣

⎡ ν

= 2

1

e quindi

B (6) n K B h_o =

in cui n è un coefficiente che dipende dalle ca- ratteristiche idrauliche (coefficiente di efflusso) e geometriche (inclinazione a e rapporto y) del manufatto.

La (6) è ancora la scala di efflusso di una gri- glia acclive di note caratteristiche idrauliche e geometriche e nel piano cartesiano (h_o/B, K/B) è rappresentata da una retta passante per l’ori- gine.

Nel seguito della presente memoria sarà inizialmente dimostrato che la scala di efflusso (5) può essere derivata teoricamente applicando l’analisi dimensionale e la teoria dell’autosimilitudine incompleta.

Utilizzando, poi, i risultati di una apposita

sperimentazione di laboratorio, sarà determi- nato il coefficiente n per griglie aventi diffe- rente inclinazione e rapporto y.

deduzIoneteorICadellasCala dIeFFlussodIunagrIglIaaCClIVe ConBarrelongItudInalI

Il processo di efflusso da una griglia acclive può essere espresso mediante il seguente legame funzionale:

)

(

µ

ρ

α = 0 φ

in cui φ è un simbolo funzionale, m è la viscosità del liquido e r la sua densità.

Poiché la relazione funzionale (7) rappre- senta un fenomeno fisico che non dipende dalle unità di misura utilizzate per le nove grandezze che in essa figurano, lo stesso legame può es- sere espresso facendo ricorso al P-Teorema, o teorema di Riabucinski-Buckigham, dell’analisi dimensionale (B^arenBlatt, 1979; 1987) che stabilisce: Se un processo fisico è rappresentato matematicamente da un legame funzionale in cui figurano n grandezze dimensionali, scelte tra esse k grandezze dimensionalmente indipendenti, lo stesso processo può essere rappresentato da un legame funzionale in cui compaiono n-k raggrup- pamenti adimensionali.

L’applicazione del P-teorema consente di esprimere la (7) facendo ricorso a sei raggrup- pamenti adimensionali P₁, P₂, P₃, P₄, P₅, P₆:

(

)

1

= φ Π Π Π Π Π

Π

, , , ,

in cui si è indicato con φ₁ un simbolo funzionale.

In particolare, utilizzando come grandezze dimensionalmente indipendenti B, g e r, il raggruppamento P₁ è individuato dalla seguente relazione:

o (9) h g B^{α β}

ρ

Π

=

in cui a, b e g sono costanti numeriche. Sosti- tuendo nell’eq. (9) le unità di misura di ciascuna variabile si perviene alla seguente relazione:

L (10) L T F T L

L^{α β − β γ γ − γ}

=

Π

in cui F è il simbolo della grandezza fisica forza, T è il tempo e L è la lunghezza.

Poiché il raggruppamento P₁ è adimensionale, i valori numerici delle costanti a, b e g sono deducibili risolvendo il seguente sistema di tre equazioni che deriva dalla (10):

1 4 0 = α + β − γ +

γ + β

−

= 2 2

0 0 = γ

La terna a = -1, b = 0 e g = 0, soluzione del sistema di equazioni (11), permette di stabilire che il raggruppamento P₁ ha la seguente espressione:

B

h

Π

=

Ripetendo la procedura per i raggruppamenti P2, P3, P4, P5, P6 si ottengono le seguenti espressioni:

ρ

= µ Π

g B

B

=

Π

B

=

Π

Π

=

1/2 3/2

52 12

2 g / B /

=

Π

α Dall’equazione (13) si ottiene:

B (18) K B

g

Q

=

Π

=

1/3 2/3

5/3

Combinando la (13) e la (14) si perviene alla seguente relazione:

(19) B Re

Q g

B

B g

, Q

µ =

= ρ µ

Π =

= Π

Π

3 2

2 1/2 ⁵/₂

3/2 ¹/₂

ρ

(11a) (11b) (11c)

(13)

(14)

(15)

(16) (17)

avendo indicato con Re il numero di Reynolds della corrente.

Combinando la (15) e la (16) si perviene alla seguente relazione:

ψ

+ =

Π = Π Π +

Π =

a

,

5 4 5 4 4

Tenuto conto che alcuni raggruppamenti sono stati combinati per pervenire a variabili adimensionali usualmente utilizzate in idraulica, la relazione funzionale (8) può essere riscritta facendo ricorso ad un numero minore, pari a cinque, di gruppi adimensionali:

(

)

1

= Π Π Π Π

Π

,

Introducendo nella (21) l’espressione di ciascun raggruppamento adimensionale, la relazione funzionale può essere riscritta nella seguente forma:

⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ ψ α

= ,

,

f K B h_o

Per una griglia di nota inclinazione (i.e. fissato valore dell’angolo a) e di fissata geometria delle fessure (i.e. y è assegnato) considerando trascurabile, come di norma viene fatto nel caso dei processi di efflusso, l’influenza del numero di Reynolds, il legame funzionale (22) diventa:

(23)

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

=

⎛

Il legame funzionale (23) rappresenta, pertanto, la scala di efflusso di una griglia acclive di noti a e y.

La determinazione dell’esatta forma funzionale della (23) deriva dall’applicazione della teoria della autosimilitudine incompleta (BarenBlatt, 1979, 1987), (Ferro, 1997).

Un fenomeno fisico è definito autosimile in un dato raggruppamento adimensionale P_n quando la relazione funzionale che lo rappresenta P₁ = φ (P₂, P₃, ..., P_n) è indipendente da P_n. Le soluzioni auto-simili di un problema devono essere ricercate in corrispondenza delle condizioni al contorno; in altri termini il comportamento della funzione φ

deve essere studiato per P_n → 0 o per P_n → ∞.

Quando la funzione φ tende ad un limite finito e diverso da zero, il fenomeno fisico, che non è influenzato dal raggruppamento P_n, è espresso dal legame funzionale P₁ = φ (P₂, P₃, ..., P_n–₁) e la condizione di auto- similitudine è denominata completa in un dato raggruppamento adimensionale P_n.

Quando la funzione φ ha un limite uguale a zero o ad infinito, il fenomeno fisico è espresso dalla seguente relazione funzionale:

)

(

=

φ , .. .. .. .. ,.

Π Π

Π

, Π

Π

in cui si è indicato con e una costante nu- merica. La condizione rappresentata dal legame funzionale (24) è denominata auto- similitudine incompleta nel raggruppamento P_n (BarenBlatt, 1979, 1987).

Poiché quando K/B → 0 anche h_o/B → 0 e quando K/B → ∞ anche ho/B → ∞ si realizza una condizione di auto-similitudine incompleta e il legame funzionale (24) assume la seguente forma matematica (Ferro, 1997):

m (25)

o

B n K B

h

⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

=

⎛

con n e m costanti numeriche da determinare sperimentalmente [Ferro, 2000].

La (25) rappresenta, ovviamente, una generalizzazione della (6) che si ottiene nel caso particolare m = 1.

InstallazIonesPerImentale

Le esperienze sono state condotte disponendo una griglia nella sezione intermedia di una canaletta, a sezione quadrata (0,4 x 0,4 m²), costituita di un primo tratto in legno lungo 3,6 m e di un secondo tratto in perspex lungo 2 m (Fig. 3).

La griglia (Fig. 4) è costituita da una struttura a cornice a cui dei profilati a T di alluminio, larghi 2 cm, sono stati fissati con delle viti, con possibilità, quindi, di modificare l’interasse tra le barre. Essa è stata collegata al fondo di una sezione del tronco in perspex mediante una cerniera che le consente di assumere una

qualsiasi inclinazione compresa tra 45° e 90°

rispetto al piano orizzontale di fondo.

La variabilità del parametro y, essendo unico il telaio per tutte le griglie, è stata assicurata, ovviamente, variando il numero delle barre avvitate nel telaio stesso.

I tiranti idrici nella sezione di incile della griglia sono stati misurati dall’alto mediante un idrometro munito di asta con nonio con lettura al decimo di millimetro.

Le portate sono state misurate mediante il diaframma normalizzato inserito nella condotta di alimentazione della canaletta e per

le portate minori è stato effettuato un controllo volumetrico.

Le esperienze sono state condotte assumendo per il parametro y dodici valori, compresi tra 0,1579 e 0,7368, per l’angolo di inclinazione a i cinque valori 45°, 60°, 70°, 80° e 90° e con portate variabili tra 5 e 22 l s^-1.

La corrente in arrivo alla griglia risultava sempre lenta in tutte le prove sperimentali e presentava nella sezione di incile un numero di Froude variabile da 0,11 e 0,59, in relazione all’angolo di inclinazione della griglia e ai valori del parametro y.

Fig. 3 – Pianta e sezione longitudinale dell’installazione sperimentale.

Fig. 4 – Vista del processo di efflusso dalla griglia acclive.

rIsultatIdelleVerIFIChesPerImentalI

La scala di efflusso di eq. (25) è stata verifi- cata per ciascuna griglia di noto valore del pa- rametro y, utilizzando le coppie sperimentali (Q, h_o) misurate in corrispondenza al valore dell’angolo di inclinazione a.

La Fig. 5 mostra, a titolo di esempio per due valori di a (45°e 90°) e tre valori del parametro y (0,1579, 0,4210 e 0,7368) il confronto tra le coppie sperimentali (K/B, h_o/B) e la (25). L’a- nalisi ha evidenziato che il parametro m, in ac-

cordo anche con lo studio teorico di Quignones (vedi eq. 6), può essere assunto unitario men- tre il parametro n, per fissato angolo di inclina- zione a, risulta dipendente da y in accordo alla seguente relazione:

(26) c1

c

n = ψ

con c_o e c₁ costanti numeriche che assumono valori differenti al variare dell’angolo di incli- nazione.

La Fig. 6 mostra, a titolo di esempio per tre valori di a (90°, 60° e 45°), il confronto Fig.5

y = 4,2283x R² = 0,9986

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8

0 0,05 0,1 0,15 0,2

K/B ho/B

ψ = 0.1578 α = 90°

y = 3,2739x R² = 0,9983

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6

0 0,05 0,1 0,15 0,2

K/B

ho/B

ψ = 0.1578 α = 45°

y = 2,425x R² = 0,9989

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45

0 0,05 0,1 0,15 0,2

K/B

ho/B

ψ = 0.4210 α = 90°

y = 1,6738x R² = 0,9986

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3

0 0,05 0,1 0,15 0,2

K/B

ho/B

ψ = 0.7368 α = 90°

y = 1,9168x R² = 0,9912

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35

0 0,05 0,1 0,15 0,2

K/B

ho/B

ψ = 0.4210 α = 45°

y = 1,4252x R² = 0,9984

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3

0 0,05 0,1 0,15 0,2

K/B

ho/B

ψ = 0.7368 α = 45°

Fig. 5 – Confronto tra le coppie (K/B, h_o/B) e la scala di efflusso (25).

(27) c1

o o

B c K B

h

⎟ ψ

⎠

⎜ ⎞

⎝

=

⎛

in cui i coefficienti c_o e c₁ possono essere stimati, in funzione dell’angolo a, con le seguenti equazioni (Fig. 7):

( sin )

3829 ,

0 α

−

( sin )

0704 ,

0 α

+

o

0 , 4760 1 , 2014 sin

c ^{= +} α ⁻

1

0 , 4181 0 , 2322 sin

c ^{= − −} α ⁺

In conclusione le verifiche sperimentali condotte con griglie acclivi di differente geometria, al variare del parametro y, hanno confermato l’applicabilità della scala di efflusso (27) dedotta teoricamente mediante l’analisi dimensionale e la teoria dell’autosimilitudine incompleta.

y = 1,4161x^-0,6099 R² = 0,9975 0

0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5

0 0,2 0,4 0,6 0,8

ψ

n

90°

y = 1,3056x^-0,5845 R² = 0,9985 0

0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5

0 0,2 0,4 0,6 0,8

ψ

n

60°

y = 1,186x^-0,5568 R² = 0,9991 0

0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5

0 0,2 0,4 0,6 0,8

ψ

n

45°

Fig. 6 – Relazione tra il parametro n ed il raggruppamento y per tre valori di a.

tra i valori sperimentali del parametro n e del raggruppamento y e relazione (26).

La (26) dimostra che anche rispetto al raggruppamento y si stabilisce una condizione di auto similitudine incompleta e, pertanto, la scala di efflusso (25) di una griglia acclive può essere così riscritta:

y = -0,3829x² + 1,2014x + 0,476 R² = 0,9965 1

1,1 1,2 1,3 1,4 1,5

0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8

sin co

y = 0,0704x² - 0,2322x - 0,4181 R² = 0,9978 -0,7

-0,65 -0,6 -0,55 -0,5

0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8

sin c1

α

α

Fig. 7 – Relazioni per la stima dei coefficienti c_o e c₁ della (27).

(28a)

(28b)

ConsIderazIonIConClusIVe

Lo studio del processo di efflusso di una corrente attraverso una luce aperta nella parete di un manufatto è un problema classico di idraulica che riveste un notevole interesse applicativo.

La sua conoscenza, ed una sua rigorosa impostazione analitica, si rivela utile per le applicazioni in campo sistematorio connesse al dimensionamento idraulico delle luci praticate nel corpo delle briglie aperte.

Nella memoria sono state, inizialmente, richiamate le conclusioni degli studi teorici di Quignones pervenendo ad una semplice espressione adimensionale della scala di efflussso.

L’applicazione dell’analisi dimensionale e della teoria della autosimilitudine incompleta ha consentito, poi, di dedurre, per via teorica, la scala di efflusso da una griglia acclive con barre longitudinali di cui la precedente equazione, dedotta a partire dagli studi di Quignones, costituisce un caso particolare.

La nuova scala teorica di efflusso è stata, infine, verificata facendo ricorso ad una apposita sperimentazione di laboratorio.

SUMMARY

A new solution of the stage-discharge relationship for a sloping grid

In this paper, the outflow process of a sloping grid is studied using the dimensional analysis and the incomplete self-similarity theory.

The new stage-discharge is theoretically deduced and its testing is carried out using measurements obtained by laboratory runs carried out in this investigation.

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