(b) MODELLO DEL MOTORE

(b)

MODELLO DEL MOTORE

Il motore azionato Il motore da azionare è un Control Techniques Matador DCM 6C 30/14, un motore in corrente continua a magneti permanenti e collettore con spazzole. E’ costituito da uno statore con dei magneti permanenti che formano un campo magnetico costante a 4 poli, e da un rotore avvolto, detto circuito di armatura. Il motore può azionare, tramite l’albero del rotore, carichi meccanici accoppiati direttamente oppure tramite motoriduttori. Nel nostro caso, la destinazione d’uso dell’azionamento sarà per fini esclusivamente didattici dimostrativi, e quindi il motore sarà azionato a vuoto meccanico.

Il motore in continua oggetto dell’azionamento è costituito da uno statore su cui sono installati i magneti permanenti, che generano il flusso statorico. Nel modello che andiamo a rappresentare tale flusso è supposto costante al variare della temperatura ed al variare del flusso di reazione generato dalla corrente di armatura.

Il rotore della macchina ospita l’avvolgimento di armatura, che, alimentato attraverso il collettore a spazzole, è attraversato dalla corrente di armatura. L’interazione tra il campo statorico la corrente di armatura genera una coppia mozionale che trascina il rotore della macchina, al quale l’avvolgimento di armatura è ancorato meccanicamente. All’aumentare della velocità, per effetto del movimento delle spire immerse nel campo statorico, il circuito di armatura presenta ai suoi capi una forza controelettromotrice, così definita perché ha verso opposto alla tensione di alimentazione ai morsetti. Una volta acquistata velocità, il circuito di armatura è quindi soggetto, di fatto, non più alla tensione di alimentazione, ma alla

differenza tra questa e la forza controelettromotrice.

Il modello del motore è realizzato tenendo conto delle seguenti approssimazioni:

• Flusso costante. Si ipotizza che i magneti permanenti sullo statore non siano influenzati dalla temperatura e si trascura l’effetto della reazione di armatura, cioè del campo magnetico generato dalle spire di corrente del circuito di armatura che va a combinarsi con il campo magnetico di statore.

• Parametri di macchina indipendenti

dalla temperatura. La temperatura ha

effetto sia sul comportamento dei magneti permanenti, sia sul valore della resistenza del circuito di armatura. Si fa riferimento al valore a 25°C.

• Coppia elastica nulla. Durante le accelerazione angolari del rotore, le parti di quest’ultimo situate a distanze diverse rispetto al baricentro vengono sollecitate

da un momento che è funzione del raggio, accumulando un’energia elastica che viene poi in buona parte rilasciata quando è terminata l’accelerazione. Tale energia è sottratta alla potenza motrice complessiva fornita al rotore, e può essere rappresentata tramite una coppia resistente aggiuntiva presente soltanto durante le accelerazioni. Questo effetto è ritenuto trascurabile.

Il modello del motore, a parte il calcolo dell’entità delle perdite (trattato a parte), può essere ridotto allora a quattro equazioni:

• Equazione elettrica del circuito di armatura:

dt

dIa

La

Ia

Ra

E

Va

−

=

⋅

+

⋅

• Equazione della forza controelettromotrice:

Ω

⋅

Φ

⋅

= Ke

E

Cp

Cr

C

dt

d

J

⋅

Ω

=

−

−

Ia

Ki

C

=

⋅

Φ

⋅

La notazione delle grandezze è in carattere maiuscolo non perché siano grandezze elettriche a regime ma per differenziarle dalle grandezze espresse in “per unit”. Per la trasformazione in “per unit” sono adottate

come grandezze di riferimento le caratteristiche nominali del motore, come riportate nel capitolo precedente. Il flusso non è riportato in quanto, essendo costante, è supposto sempre uguale al valore nominale, quindi in “per unit” ha sempre valore unitario. Quindi non c’è necessità di determinarlo.

Per trasformare l’equazioni da valori assoluti a “per unit” c’è bisogno di applicare le seguenti trasformazioni, dove le grandezze con il pedice “n” si intendono nominali:

En

Va

v

=

In

Ia

i

=

En

E

e

=

Vn

In

Ra

r

=

⋅

n

Ω

Ω

=

Cn

C

c

=

La costante di tensione Ke è pari a 40V/Krpm, che trasformata in “per unit” assume il valore di unitario. Infatti: pu V Krpm En n Krpm V Ke 1 120 3 40 40 40 = ⋅Ω = ⋅ = =

La costante di coppia Ki vale 0,39 Nm/A, ma ipotizzando che la potenza meccanica trasferita all’albero sia pari alla potenza elettrica, questa costante assume lo stesso valore della costante di tensione, quindi 1pu.

Le costanti di tensione e di coppia del motore espresse in “per unit” hanno valore unitario: ciò semplifica ulteriormente il modello del motore.Le equazioni del motore in “per unit” diventano allora: •

_dt

di

r

i

r

e

v

−

=

⋅

+

⋅

τ

⋅

e

=

n

c

c

c

dt

dn

−

−

=

⋅

τ

c

=

i

Tramite queste equazioni è possibile ricavarsi un modello del motore costituito da due parti distinte, la parte elettrica del circuito di armatura e la parte meccanica. Questa divisione è necessaria per il fatto che dobbiamo ottenere dalla simulazione anche il valore istantaneo della corrente di armatura, oltre che della velocità. Quindi il modello del motore deve essere costituito da due FDT distinte, la prima che faccia ricavare la corrente di armatura (che è di pari valore “per unit” della coppia motrice) avendo in ingresso la differenza tra tensione di armatura e fcem, la seconda che faccia ottenere la velocità istantanea avendo in ingresso la coppia utile (detta anche accelerante).

Il circuito di armatura Il circuito di armatura può essere schematizzato tramite una funzione di trasferimento ricavata dall’equazione elettrica del circuito di armatura dove si è esplicitata come grandezza di ingresso la differenza tra la tensione di armatura va e la fcem “e” (che è

uguale alla velocità “n”) come grandezza di uscita la corrente di armatura ia.

Si ottiene:

s

Te

r

e

v

i

⋅

+

=

−

1

1

dove quindi il guadagno statico è pari a 14,5, e la costante di tempo elettrica Te, data da La/Ra è pari a 3,7millisecondi.

Il blocco di Simulink che contiene questa FDT restituisce ha in uscita il valore in per unit della corrente di armatura, che per via dell’ipotesi fatta di avere flusso costante e per il valore unitario della costante di coppia corrisponde al valore di coppia motrice.

Parte meccanica Al valore della coppia motrice vengono sottratte la coppia resistente del carico e la coppia resistente dovuta alle perdite, si ottiene quindi la coppia “utile” applicata all’albero, il quale modifica la sua velocità in modo

inversamente proporzionale alla costante meccanica, come esplicitato dall’equazione meccanica sopra riportata.

La FDT della parte meccanica è ricavata quindi dalle ultime due equazioni in “per unit” del motore:

s

c

c

i

n

⋅

=

−

−

τ

1

Dove la costante di tempo meccanica è ricavata dall’espressione: n n m

C

J

⋅

Ω

=

τ

• Cn = 3,5 [Nm] = 3,5/9,81 [Kgf*m]

Quindi il valore della costante di tempo

meccanica Tm è pari a 2,475 secondi.

Calcolo delle perdite Perdite sulla spazzole. Sono di tipo non

ohmico, secondo le norme CEI sono da quantificarsi indipendentemente dal numero di spazzole, ma a seconda del tipo di materiale. Le spazzole in grafite, quale il nostro caso, hanno un valore di perdite definibile come il numero di watt pari a due volte il valore della corrente in ampere, cioè per 9A di assorbimento le spazzole hanno 18W di perdite. Quindi in condizioni nominali, le perdite non ohmiche sulle spazzole rappresentano l’1,6% della potenza totale.

Perdite per attrito. Le perdite per attrito

definiscono la potenza persa per l’attrito dei rulli dei cuscinetti con le superfici di rotolamento. I cuscinetti sorreggono l’albero motore lasciandogli il grado di libertà che ne consente la rotazione. Questo tipo di perdite aumenta rapidamente con l’aumentare della

velocità, fino a raggiungere, al 10% della velocità nominale, un valore di coppia resistente applicata all’albero pari all’1,6% della coppia nominale.

Perdite nel ferro. Questo tipo di perdite è

costituita da due effetti diversi: le correnti parassite e l’isteresi del materiale ferromagnetico. Le correnti parassite sono sostanzialmente proporzionali alla velocità, e costituiscono una coppia resistente dello 0,8% della coppia nominale a 3000rpm. L’effetto dell’isteresi del materiale invece aumenta rapidamente con l’aumentare della velocità, ed a 300rpm ha raggiunto già il valore di 0,8% della coppia nominale, che rimane costante fino alla velocità massima.

Ventilazione. Il rotore in velocità è soggetto

all’attrito dell’aria, ma non essendo dotato di alette di ventilazione la potenza spesa per vincere l’attrito dell’aria è piuttosto bassa. Come noto la potenza spesa da un oggetto in moto per vincere l’attrito offerto dall’aria è proporzionale al cubo della velocità, quindi la coppia resistente equivalente è proporzionale al

quadrato della velocità. Nel caso del motore azionato, in cui il rotore gira in una carcassa chiusa, la perdita totale è stata stimata attorno al 3,3% della coppia nominale a 3000rpm.