1.1 Determinazione della posizione

SISTEMI DI POSIZIONAMENTO SATELLITARI

In questo capitolo sarà data una descrizione generale dei principi di funzionamento del sistema satellitare GPS. I concetti di base sono da ritenersi validi anche per gli altri sistemi di navigazione satellitare e quindi anche per il sistema GALILEO.

1.1 Determinazione della posizione

Esistono due tipi di misure GPS (osservabili): le misure di pseudorange e le misure di fase. Le prime sono usate soprattutto nella navigazione, mentre le seconde in tutte le applicazioni in cui è richiesta una maggiore accuratezza, come ad esempio per scopi topografici o per il controllo delle deformazioni terrestri.

La determinazione della posizione richiede la risoluzione di un sistema non lineare di 4 equazioni indipendenti in 4 incognite. Tali incognite sono:

latitudine;

longitudine;

altitudine;

tempo.

Occorre quindi disporre di 4 segnali, trasmessi da altrettanti satelliti. Bisogna sottolineare che per determinare la posizione non è possibile utilizzare segnali riflessi, ma solo quelli diretti LOS (Light Of Sight).

Conoscendo l’istante di partenza e di arrivo del segnale, possiamo calcolare la distanza ricevitore-satellite, assegnando al segnale la velocità della luce (300000 Km/s). La misura della distanza è affetta da diversi errori, dovuti agli effetti atmosferici sulla velocità di propagazione del segnale, alle imprecisioni dei segnali di clock dei satelliti e ad altri effetti secondari. Per tale ragione, la distanza misurata viene chiamata nel gergo GPS pseudodistanza o pseudorange.

Tale pseudodistanza sarà il raggio di una sfera immaginaria con centro il satellite stesso. Ogni punto della superficie della sfera è una delle possibili posizioni occupate (figura 1.1(a)). Se consideriamo due satelliti distinti e quindi due sfere non concentriche, la posizione verrà a trovarsi sulla circonferenza del cerchio che individua il piano di intersezione delle due sfere perpendicolare alla retta congiungente i due satelliti. (figura 1.1(b)).

Figura 1.1 (a) Posizione localizzata sulla superficie di una sfera; (b) Posizione localizzata sulla circonferenza evidenziata

Se, infine, consideriamo tre diversi satelliti avremo tre diverse sfere. Esse avranno in comune due punti nello spazio tridimensionale, ma dei due punti uno è in genere manifestamente errato e può essere facilmente scartato (figura 1.2).

Figura 1.2 Posizione localizzata su uno dei due punti evidenziati

Tre segnali sono quindi necessari per determinare in modo univoco il punto in cui ci troviamo, mentre il quarto segnale serve perché il ricevitore, in realtà, non dispone di un orologio atomico sincronizzato con quello che si trova sui satelliti.

1.2 Posizionamento assoluto con pseudorange

Lo misura di pseudorange, come già accennato, è una misura della distanza tra satellite ed antenna del ricevitore, riferita alle epoche di trasmissione e ricezione del codice. Il tempo di trasmissione del segnale è misurato correlando i codici PRN (Pseudo Random Noise), generati dal satellite, con quelli generati internamente dal ricevitore (figura 1.3). I segnali del ricevitore sono ricavati dal clock del ricevitore, mentre quelli dei satelliti dal clock dei satelliti.

Esistono comunque degli inevitabili errori negli orologi del ricevitore e del satellite tali che la misura di pseudorange differirà dalla distanza geometrica corrispondente alle epoche di trasmissione e ricezione.

Figura 1.3 Misura del tempo di trasmissione del segnale

Per un dato segnale ricevuto, il ricevitore esegue un confronto fra codice ricevuto ed una sua replica, opportunamente shiftata, allo scopo di stimare il ritardo temporale . Assumendo che il segnale viaggi nel vuoto e che non vi siano sorgenti di errori e bias, allora la misura del ritardo fornirebbe direttamente il tempo impiegato dal segnale a percorrere la distanza fra satellite e ricevitore, cioè il range sarebbe semplicemente la distanza fra satellite e ricevitore ottenuta moltiplicando il tempo di percorrenza per la velocità della luce c.

(

)

S

R =c =c t t (1.1)

dove

( ) (

) (

)

S

R = XR XS + YR YS + ZR ZS è la distanza geometrica satellite- ricevitore;

c è la velocità della luce nel vuoto;

t epoca di arrivo del segnale GPS; 2

t epoca di partenza del segnale GPS. 1

Abbiamo quindi un’equazione di osservazione nella quale compaiono tre incognite (le tre coordinate della stazione) e tre termini noti (le tre coordinate del satellite che si ricavano dalle effemeridi¹) cui se ne aggiunge un quarto misurato

(

)

L’ipotesi di considerare che gli orologi del ricevitore e dei satelliti siano sincronizzati non è realistica. L’orologio del ricevitore: quando questo viene acceso non è in genere sincronizzato al riferimento temporale utilizzato dal sistema GPS. Le misure di range fatte dal ricevitore sono quindi affette dall’offset dell’orologio del ricevitore e, perciò, sono note come pseudorange (un offset di tempo di 1 ms produce un errore nella stima della posizione di circa 300 Km). Quindi si considera l’offset del ricevitore come una incognita aggiuntiva che si va ad aggiungere alle tre incognite relative alle coordinate della posizione dell’antenna del ricevitore.

Anche gli orologi dei satelliti sono in genere affetti da un offset rispetto alla scala dei tempi del GPS; la differenza con quelli dei ricevitori sta nel fatto che questi ritardi, con buona approssimazione, sono considerati noti dal messaggio proveniente dal satellite.

Considerando gli errori sugli orologi, l’equazione di osservazione relativa ad ogni satellite ed ad ogni ricevitore diventa (figura 1.4):

( ) ( ) ( ) ( )

( )

S

R R R S S R S R S

S

R R S

P c T dT T dT c T T c dT dT

c dT dT

= + + = +

= + (1.2)

dove

1Tavole nelle quali sono registrate, a intervalli regolari (ad es. giorno per giorno), le coordinate degli astri;

nel nostro caso si riferiscono ai satelliti artificiali.

S

PR è la misura di pseudorange effettuata dal ricevitore R e satellite S (m);

S

R è la distanza geometrica satellite-ricevitore (m);

c è la velocità della luce nel vuoto (m/sec);

dT è il disallineamento dell’orologio del satellite rispetto al tempo GPS (sec); S

dT è il disallineamento dell’orologio del ricevitore rispetto al tempo GPS R

(sec);

La presenza nell’equazione di osservazione di una quarta incognita, lo scostamento dell’orologio del ricevitore, richiede una quarta osservazione necessaria per risolvere il sistema. Abbiamo quindi bisogno di un quarto satellite che funga da riferimento temporale.

Poiché l’orologio del ricevitore presenta una forte instabilità residua si richiede che le quattro osservazioni siano contemporanee ed è per questo motivo che il sistema GPS deve sempre garantire, in ogni punto della terra, la visibilità contemporanea di almeno 4 satelliti.

Figura 1.4 Confronto temporale tra range e pseudorange

1.3 Errori e biases

Nelle misure di posizionamento con lo pseudorange bisogna tener conto anche della presenza di altri errori e dei biases oltre a quelli già considerati. Questi possono essere riassunti in:

errori dovuti all’hardware presente nel ricevitore e nel satellite;

errori dovuti all’effetto di multipath;

biases dei satelliti;

biases di osservazione.

Il primo tipo dipende dall’errore con cui si realizza l’allineamento del codice generato dal ricevitore con quello proveniente dal satellite; tale errore può essere definito come un rumore elettronico di misura. Nei ricevitori di ultima generazione, grazie al progresso dell’elettronica, l’errore è inferiore al metro per entrambi i codici utilizzati dal GPS.

L’effetto del multipath riguarda i fenomeni di riflessione del segnale giunto al ricevitore. Questi sono provocati dalla presenza di superfici riflettenti in prossimità del ricevitore. La traiettoria del segnale osservato subisce riflessioni multiple e quindi il tragitto percorso non coincide con quello geometrico fra satellite e ricevitore. Ciò causa una sovrastima della distanza che si riflette in un errore nella stima della posizione.

I biases sono errori di modello che possono danneggiare le misure in maniera significativa se non vengono eliminati o ridotti. Questi possono essere distinti in: biases dei satelliti e biases d’osservazione.

I primi sono dovuti all’inesattezza delle effemeridi predette (Broadcast Ephemerides) e, come conseguenza, comportano che il satellite non si troverà esattamente nella posizione ricavata dal messaggio. Sotto l’ipotesi di una terra perfettamente omogenea e sferica ed in assenza di forze perturbative, il moto dei satelliti GPS sarebbe soggetto alla legge gravitazionale di Keplero.

Purtroppo, nel caso reale, bisogna tener conto dell’esistenza di forze perturbative che allontanano il satellite dall’orbita Kepleriana. Per molte di queste possono essere trovati dei modelli appropriati che consentono di ridurne gli effetti, ma per altri, come le maree terrestri e la pressione di radiazione solare, ciò non è semplice. Tali effetti possono tradursi in diversi km/giorno se le effemeridi non vengono quotidianamente ricalcolate dalla rete di controllo. In realtà, per quanto accurate siano, hanno errori di circa 1 metro per la componente radiale, 7 metri per la componente tangente e 3 metri per la componente normale. I biases dei satelliti si trasmettono direttamente sulla stima di pseudorange e producono errori di circa 4-10 metri.

Anche la stima del disallineamento dell’orologio del satellite rispetto al riferimento temporale del GPS è comunicata per mezzo delle effemeridi; per cui esiste comunque un errore residuo,

dTS, di circa 1 ns, che in termini spaziali significa circa 3 m di tragitto del segnale.

I biases di osservazione sono dovuti agli effetti dell’atmosfera. Il segnale emesso dal satellite, quando attraversa l’atmosfera terrestre, subisce una deviazione e viaggia ad una velocità diversa da quella nel vuoto.

Il disturbo atmosferico viene suddiviso in disturbo ionosferico² e troposferico³; il primo ha entità compresa tra 5-50 m. Utilizzando alcuni dei parametri trasmessi dal satellite e, nota la posizione approssimata del ricevitore unita all’elevazione del satellite, è possibile la stima e la conseguente rimozione del disturbo. Tale rimozione è comunque parziale, infatti, non si è in grado di elaborare modelli che permettano di prevedere esattamente lo stato ionosferico e, di conseguenza, bisogna tener conto di un errore residuo

iono.

Il disturbo troposferico, invece, ha entità compresa tra 2 e 3 m per satelliti a 90° di elevazione, e 15-20 m per satelliti a 15° di elevazione, e, anche in questo caso, è possibile stimarlo parzialmente utilizzando dei modelli standard. Essi, riferendosi a condizioni standard, lavorano non tenendo conto della reale situazione meteorologica, di conseguenza rimuovono solo una parte del disturbo. Il disturbo troposferico introduce un termine di errore nella misura dello pseudorange che chiameremo _tropo.

Considerando l’offset temporale dovuto alle varie fonti di errore che possiamo esprimere come:

err atm noise mp

t = t + t + t (1.3)

dove

2Ionosfera: strato superiore dell'atmosfera terrestre rarefatto e ionizzato.

3Troposfera: Regione inferiore dell'atmosfera, ove hanno sede i fenomeni meteorologici, che si estende dal suolo sino a 7-8 km circa al polo e 16-18 km circa all'equatore, caratterizzata da una diminuzione abbastanza regolare della temperatura con la quota.

atm iono tropo

t = + è il ritardo dovuto all’atmosfera;

noise

t è il ritardo dovuto agli errori strumentali;

tmp è il ritardo dovuto all’effetto di multipath;

otteniamo per lo pseudorange la seguente espressione (figura 1.5):

( ) ^{( )} ( ) ^{( )}

( ) ( ) ( )

' '

S

R R R S S R S R S

S

R err S R S R R S err

P c T dT T dT c T T c dT dT

c T t T c dT dT c dT dT t

= + + = +

= + + = + + (1.4)

dove tutti i vari parametri presenti sono già stati visti.

Figura 1.4 Confronto temporale tra range e pseudorange in presenza dei vari errori

1.4 Configurazione geometrica dei satelliti

L’accuratezza del posizionamento GPS viene condizionata, oltre che dai vari tipi di errori, anche dalla configurazione geometrica dei satelliti. Essa viene descritta tramite dei fattori detti DOP (Diluition Of Precision) che rappresentano il contributo della configurazione geometrica dei satelliti alla accuratezza del posizionamento:

DOP 0

= (1.5)

dove

è la deviazione standard del posizionamento;

0 è deviazione standard delle misure di pseudorange.

Esistono diversi fattori DOP: in funzione del tempo, delle coordinate o di combinazioni di coordinate.

La GDOP (Geometric Dilution of Precision), vale a dire la "Diluizione Geometrica della Precisione", è la combinazione di quattro fattori:

la PDOP (Position Dilution of Precision), diluizione della precisione in base alla posizione, stima l'accuratezza del punto calcolato nello spazio (X, Y, Z);

la HDOP (Horizontal Dilution of Precision), diluizione della precisione orizzontale, stima l'accuratezza del punto calcolato nel piano;

la VDOP (Vertical Dilution of Precision), diluizione della precisione verticale, stima l'accuratezza dell'altezza rilevata;

la TDOP (Time Dilution of Precision), diluizione della precisione temporale, stima l'accuratezza nella misurazione del tempo.

Il PDOP è un fattore scalare, che una volta moltiplicato per ₀, fornisce l’accuratezza del posizionamento tridimensionale. I lati che partono dai quattro satelliti e vanno al ricevitore formano un tetraedro; questo tetraedro ha un volume che è inversamente proporzionale al PDOP. Quindi, più sono sparpagliati nel cielo i quattro satelliti e più grande è il volume del tetraedro, di conseguenza più piccolo risulta il PDOP ed in definitiva più piccolo risulta l’errore di posizione tridimensionale (figura 1.5).

Invece, un alto valore di HDOP, indica una povera geometria dei satelliti che provoca una rilevazione poco precisa della posizione nel piano.

Figura 1.5 (a) Buona geometria satellitare; (b) cattiva geometria satellitare

1.5 Sistema di riferimento utilizzato dal GPS

Si considera come riferimento un sistema di assi Cartesiani XYZO solidali con il pianeta Terra e avente origine al centro dello stesso.

Le coordinate della posizione dell’utente (X_user,Y_user,Z_user) si calcolano tramite una serie di calcoli iterativi. Una volta ricavate, esse devono essere convertite nelle 3 coordinate , e h (rispettivamente latitudine, longitudine, altitudine) dette geodetiche perché riferite alla Terra. Il calcolo di queste ultime non è immediato. Le difficoltà sono dovute al fatto che la terra non è sferica e che non è rappresentabile con una sola forma geometrica.

Il sistema di riferimento adottato è il WGS-84 (World Geodetic System 1984), modello matematico della Terra costruito sulla base delle misure e delle conoscenze scientifiche disponibili al 1984. Esso si presenta come un ellissoide ottenuto dalla rotazione di un ellisse attorno al suo asse minore (figura 1.6).

Tramite due parametri, l’eccentricità E e l’ellitticità _e E_p, si definisce di quanto la sua forma si discosta da quella di una sfera. Questi due parametri sono legati agli assi dell’ellisse dalle seguenti relazioni:

2 2 e

p

a b

E a

E a b a

=

=

(1.6)

dove i parametri a (semiasse maggiore o equatoriale dell’ellissoide) e b (semiasse minore o polare dell’ellissoide) hanno i seguenti valori espressi in metri:

6378137 ± 2 6356752,3142 a

b

=

= (1.7)

Una volta definito l’ellissoide associato è possibile definire le coordinate geografiche o ellissoidiche di un punto P:

latitudine : angolo compreso tra la normale all’ellissoide condotta per P e il piano equatoriale XY;

longitudine : angolo compreso tra il piano meridiano passante per P ed un piano meridiano assunto come origine (meridiano di Greenwich);

altezza ellissoidica h: distanza lungo la normale all’ellissoide fra P e l’ellissoide stesso.

La terna ( , , )h è in corrispondenza biunivoca con le coordinate cartesiane (X_user,Y_user,Z_user) ed individua quindi il punto P. Si noti che il passaggio dalle coordinate ellissoidiche a quelle cartesiane è risolvibile agilmente in forma chiusa; il passaggio inverso deve invece essere risolto mediante opportuni processi iterativi.

La formula per ricavare la longitudine in questo nuovo sistema di riferimento non cambia, infatti, non dipende dalla coordinata Z rispetto alla quale è stata deformata la sfera ideale:

user user

arctg Y

= X (1.8)

Figura 1.6 Ellissoide terrestre

Discorso diverso, invece, vale per le altre due coordinate. Infatti, dopo un procedimento iterativo si giunge alle formule finali:

[ ]

(

[ ]

)

2 2 2 1 2

user user user p

h= X +Y +Z a E sin ( ) (1.10)

dove nella (1.9) k indica il passo di iterazione, mentre _c indica la latitudine geocentrica, cioè la latitudine che si ha considerando la Terra come una sfera. In questo caso la latitudine è l’angolo formato tra il piano dell’equatore e la retta congiungente l’utente con il centro. Ricordiamo che nel caso dell’ellissoide è l’angolo formato dall’asse X con la retta che, dal punto P, è perpendicolare alla tangente dell’ellisse nel punto A di intersezione con l’ellisse stessa (figura 1.7).

Figura 1.7 Sezione dell’ellissoide sul piano XZ

Infine riportiamo le relazioni che legano le terne (X_user,Y_user,Z_user) e ( , , )h del punto P:

( )

Xuser = N h cos cos+ (1.11)

( )

Yuser = N h cos+ sin (1.12)

(

)

Zuser = N e +h cos (1.13)

dove

(

)

N = e sin (1.14)

rappresenta la Gran Normale (cioè uno dei raggi principali di curvatura dell’ellissoide in P).