componenti connesse di una superficie non singolare

CAPITOLO 1: PROPRIETA’ TOPOLOGICHE DI CURVE E SUPERFICI ALGEBRICHE REALI NON SINGOLARI

1.1 Introduzione

In questo capitolo descriveremo come ottenere cospicue informazioni di natura topologica dal grafo di adiacenza di una ipersuperficie algebrica rea- le non singolare immersa in ² o ³ e dalla lista delle caratteristiche di Eulero delle componenti connesse di una generica superficie.

Prima di proseguire, fissiamo alcune notazioni che saranno ampiamente utilizzate in seguito.

Una ipersuperficie algebrica in ⁿ è il luogo degli zeri reali di un po- linomio omogeneo in n+1 indeterminate a coefficienti in .

Definizione 1.1.1 Se n =3, la chiameremo semplicemente “superficie (pro- iettiva)”; se n =2, “curva (proiettiva)”.

Una ipersuperficie algebrica in ⁿ è il luogo degli zeri reali di un poli- nomio in n indeterminate a coefficienti in .

Definizione 1.1.2 Se n =3, la chiameremo semplicemente “superficie (affi- ne)”; se n =2, “curva (affine)”.

Definizione 1.1.3 Sia φ un polinomio omogeneo in n+1 indeterminate a

coefficienti in libero da quadrati che definisce l’ipersuperficie K in

n come luogo dei suoi zeri reali. φ =0 è detta “equazione polinomiale (proiettiva) per K ”. Un punto di K si dice “singolare” se annulla tutte le derivate prime parziali di φ. Diciamo che K è “non singolare” se nessun suo punto è singolare.

Definizione 1.1.4 Le definizioni di equazione polinomiale (affine), di pun- to singolare e di non singolarità per ipersuperfici in ⁿ sono analoghe alle corrispettive proiettive.

Osservazione 1.1.1 Poiché K può essere vista come la parte reale dell’in- sieme K degli zeri complessi di φ in ⁿ, può accadere che K non sia singolare, ma che K contenga punti singolari non reali. Ciò non modifica in alcun modo i procedimenti e i risultati di questo lavoro.

1.2 Il grafo di adiacenza di una curva non singolare

In questo paragrafo studieremo come costruire il grafo di adiacenza di una curva algebrica non singolare, e quali informazioni si possono ricavare da esso sulla topologia della curva. La necessità di distinguere la trattazione del grafo di adiacenza di una curva da quella del grafo di adiacenza di una superficie è dovuta alla maggiore complessità presente in dimensione tre, come vedremo nel paragrafo 1.4.

Per una dimostrazione dei risultati classici di geometria algebrica che e- sporremo tra breve, si rimanda a [32] e [34].

Sia C una curva in ² non singolare. Ciascuna delle sue componenti

connesse (che sono in numero finito) è omeomorfa a S¹ e può essere im- mersa in ² in due modi:

1) la componente non sconnette ². In tal caso, è detta “one-sided”;

2) la componente sconnette ² in due parti, una omeomorfa a un di- sco (“parte interna” della componente), l’altra omeomorfa a un na- stro di Mobius (“parte esterna” della componente). In tal caso, è det- ta “ovale”.

Le due situazioni sono schematizzate nella seguente immagine:

Definizione 1.2.1 Se φ =0 è un’equazione polinomiale per l’ipersuperficie non singolare K in ⁿ o ⁿ, chiamiamo “grado di K ” il grado di φ.

Il grado di una ipersuperficie non singolare K non è univoco: per esem- pio, le due equazioni polinomiali φ₁=(x²+ y² − )1 =0 e φ₂ =φ₁(x² + y² + 1)=0 definiscono la stessa curva non singolare in ² (una circonferenza di raggio unitario centrata nell’origine). Il grado è dunque associato alla cop- pia ( K ,φ) più che a K . Ciò che ci interessa veramente è la seguente pro- prietà: i gradi delle equazioni polinomiali per K sono tutti pari o tutti di- spari, i.e. la parità del grado di K è univoca.

La coppia ( ²,C) è determinata, a meno di omeomorfismi, dalla pa- rità del grado di C e dalla reciproca posizione dei suoi ovali. Ricordiamo infatti che:

1) C contiene una e una sola componente one-sided se e solo se il suo grado è dispari;

2) due ovali distinti di C giacciono ciascuno nella parte esterna dell’al- tro, oppure uno solo dei due giace nella parte interna dell’altro.

Definizione 1.2.2 Un ovale che non contiene altri ovali nella sua parte in- terna è detto “vuoto”.

Definizione 1.2.3 Una lista [ω₁,…,ω_m] di ovali di C è detta “nest di pro- fondità m” se verifica le seguenti proprietà:

1) ω₁ è vuoto;

2) ω_i è contenuto nella parte interna di ω_i+1 per 1≤i≤m−1;

3) per 1≤i≤m−1, se ω_i è contenuto nella parte interna dell’ovale ω di C, allora ω_i+1=ω oppure ω_i+1 è contenuto nella parte interna di ω; 4) ω_m non è contenuto nella parte interna di alcun ovale di C.

La relazione “ω_i è contenuto nella parte interna di ω_j” definisce un or- dine parziale nell’insieme degli ovali di C.

Definizione 1.2.4 L’insieme (finito) degli ovali di C dotato di quest’ordine parziale (più la componente one-sided, se presente) è chiamato “schema di

C”.

Osservazione 1.2.1 La conoscenza dello schema di C, oppure del grado e della lista dei nest di C, determina univocamente la coppia ( ²,C).

Vediamo ora come ottenere informazioni sulla reciproca posizione degli ovali di C tramite il suo grafo di adiacenza.

Definizione 1.2.5 Sia X uno spazio topologico e Y un suo sottospazio; il

“grafo di adiacenza G( X ,Y )” è il grafo i cui vertici sono le componenti connesse di X \ e in cui due vertici distinti Y ₁ e ₂ sono collegati se e solo se _{1 2} ≠0/ .

Osservazione 1.2.2 G( X ,Y ) è un invariante topologico della coppia ( X , Y ), i.e., se (X₁,Y₁) e (X₂,Y₂) sono coppie omeomorfe, allora G(X₁,Y₁) e G(X₂,Y₂) sono grafi “uguali”, i.e. isomorfi.

Lemma 1.2.1 Sia { ₁,…, _m} l’insieme delle componenti connesse di X \ Y . Se ^m _i

i 1= è connesso, allora G( X ,Y ) è connesso.

Dim. Con abuso di notazione, chiamiamo _i il vertice di G( X ,Y ) corri- spondente alla componente connessa _i. Supponiamo, per assurdo, che

G( X ,Y ) non sia connesso, i.e., a meno di riordinare gli indici, che esista k <m tale che i vertici in { ₁,…, _k} non siano connessi con i vertici in { _k+1,…, _m}. In tal caso, ^k _i

i 1= e ^m _i

k

i= +1 sarebbero due chiusi disgiunti non vuoti la cui unione è un insieme connesso. qed

Poniamo X = ² e Y =C. Poiché l’intersezione delle chiusure di due regioni distinte di ²\C è un ovale di C oppure è vuota, ciascuno spigo- lo di G( ²,C)=G_C corrisponde esattamente a un ovale di C; inoltre, ogni ovale di C è nella chiusura di due regioni distinte di ²\C. Quindi GC ha un numero di spigoli pari al numero di ovali di C. L’unica compo-

nente connessa di C non rappresentata tra gli spigoli di G_C è quella one-si- ded, se presente.

Definizione 1.2.6 Un grafo è un “albero” se:

1) è connesso;

2) la rimozione di un suo spigolo lo sconnette.

Lemma 1.2.2 GC è un albero.

Dim. L’unione delle chiusure delle componenti connesse di ²\C (che sono in numero finito) è uguale a ², che è connesso. Allora, per il lem- ma 1.2.1, G_C è connesso. Inoltre, poiché ogni ovale di C sconnette ², la rimozione di uno spigolo sconnette G_C. qed

Definizione 1.2.7 Sia G un albero. “Fissare una radice per G” significa:

1) scegliere un vertice di G (la radice, appunto);

2) dotare G dell’orientazione indotta dalla distanza dalla radice, i.e., se l è uno spigolo di G di estremi i vertici v₁ e v₂, e v₂ è più vicino di v1 alla radice, allora l =(v₁,v₂).

Definizione 1.2.8 Una “foglia di un albero G” è un vertice di G, diverso dalla radice, che è estremo di un unico spigolo.

E’ naturale (e, come vedremo, decisamente appropriato) scegliere come radice di G_C il vertice rappresentante l’unica regione di ²\C esterna a tutti gli ovali di C.

In questo modo, infatti, se (v₁,v₂) è lo spigolo orientato di G_C corri- spondente all’ovale ω, allora la regione corrispondente al vertice v₂ è nella parte esterna di ω, mentre la regione corrispondente al vertice v è nella

parte interna di ω. Inoltre, ogni foglia di G_C rappresenta la parte interna di un ovale vuoto, e gli spigoli di un cammino che connette una foglia alla ra- dice corrispondono agli ovali di un nest.

In definitiva, abbiamo dimostrato che la conoscenza di G_C, della sua ra- dice e del grado di C ci permette di ricostruire lo schema di C, i.e. la cop- pia ( ²,C) a meno di omeomorfismi.

Concludiamo il paragrafo con un facile esempio di grafo di adiacenza di una curva compatta affine non singolare D . Poiché D è contenuta in una

carta affine di ², le sue componenti connesse sono solo ovali:

1.3 La lista delle caratteristiche di Eulero delle

componenti connesse di una superficie non singolare

Questo paragrafo è dedicato all’esposizione di alcuni risultati classici di geometria (algebrica e non) che ci saranno molto utili per integrare le infor- mazioni topologiche ricavabili dai grafi di adiacenza di superfici non singo- lari. Per dimostrazioni e approfondimenti, in particolare per quanto concer-

ne il primo gruppo di omologia di una superficie, si veda [26], [27] e [33].

Per determinare a meno di omeomorfismi una superficie non singolare S in ³, ma non la coppia ( ³,S), è sufficiente identificare a meno di omeomorfismi ciascuna delle sue componenti connesse (che sono in nu- mero finito).

Il seguente celebre teorema è lo strumento principale che utilizzeremo in questa fase della nostra analisi (ricordiamo che le componenti connesse di S sono superfici topologiche “chiuse”, i.e. compatte e senza bordo):

Teorema 1.3.1 (Teorema di classificazione delle superfici topologiche chiuse) Una superficie topologica connessa orientabile chiusa è omeomorfa alla somma connessa di una sfera e g tori.

Una superficie topologica connessa non orientabile chiusa è omeomorfa alla somma connessa di una bottiglia di Klein e g tori oppure alla somma connessa di un piano proiettivo e g tori.

Il numero g che compare nel teorema 1.3.1 è chiamato “genere” della superficie topologica connessa orientabile chiusa, ed è un intero rappresen- tante il massimo numero di curve chiuse semplici distinte che possono es- sere rimosse dalla superficie senza sconnetterla, i.e. il numero di “buchi”

della superficie.

Osservazione 1.3.1 Il genere è un invariante topologico, i.e. due superfici topologiche connesse orientabili omeomorfe hanno lo stesso genere.

Osservazione 1.3.2 Il primo gruppo di omologia H₁ di una superficie topo- logica connessa orientabile senza bordo con g buchi è un gruppo abeliano libero di rango 2g.

Come nel caso delle curve, la parità del grado d di S fornisce impor- tanti informazioni sulla topologia della superficie. Infatti:

1) se d è pari, S e tutte le sue componenti connesse sono orientabili;

2) se d è dispari, S contiene una e una sola componente connessa non orientabile omeomorfa alla somma connessa di un piano proiettivo e di un toro con g buchi.

Se A è una superficie topologica connessa orientabile chiusa di genere g, allora la caratteristica di Eulero di A è χ( A)=2 2− g. Se invece A è una superficie topologica connessa non orientabile chiusa omeomorfa alla somma connessa di un piano proiettivo e di un toro di genere g, allora si ha χ( A)= 1 2− g.

Osservazione 1.3.3 L’unica componente connessa di S con caratteristica di Eulero dispari è quella non orientabile, se presente.

Non vogliamo dilungarci in una trattazione esaustiva del significato ge- ometrico della caratteristica di Eulero. Ciò che ci interessa è che fornire la lista χ_S delle caratteristiche di Eulero delle componenti connesse di S è e- quivalente a caratterizzare topologicamente ciascuna di esse.

Definizione 1.3.1 Siano R e X spazi topologici. Un’applicazione continua p: R→ X è un “rivestimento” se:

1) p è suriettiva;

2) ogni punto P in X possiede un intorno aperto U tale che p⁻¹(U ) è unione disgiunta di aperti di R omeomorfi a U tramite p.

La scelta di χ_S come strumento per ottenere informazioni sulla topolo- gia di S è legata alla seguente proprietà notevole di χ, che ci sarà utile per

ricondurre la nostra investigazione dal caso proiettivo al caso compatto af- fine:

Lemma 1.3.1 Sia A una componente connessa di S con caratteristica di Eulero χ( A). Se p: R→ ³ è un rivestimento a n fogli, i.e. la contro- immagine di un punto di ³ è costituita da n punti, allora χ(p⁻¹( A))=

n χ( A).

1.4 Il grafo di adiacenza pesato di una superficie non singolare

χS ci fornisce un quadro esaustivo della natura di S come oggetto a- stratto. Il nostro scopo è ora quello di collezionare dati sulla natura di S come oggetto immerso. Come già fatto per le curve, questo obiettivo può essere perseguito attraverso la costruzione di G_S =G( ³,S), ovvero at- traverso la costruzione del grafo di adiacenza di S in ³. Purtroppo, no- nostante le ulteriori informazioni che otterremo in questo modo, non sare- mo in grado di determinare la coppia ( ³,S).

Prima di proseguire, è necessaria una breve digressione sulle proprietà delle superfici non singolari S considerate come oggetti immersi in ³ (per le dimostrazioni, si consulti [25], [26], [27], [32] e [33]).

Una componente connessa di S può essere collocata in ³ in due modi:

1) la componente sconnette ³ in due regioni. In tal caso, è detta

“two-sided”;

2) la componente non sconnette ³. In tal caso, è detta “one-sided”.

Se S ha grado pari, tutte le sue componenti connesse sono two-sided; se S ha grado dispari, contiene esattamente una componente one-sided (quel- la non orientabile).

Osservazione 1.4.1 Gli spigoli di G_S sono in corrispondenza biunivoca con le componenti two-sided di S; in particolare, se S ha grado dispari, la sola componente connessa di S non rappresentata in G_S è quella non o- rientabile.

Osservazione 1.4.2 GS è un albero. La dimostrazione di questo fatto è so- stanzialmente la stessa del lemma 1.2.2.

Definizione 1.4.1 Siano X e Y spazi topologici e f₀ e f₁ funzioni conti- nue definite in X a valori in Y . Una “omotopia tra f₀ e f₁” è una applica- zione continua F : X ×[0,1]→ Y tale che, per ogni punto P in X , si abbia

F ( P ,0)= f₀( P ) e F ( P ,1)= f₁( P ). Se esiste una omotopia tra f₀ e f₁, di- ciamo che f₀ e f₁ sono “omotope”.

Definizione 1.4.2 Sia X uno spazio topologico. Un “arco” in X è un’ap- plicazione continua γ : [0,1]→ X . L’arco γ è detto “cappio” se in più si ha γ (0)=γ (1).

Definizione 1.4.3 Un cappio in uno spazio topologico X si dice “contrai- bile” se è omotopo a un cappio costante in X .

Definizione 1.4.4 Un sottoinsieme B di ³ si dice “contraibile” se un qualunque cappio in B è contraibile come cappio in ³.

Osservazione 1.4.3 Se B ⊂ ³ è contraibile, un qualunque sottoinsieme di B è contraibile.

Elenchiamo alcuni fatti cruciali riguardanti la contraibilità:

1) ³ non è contraibile;

2) se X₁,…,X_n sono componenti connesse contraibili di ³\S, allo- ra ³\ ⁿ

i 1= Xi è non contraibile;

3) se una componente connessa di ³\S è contraibile, anche la sua chiusura lo è (purché non contenga l’eventuale componente connessa non orientabile di S);

4) una componente connessa di S one-sided è sempre non contraibile;

una componente two-sided, invece, può esserlo o meno.

Riassumendo, per una componente connessa A di S si hanno le se- guenti tre possibilità:

1) A è one-sided. In tal caso, A è non contraibile e ³\ A è connessa e contraibile;

2) A è two-sided e non contraibile. In tal caso, le due componenti con- nesse di ³\ A sono entrambe non contraibili;

3) A è two-sided e contraibile. In tal caso, una delle due componenti connesse di ³\ A è contraibile (ed è detta “parte interna di A”), mentre l’altra è non contraibile (ed è detta “parte esterna di A”).

Osservazione 1.4.4 Se il grado di S è dispari, le sue componenti connesse two-sided sono contenute in un sottoinsieme contraibile di ³, e quindi sono contraibili.

Una componente connessa non contraibile di S è situata nell’intersezio-

ne delle parti esterne delle componenti contraibili di S (se esistono). Due componenti contraibili di S giacciono ciascuna nella parte esterna dell’al- tra, oppure una sola delle due giace nella parte interna dell’altra.

Nel precedente paragrafo abbiamo dotato l’insieme {ω₁,…,ω_m} degli ovali di C di un ordine parziale tramite la relazione “ω_i è contenuto nella parte interna di ω_j”. Sebbene, in un certo senso, le componenti two-sided di S rappresentino l’analogo bidimensionale degli ovali di C, una siffatta relazione di ordine parziale può essere definita in questo caso solo nell’in- sieme delle componenti two-sided contraibili di S, in quanto le componen- ti two-sided non contraibili non hanno una parte interna.

Dato l’importante ruolo rivestito dalla contraibilità nella caratterizzazio- ne dell’immersione in ³ delle componenti connesse di S, ci piacerebbe conservare in G_S questa informazione. Un modo per farlo è associare a o- gni vertice di G_S un “peso”.

Definizione 1.4.5 Sia V ={v₁,…,v_m} l’insieme (finito) dei vertici di G_S e P ={c,nc}. Un “peso per G_S” è una funzione p_S: V → tale che: P

1) p_S(v_i)=c se la componente connessa di ³\S rappresentata da vi è contraibile;

2) p_S(v_i)=nc, altrimenti.

Definizione 1.4.6 Uno spigolo di GS si dice “contraibile” (rispettivamente,

“non contraibile”) se è contraibile (rispettivamente, non contraibile) la componente connessa di S che rappresenta.

Un vertice di G_S si dice “contraibile” (rispettivamente, “non contraibi- le”) se è contraibile (rispettivamente, non contraibile) la componente con-

nessa di ³\S che rappresenta.

Lemma 1.4.1 Uno spigolo l di G_S è non contraibile ⇔ i suoi due estremi sono vertici non contraibili.

Dim. Indichiamo con R_l la componente connessa di S corrispondente a l. ) Se, per assurdo, un estremo di l fosse un vertice v contraibile, allo-

ra la regione R_v di ³\S corrispondente a v sarebbe contraibile, e così la sua chiusura. In tal caso, poiché R_l ⊂ R_v, si avrebbe R_l, e quindi l, contraibile.

⇐) Se, per assurdo, l fosse contraibile, allora uno dei suoi estremi sa- rebbe un vertice v rappresentante una componente connessa R_v di

3\S contenuta in un sottoinsieme contraibile di ³. In tal ca- so, R_v, e quindi v, sarebbe contraibile. qed

Il lemma 1.4.1 ha un’importante conseguenza: i vertici e gli spigoli non contraibili di G_S formano un suo sottografo, G_S^nc.

Indichiamo con G_S^c il sottografo di G_S costituito dagli spigoli contrai- bili di G_S e dai loro estremi (si noti che, se almeno un vertice di G_S è non contraibile, l’insieme G_S^c degli spigoli e dei vertici contraibili di G_S è vuo- to oppure non è un grafo).

Osservazione 1.4.5 Se S ha grado dispari, G_S^nc è vuoto. Se S ha grado pa- ri, G_S ha almeno un vertice non contraibile: in questo caso, infatti, se tutti gli spigoli di G_S fossero contraibili, l’unica regione Q di ³\S conte- nuta nella parte esterna di tutte le componenti connesse di S sarebbe non contraibile (si noti che Q è il complementare in ³ dell’unione delle

chiusure delle componenti connesse contraibili di ³\S).

Sc

G , in generale, non è connesso. Per G_S^nc si ha invece la seguente:

Proposizione 1.4.1 GS^nc è connesso.

Dim. Se GS^nc è vuoto oppure è costituito da un solo vertice, la tesi è banale.

Supponiamo dunque che G_S^nc abbia almeno due vertici. Siano u,v due vertici distinti di G_S^nc e siano u =x₁,…,x_m= v i vertici dell’unico cammino che connette u e v in G_S. In virtù del lemma 1.4.1, per ottenere la tesi è sufficiente dimostrare che x_i è non contraibile per 1< i <m. Se, per assur- do, esistesse h, 1<h<m, con x_h contraibile, allora uno dei due insiemi di vertici {u =x₁,…,x_h−1}, {x_h+1,…,x_m = v} rappresenterebbe un insieme di componenti connesse di ³\S contenute in un sottoinsieme contraibile di ³, i.e. u oppure v sarebbe contraibile. qed

Osservazione 1.4.6 Le componenti connesse di G_S^c sono alberi.

Osservazione 1.4.7 Se S ha grado dispari, G_S =G_S^c =G_S^c. Se S ha grado pari, ogni componente connessa G_i di G_S^c ha esattamente un vertice non contraibile: infatti, ne ha almeno uno per l’osservazione 1.4.5 e per il lem- ma 1.4.1; se ne avesse almeno due, allora conterrebbe l’unico cammino di

GS che li collega, e quindi, per la proposizione 1.4.1, conterrebbe almeno uno spigolo non contraibile.

Come già fatto per G_C, vogliamo scegliere in modo opportuno una radi- ce per ogni componente connessa di G_S^c :

1) se S ha grado pari, prendiamo come radice della componente con- nessa G_i di G_S^c l’unico vertice r_i di G_i con peso nc. L’insieme r_S dei vertici di G_S così selezionati coincide con l’insieme dei vertici comuni a G_S^c e G_S^nc;

2) se S ha grado dispari, prendiamo come radice di G_S il vertice r cor- rispondente all’unica regione di ³\S contenuta nella parte ester- na di tutte le componenti connesse di S. In questo caso, r_S ={ r }.

Con questa scelta delle radici, se (v₁,v₂) è lo spigolo contraibile orienta- to corrispondente alla componente connessa W di S, allora la regione di

3\S corrispondente al vertice v₂ è nella parte esterna di W, mentre la regione di ³\S corrispondente al vertice v₁ è nella parte interna di W ; inoltre, le foglie delle componenti connesse di G_S^c rappresentano la parte interna di una componente connessa contraibile di S, e, se l₁=(v,w) e l₂ = (w,k) sono spigoli contraibili orientati, allora la componente connessa di

S corrispondente a l₁ è nella parte interna della componente connessa di S corrispondente a l₂.

La terna (G_S, p_S,r_S) è detta “grafo di adiacenza pesato di S in ³”;

per quanto dimostrato, la conoscenza di (G_S, p_S,r_S) ci permette di:

1) individuare l’ordine parziale indotto nell’insieme delle componenti contraibili di S dalla relazione “essere contenuto nella parte interna di”;

2) determinare se due componenti contraibili di S sono situate nella stessa regione del complementare di una componente non contraibile di S (basta controllare se gli spigoli associati alle due componenti

connesse appartengono alla stessa componente connessa di G_S^c );

3) riconoscere la parità del grado d di S (se tutti i vertici di G_S hanno peso c, d è dispari, altrimenti d è pari).

1.5 Conclusioni

(G_S, p_S,r_S) è invariante per omeomorfismi d’ambiente; χ_S è invariante per omeomorfismi, quindi a maggior ragione è invariante per omeomorfi- smi d’ambiente.

Nei prossimi capitoli vedremo come calcolare la coppia ((G_S, p_S,r_S), χS) per una superficie non singolare S in ³ a partire da un’equazione polinomiale a coefficienti in per S.

Mentre χ_S fornisce un’informazione completa sulla natura astratta di S, (G_S,p_S,r_S) fornisce solo un’informazione parziale su come S è immer- sa in ³. In conclusione, come avevamo anticipato, ((G_S, p_S,r_S),χ_S) non determina la coppia ( ³,S). Un esempio di questo fatto è dato dai seguenti tori affini, che, in quanto superfici contenute in una carta affine di

3, hanno solo componenti connesse contraibili: