Programma di GEOMETRIA III A.A. 2019-2020 Corso di Laurea in Matematica
A. Miranda TOPOLOGIA
Spazi topologici Topologia su un insieme. Aperti. Topologia naturale. Topologia di Sorgenfrey. Topologie delle semirette. Topologia cofinita. Confronto tra topologie. Basi. Chiusi. Chiusura e propriet`a. Interno e propriet`a. Intorni e propriet`a. Aderenza. Spazi pseudometrici. Spazi metrici. Un esempio di pseudometrica che non `e una metrica. Topologia indotta da una pseudomet- rica. Topologia indotta dalla metrica euclidea. Topologie pseudometrizzabili.
Metriche equivalenti. La metrica euclidea, la metrica del taxi, la metrica del massimo. Basi locali. Continuit`a puntuale (in ambito topologico). Legami con la continuit`a usuale. Continuit`a globale e caratterizzazioni. Continuit`a della composizione di applicazioni. Convergenza di una successione (in am- bito topologico). Legami con la convergenza usuale. Convergenza e con- tinuit`a. Continuit`a sequenziale. Applicazioni aperte. Applicazioni chiuse.
Esempi. Omeomorfismi e caratterizzazioni. Classi di omeomorfismo degli intervalli di R. Omeomorfismo fra sfere e cubi euclidei. Omeomorfismo tra uno spazio euclideo ed un suo disco aperto. La proiezione stereografica.
Sottospazi Topologia relativa. Continuit`a dell’inclusione. Topologia naturale in- dotta.
Quozienti Topologia quoziente. Aperti saturi. Applicazioni quoziente. Teorema di rappresentazione. Esempi di applicazioni quoziente. La rappresentazione parametrica standard della circonferenza. La circonferenza `e il quoziente che si ottiene dal segmento [0, 1] identificando gli estremi. La rappresentazione parametrica standard del cilindro. Esempi di quozienti del quadrato chiuso:
il cilindro, il toro, il nastro di Moebius, il piano proiettivo reale. Riduzione di un chiuso ad un punto. Riduzione della circonferenza di bordo di un disco ad un punto. La sfera `e il quoziente che si ottiene dal disco chiuso mediante la riduzione ad un punto della circonferenza di bordo. La bottiglia di Klein.
Altri modelli topologici del piano proiettivo reale. Incollamento di un disco con un nastro di Moebius lungo il bordo. Il quoziente del cerchio chiuso.
Prodotti Topologia prodotto. Continuit`a delle proiezioni. Continuit`a di una fun- zione a valori in un prodotto.
Propriet`a di separazione Propriet`a T2 o di Hausdorff. Ereditariet`a, produttivit`a, passaggio al quoziente.
Propriet`a di numerabilit`a I e II assioma di numerabilit`a. Separabilit`a. Interdipen- denze. Spazi metrici e propriet`a di numerabilit`a. Condizioni per la metrizzbilit`a.
Compattezza Caratterizzazioni. Sottospazi di spazi compatti. Compattezza e pro- priet`a di separazione. Compattezza di una successione con l’aggiunta del proprio limite in uno spazio di Hausdorff. Compattezza e continuit`a. Quozi- enti di spazi compatti. Il Teorema di Weierstrass. Il Teorema di Heine.
Prodotti di spazi compatti. Il Teorema di Tychonoff. Compattezza negli spazi euclidei. Teorema di Heine-Pincherle-Borel.
Connessione Caratterizzazioni. Criteri di connessione. Sottospazi di spazi con- nessi. Connessione e continuit`a. Quozienti di spazi connessi. Prodotti di spazi connessi. Componenti connesse. Le componenti connesse sono chiuse e individuano una partizione. Criterio di connessione. Spazi totalmente scon- nessi. Cammini. Prodotto di cammini. Connessione per cammini. Il seno del topologo. Caratterizzazione dei connessi dell’asse reale. Connessione negli spazi euclidei. Convessit`a. Convessit`a rispetto ad un punto. Connessione per poligonali. Equivalenza della connessione per poligonali, della connes- sione per cammini e della connessione in un aperto di uno spazio euclideo.
Teorema degli zeri. Teorema del punto fisso di Brower.
GEOMETRIA PROIETTIVA
Il piano proiettivo reale Il piano proiettivo reale P2(R). Relazione di parallelismo tra rette del piano affine reale. Punti impropri o direzioni. Rette ampliate e retta impropria. Propriet`a grafiche di P2(R). Coordinate proiettive omo- genee. Luoghi geometrici ed omogeneit`a nella rappresentazione analitica.
Rappresentazione cartesiana e parametrica delle rette proiettive.
Le coniche proiettive reali Ellissi, iperboli, parabole come luoghi geometrici. I loro caratteri: simmetrie, assi, vertici, centro, asintoti, fuochi, direttrici. Le coniche di P2(R). Matrice associata ad una conica. Rappresentazione ma- triciale di una conica proiettiva reale. Forma bilineare simmetrica e forma quadratica associata. Posizione reciproca di rette e coniche (” esplorando una conica con le rette ”). Rette tangenti, seganti, esterne ad una conica. Punti semplici e punti doppi (”esplorando una conica con le rette in un fascio”).
Coniche degeneri e non. Coniche reali prive di punti reali. Degenerazione doppia e semplice. Condizioni di degenerazione. Tipo affine di una conica.
Determinazione analitica del tipo affine. Traccia affine di una conica proiet- tiva. Polarit`a generata da una conica non degenere. Polarit`a ed ortogonalit`a.
Teorema di reciprocit`a delle polari. Rette e punti autopolari. Coniche a cen- tro. Coniche prive di centro. Condizioni analitiche per l’esistenza del centro e sua determinazione. Diametri. Diametri coniugati. Diametri autoconiugati o asintoti. Propriet`a di simmetria dei diametri. Teorema sui diametri. Gli assi come diametri coniugati alla direzione ortogonale. I vertici. I fuochi. Le direttrici.
La geometria proiettiva Le proiettivit`a reali. Le proiettivit`a reali e le classi di ma- trici associate. La geometria proiettiva reale. Affinit`a reali e matrici asso- ciate. Esempi di caratteri proiettivi: le nozioni di retta, conica, segmento, retta tangente, retta segante, retta esterna ad una conica, polarit`a, polo e polare, autopolarit`a, conica degenere, conica semplicemente degenere, conica doppiamente degenere, conica non degenere, conica priva di punti reali. Es- empi di caratteri affini: le nozioni di parallelismo tra rette, conica a centro, conica priva di centro, centro, diametro, diametri coniugati, ellisse, iperbole, parabola, asintoto. Esempi di caratteri invarianti per similitudini: le nozioni di angolo tra rette, ortogonalit`a, assi, vertici, circonferenza, iperbole equilat- era. Esempi di caratteri metrici: le nozioni di fuoco e direttrice.
La classificazione di una conica Classificazione proiettiva delle coniche proiettive re- ali. Tipi proiettivi reali. Classificazione affine delle coniche affini reali. Tipi affini reali. Classificazione metrica delle coniche reali. Tipi metrici.
LE GEOMETRIE NEL PROGRAMMA DI ERLANGEN
Le geometrie secondo Klein Che cos’`e una geometria? Il programma di Erlangen di Klein. Spazi di struttura. Gruppo strutturale. Invarianti.
Confronto tra geometrie Struttura affine naturale di Rn. Il gruppo delle affinit`a reali di Rn e la geometria affine. Esempi di invarianti affini. Le omotetie.
Il gruppo delle similitudini di Rn e la geometria affine conforme. Esempi di invarianti per similitudine che non sono invarianti affini. Il gruppo delle isometrie Euclidee di Rn e la geometria Euclidea. Esempi di invarianti eu- clidei che non sono invarianti affini. Il piano proiettivo reale. Il gruppo delle proiettivit`a reali e la geometria proiettiva. Esempi di invarianti affini che non sono invarianti proiettivi. La struttura topologica. Il gruppo degli omeomorfismi e la topologia.
TESTI CONSIGLIATI
• E. Sernesi, Geometria 1, Bollati Boringhieri, 2000
• V. Checcucci, A. Tognoli, E. Vesentini, Lezioni di Topologia Generale, Ed. Zanichelli 1976.
• M.Manetti, Topololgia, Ed. Springer-Verlag.
• G. Tallini, Strutture Geometriche, Ed. Liguori.
• S. Willard, General Topology , Ed. Dover 2004.
