ESERCIZI SULLA RETTA ORIENTATA
Numeri naturali sulla retta orientata. Possiamo immaginare i numeri naturali, ovvero quelli del
“contare sulle dita” come disposti su una retta (o meglio, su una semiretta), secondo il loro ordine, equidistanti l'uno dall'altro. Nel disegno sono ad un “quadretto” di distanza.
Numeri interi sulla retta orientata. Questa volta caratterizzo i numeri anche con un segno. La stessa disposizione sulla retta orientata dei numeri interi potrebbe essere considerata una definizione del “segno”. Nel nostro disegno i numeri interi sono sempre ad un quadretto di distanza.
Numeri razionali sulla retta orientata. I numeri naturali sono quelli che possono essere scritti in forma di frazione. Per rappresentarli sulla retta orientata con un disegno preciso e leggibile dobbiamo scegliere unità di misura (distanza tra 0 e 1) molto più grandi di un quadretto. Per esempio con una unità di misura di 2 quadretti rappresentiamo agevolmente anche le frazioni con denominatore 2.
In questa mappa ho riportato tutte le possibili frazioni comprese tra 0 e 1 e con denominatore da 2 fino a 15. L'unità di misura scelta è 30 quadretti, con tale scelta riesco a piazzare sul reticolo della quadrettatura molte frazioni ma non tutte.
In questa mappa possiamo anche apprezzare il fatto che uno stesso numero può essere scritto con infinite frazioni diverse. Per esempio 1
2=2 4=3
6=4 8= 5
10=...
Prendendo come unità di misura 3 quadretti riesco a piazzare precisamente le frazioni con denominatore 3, ma sono già in difficoltà col denominatore 2. Sono costretto a piazzare 1
2 a metà quadretto.
Prendendo come unità di misura 4 quadretti, piazzo agevolmente sia le frazioni con denominatore 2 che le frazioni con denominatore 4.
Prendendo come unità di misura 5 quadretti, piazzo agevolmente soltanto le frazioni con denominatore 5.
Prendendo come unità di misura 6 quadretti posso piazzare agevolmente frazioni con denominatori 2,3,6 (ovvero i divisori di 6).
Prendendo come unità di misura 7 quadretti posso piazzare agevolmente soltanto frazioni con denominatore 7.
Ormai l'idea di base dovrebbe essere chiara. Andiamo a vedere cosa succede se come unità di misura prendo 10 quadretti. Possiamo approfittarne per scrivere i numeri anche in forma decimale.
Ed ora un po' di esercizi svolti.
1 Disponi su una retta orientata, rispettando le distanze, i seguenti numeri:
[0][1][−5][4][−3][7][−2][9][−8][6]
Suggerimento: disegna una retta orizzontale seguendo una linea della quadrettatura, poni 0 al centro e 1 a due quadretti a destra da 0. Ogni numero dista due quadretti dal precedente e dal successivo.
2 Rappresenta i seguenti numeri su una retta orientata, scegliendo come unità di misura 2 quadretti.
a 0 b 1 c 1
2
d
−1 2
e 3 2
f −1 g 2 h
−5 2
3 Rappresenta i seguenti numeri su una retta orientata, scegliendo come unità di misura 3 quadretti.
a 0 b 1 c 1
3
d
−1 3
e 2 3
f
−1 g 2 h
−4 3
4 Rappresenta i seguenti numeri su una retta orientata, scegliendo come unità di misura 4 quadretti.
a 0 b 1 c 1
2
d
−1 4
e 3 4
f −1 g 7 4
h
−3 2
5 Rappresenta i seguenti numeri su una retta orientata, scegliendo autonomamente una opportuna unità di misura.
a 0 b 1 c 1
2
d
−1 2
e 1 3
f −1 g
−2 3
h 1 6
Si osservi che i denominatori sono 2,3,6 e che 6 è il m.c.m. Dunque una buona scelta è sicuramente prendere come unità di misura 6 quadretti.
Erano altrettanto accettabili scelte in cui l'unità di misura fosse un multiplo di 6 anche se, oltre l'unità di misura di 12 quadretti il disegno verrebbe decisamente troppo grande.
Altre scelte come 2 o 3 quadretti come unità di misura sarebbero comunque praticabili ma meno efficaci.
Tutte le altre scelte porterebbero ad un disegno pasticciato ed approssimativo.
6 Rappresenta i seguenti numeri su una retta orientata, scegliendo come unità di misura 5 quadretti.
a 0 b 1 c 1
2
d
−1 5
e 3 5
f
−1 g 7
5
h
−4 5
7 Rappresenta i seguenti numeri su una retta orientata, scegliendo come unità di misura 6 quadretti.
a 0 b 1 c 1
2
d
−1 3
e 2 3
f
−1 g 5
6
h
−4 3
8 Rappresenta i seguenti numeri su una retta orientata, scegliendo come unità di misura 8 quadretti.
a 0 b 1 c 1
2
d
−1 4
e 3 4
f −1 g 7 8
h
−3 8
9 Rappresenta i seguenti numeri su una retta orientata, scegliendo autonomamente una opportuna unità di misura.
a 0 b 1 c 1
2
d
−1 2
e 1 8
f
−1 g −3
4
h
9 8
Osserviamo che i denominatori sono tutti divisori di 8, quindi la scelta migliore per la nostra unità di misura è la distanza di 8 quadretti. Volendo ( e potendo) fare un disegno più grande potremmo scegliere come unità di misura un numero di quadretti multiplo di 8.
E' accettabile (ma meno precisa) anche una scelta come unità di misura di 4 quadretti.
10 Rappresenta i seguenti numeri su una retta orientata, scegliendo autonomamente una opportuna unità di misura.
a 0 b 1 c 1 2
d
−0,5 e 1 8
f
−1 g −0,75 h 1,125
Per poter fare un disegno preciso su un foglio di quaderno a quadretti conviene convertire tutte le rappresentazioni decimali in forma di frazione.
−0,5=− 5 10=−1
2 −0,75=− 75
100=−3
4 1,125=1+ 125
1000=1+ 5
40=1+1 8=9
8 I denominatori son tutti divisori di 8 quindi la scelta migliore è quella di prendere come unità di misura 8 quadretti. Volendo (e potendo) fare il disegno più grande si può scegliere un multiplo di 8, è accettabile (ma meno precisa) la scelta di 4 quadretti.
11 Rappresenta i seguenti numeri su una retta orientata, scegliendo autonomamente una opportuna unità di misura.
a 0 b 1 c 1 2
d −0,3 e 1 6
f −1 g −0,6 h 1,1 6
Per scegliere bene l'unità di misura è utile ricordare che
0, 3=1
3 0, 6=2
3 0,1 6=1 6
Le prime due uguaglianze sono richieste come bagaglio culturale degli studenti, per la terza, nel caso in cui non la ricordassimo, possiamo utilizzare il metodo di calcolo per passare dalla rappresentazione decimale periodica a quella di frazione.
1,1 6=116−11 90 =7
6
A questo punto osserviamo che i denominatori sono 2,3,6 e quindi sono buone scelte tutte quelle che indicano come unità di misura la lunghezza di un multiplo di 6 quadretti.
Potrebbe essere accettabile anche una lunghezza di 3 quadretti per l'unità di misura.
Tutte le altre non sono buone scelte. Nel nostro svolgimento abbiamo scelto come unità di misura la lunghezza di 12 quadretti, in modo che il disegno abbia anche una buona visibilità.
12 Rappresenta i seguenti numeri su una retta orientata, scegliendo autonomamente una opportuna unità di misura.
a 0 b 1 c 1 2
d −1,0 3 e 17 30
f 4 5
g 0,7 h 16 15
Prima di decidere l'unità di misura diamo un'occhiata ai denominatori. Si tenga presente anche che 0,7= 7
10 1,0 3=103−10
90 =93 90=31
30
Quindi le scelte migliori sono quelle che prevedono come unità di misura una quantità di quadretti che sia un multiplo di 30. Dobbiamo però anche cercare di stare dentro un normale foglio A4, quindi potrebbe essere accettabile anche una scelta di 15 quadretti come unità di misura. Tutte le altre scelte non sono buone. Nel disegno la scelta è caduta su 30 quadretti.
13 Rappresentare i seguenti numeri su una retta orientata:
a 0 b 1
2
c 1 6
d 5 6
e
−1 3
f 5 4
g 5 12
h 1
La scelta migliore per l'unità di misura è 12 quadretti, dato che i denominatori coinvolti sono tutti divisori di 12. Vanno bene anche tutti i multipli di 12 ma si rischia di fare un disegno troppo grande.
È accettabile anche una scelta di 6 quadretti per l'unità di misura che rende il disegno un po più piccolo e meno preciso. Tutte le altre scelte penalizzerebbero la precisione.
Nel disegno l'unità di misura scelta è di 12 quadretti.
14 Rappresentare i seguenti numeri su una retta orientata:
a 0 b 1
2
c 1 4
d 3 4
e
−1 4
f 5 4
g 5 8
h 1
Le scelte migliori per questo insieme di numeri sono le unità di misura di 8 o 16 quadretti. Con multipli di 8 più grandi perdiamo visibilità e finiamo per uscire fuori dal quaderno. Scegliendo come unità di misura 4 quadretti verrebbe un disegno piccolo ma comunque preciso. Altre scelte non permetterebbero la precisione. Nella figura qui sotto la distanza tra 0 e 1 è di 8 quadretti.
15 Rappresentare i seguenti numeri su una retta orientata:
a 0 b 1
2
c 1 3
d 2 3
e
−1 3
f 4 3
g 5 6
h 1
I denominatori dei numeri richiesti sono 2,3,6, cioè tutti divisori di 6. Quindi la scelta più ovvia è quella di scegliere l'unità di misura di 6 quadretti. Se si vuole maggiore visibilità si possono scegliere anche unità di misura con multipli di 6 quadretti: 12,18,24,30 etc.
Ci si potrebbe accontentare anche di un'unità di misura di 3 quadretti, utilizzando il mezzo quadretto per rappresentare i sesti, perdiamo però un po' di visibilità e di precisione. Nella figura che proponiamo l'unità di misura è di 6 quadretti.
16 Rappresentare i seguenti numeri su una retta orientata:
a 0 b 1
2
c 1 4
d
3 4
e
−1 4
f
5 4
g
7 8
h
1
Osserviamo i denominatori: la scelta dell'unità di misura è molto facile, con 8 quadretti ogni numero è ben rappresentato dato che i denominatori sono tutti divisori di 8. Se si vuole maggiore visibilità si potranno fare scelte come 16 o 24 o 32 quadretti (multipli di 8).
17 Rappresentare i seguenti numeri su una retta orientata:
a 0,5 b 0,25 c 0,75 d 0, 3 e 0, 6 f 0,2 g 0,4 h 1
Visto che i numeri sono scritti in forma decimale, viene abbastanza spontaneo rappresentarli all'interno di un segmento (che rappresenta l'unità) composto da 10 quadretti del quaderno.
0,25 e 0,75 dovranno essere posizionati sulla metà di una lato di un quadretto mentre i numeri in forma periodica dovranno essere sistemati “a occhio” immaginando di dividere in tre parti il lato di un quadretto, la rappresentazione è quindi poco precisa.
Una possibile alternativa è scegliere come unità di misura la lunghezza di 30 quadretti, in questo modo possiamo essere più precisi nel piazzare i numeri, ma il disegno diventa grande perdendo un po' di visibilità.
18 Rappresentare i seguenti numeri su una retta orientata:
a −0,5 b 1,25 c −0,75 d 1, 3 e −0,6 f 1,2 g −0,4 h 1
Prima di partire col disegno diamo un'occhiata ai numeri che dobbiamo posizionare, in particolare individuiamo il più grande (il più a sinistra) : 1, 3 ; e il più piccolo (il più a destra): −0,75 . Inoltre la presenza dei numeri in forma periodica 1, 3 ; −0,6 mi fa pensare al denominatore 3;
la presenza di 1,25 ; −0,75 al denominatore 4; infine la presenza di 1,2 ; −0,4 al denominatore 5. A questo punto scelgo di quanti quadretti deve essere la distanza tra 0 e 1.
3×4×5=60
Prendere come unità di misura 60 quadretti mi farebbe andare fuori del foglio, anche mettendolo in orizzontale. Con 30 quadretti potrebbe venire un buon disegno ruotando il foglio in orizzontale. Con 15 quadretti potremmo mantenere il foglio in verticale, perdendo però un po' di precisione per i quarti. Riportiamo di seguito il disegno con la scelta di 30 quadretti per l'unità di misura.
