( ) mx ɺɺ + bx ɺ + kx = F t

x_o b

k

m F^{( )t}

Plan de ce cours

Régime libre

Régime permanent harmonique et périodique Solution générale

Oscillateurs à un

Degré de liberté

x_o b

k

m F^{( )t}

( ) mx ɺɺ + bx ɺ + kx = F t

2

/

x ⁺ εω x ⁺ ω x ⁼ F m ⁼ φ

ɺɺ ɺ

forme canonique

Solution générale du problème homogène F = 0

+ Solution particulière

2 o

k

ω = m 2 _o b εω = m

On pose

ω

2 2

o o

o

T f

ω = π = π _{en (rad/s)}

ε

ε < 1

x_o b

k

m

2

0

x ⁺ εω x ⁺ ω x ⁼

ɺɺ ɺ

Régime libre

conditions initiales ^:

( 0) ( 0)

t o

t o

x x

x x

=

=

=



 ɺ = ɺ

2 2

( 1) 0

ω εo

∆ = − <

Racines de l’équation caractéristique r² + 2εω_or + ω_o² = 0

1 2

ωo ε

Ω = −

cos sin )

(

ot x x

x = e₋^εω x Ω +t +εω Ωt Ω

ɺ

Pseudo pulsation propre

2

F cos

x x x t

εω ω m ω

+ + =

ɺɺ ɺ

Régime permanent harmonique

x_o b

k

m

cos F ωt

cos( )

x = X ω ϕt − On cherche x de la forme

( ) x t X

A

B

ωt

2 2 2 2 ϕ

2 2

( ) (2 )

2

o o

o o

X F

m tg

ω ω εω ω ϕ εω ω

ω ω

 =

 − +



 =

 −



2 2 2

2

(1 ) (2 )

2 1 X F

k r r

tg r

r

ε ϕ ε

 =

 − +



 = −

o

r ω

= ω Avec la pulsation réduite

( )

i t

x = Xe ^{ω ϕ−}

cos sin

x = A ωt + B ωt

Régime permanent harmonique

x_o b

k

m

cos

F ωt Diagramme de Bode _{2 2}¹ ₂

(1−r ) +(2εr)

2

1 2 1 Max⁼ ε −ε

2

2 1 tg r

r ϕ = ε

−

Résonance de phase et Résonance d’amplitude

Régime permanent harmonique

x_o b

k

m

cos F ωt

En dB

2 2 2

20 1

(1 ) (2 )

H Log

r εr

= − +

0

r → ^_log^{H →}_{r → −∞}⁰



r → ∞ ^{40 log}

log

H r

r

→ −



 → ∞

Régime permanent périodique

x_o b

k

m

( )

F t ^{∀ ∈t}

[ ]

Série de Fourier

1

( ) cos( ) sin( )

2

o

n n

n

f t a ^∞ a n tω b n tω

=

= +

∑

2

2

2

2

2 ( ) cos( )

2 ( ) sin( )

T

T

T

T

n

n

a f t n t dt

T

b f t n t dt

T

ω ω

−

−

 =



 =



∫

∫

2

n n n

T ω = ω = π

2 2

2 2

2

2 2

1 2

1 2

1

n

n

X F

kn r r

n n

tg r

n r

n

ε ϕ ε

 =

    

  −  + 

    



 =  

−

  

  



Réponse

Seul les premiers termes suffisent

Solution générale

x_o b

k

m

( )

F t Transformée de Laplace Variation des constantes Intégration numérique

( 0

( ) )

cos sin sin ( )

t

o o o

o

o

ot x x f t

x e x t t e t d

m

εω τ

εω εω τ ^{− −} τ τ

−  + 

=  Ω + Ω + Ω −

Ω Ω

 ^ɺ 

∫

Cas particuliers

Réponse indicielle

( )t

H

t

( ) 1 1 ^ot(cos ^o sin )

U t e t t

k

εω εω

 − 

=  − Ω + Ω Ω 

( )t

δ

ε t 1/ε

Réponse impulsionnelle ^{I t( ) 1 e ot sin t} m

εω

= − Ω

Ω

Solution générale

x_o b

k

m

( )

F t Transformée de Laplace Variation des constantes Intégration numérique

Décomposition de F

τ1 t

fo

( ) f t

τ2

0

( ) ( )

t df

x t U t d

d τ τ

= ∫ τ −

Formule de Duhamel

t fo

( ) f t

τ

∆ 0 0

( ) ( ) ( ) ( ) sin ( )

t o t

o

e t

x t f I t d f e t d

m

εω εω τ

τ τ τ ⁻ τ τ τ

= − = Ω −

∫ Ω ∫

Formule de Vaschy

Les résultats théoriques de ce chapitre sont fondamentaux

Pour l’étude des vibrations

g

x_o

b

(S)

k

m

Traitons l’exemple d’une remorque V

qui passe une bosse à une vitesse V