c) Utilizzando i risultati del Teorema di R-C, discutere e risolvere il sistema lineare Ax = b, al variare del parametro α ∈ R, dove:

Prove di esame del corso di Metodi Matematici per l’Ec. e l’Az. 2

Esercizi di ALGEBRA LINEARE - parti B

1 - ESERCIZIO DEL 5 GIUGNO 2003 a) Enunciare il Teorema di Rouchè-Capelli.

b) Discutere l’applicazione del Teorema di Rouchè-Capelli al caso di SL omo- genei.

c) Utilizzando i risultati del Teorema di R-C, discutere e risolvere il sistema lineare Ax = b, al variare del parametro α ∈ R, dove:

A =

· 1 2 2 3

¸ , b =

· 1 α

¸

SOLUZIONE

c) Utilizzando i risultati del Teorema di R-C, discutere e risolvere il sistema lineare Ax = b, al variare del parametro α ∈ R, dove:

A =

· 1 2 2 3

¸ , b =

· 1 α

¸

Si ha che r (A) = 2, poichè det (A) = −1 6= 0. Il r (A |b) non dipende dal valore di α ed è ancora pari a 2. Il sistema ammette un’unica soluzione data da:

x =

· −3 2 2 −1

¸ · 1 α

¸

=

· 2α − 3

−α + 2

¸ .

2 - ESERCIZIO DEL 28 GENNAIO 2003

Una società di rating ha costruito la seguente matrice di transizione tra diverse classi di rating:

AAA BBB CCC

AAA 8/10 2/10 1/10 BBB 2/10 7/10 2/10

CCC 0 1/10 7/10

Una banca possiede 100 obbligazioni corporate di rating AAA, 50 di rating BBB e 20 di rating CCC.

a) Determinare la composizione del portafoglio della banca tra un periodo.

b) Per ogni titolo che fa un salto di classe di rating più elevata la banca realizza un guadagno di 100E (se il salto è di due classi 130E), mentre per ogni titolo che viene retrocesso realizza una perdita di 80E. Determinare i profitti/perdite realizzate dalla banca dopo un periodo.

c) Determinare la composizione di lungo periodo del portafoglio clienti della banca.

SOLUZIONE

a) La composizione del portafoglio della banca tra un periodo è data da:

1 10



 8 2 1 2 7 2 0 1 7







 100

50 20



 =



 92 59 19





b) Occorre determinare per ciascuna classe di rating quanti rimangono e quanti passano di classe:

Passaggi di classe Profitti/Perdite AAA → BBB = 100 ∗ 10 ² = 20 -20*80E = -1600E

BBB → AAA = 50 ∗ 10 ² = 10 +10*100E=+1000E BBB → CCC = 50 ∗ 10 ¹ = 5 -5*80E=-400E CCC → BBB = 20 ∗ 10 ² = 4 +4*100E=+400E CCC → AAA = 20 ∗ 10 ¹ = 2 +2*130E=+260E e quindi i profitti/perdite realizzate dopo un periodo ammontano a:

−1600 + 1000 − 400 + 400 + 260 = −340.0E

c) La composizione di lungo periodo del portafoglio clienti della banca è ottenuta calcolando l’autovettore associato all’autovalore pari a 1. Per cui dobbiamo risolvere:



 1 10



 8 2 1 2 7 2 0 1 7



 − 1 ∗ I 3







 x ₁ x ₂ x ₃



 =



 0 0 0





per cui: 





 8 2 1 2 7 2 0 1 7



 − 10 ∗ I 3







 x ₁ x ₂ x ₃



 =



 0 0 0





e: 

 −2 2 1

2 −3 2

0 1 −3







 x ₁ x ₂ x ₃



 =



 0 0 0





Operando l’eliminazione gaussiana (R ₂ = R ₂ + R ₁ e successivamente R ₃ = R ₃ + R ₂ ), si ha: 

 −2 2 1 0

0 −1 3 0

0 1 −3 0



 →



 −2 2 1 0

0 −1 3 0

0 0 0 0





da cui:

x ₂ = 3x ₃ 2x ₁ − 2 (3x 3 ) − x 3 = 0 e quindi:

x ₁ = 7 2 x ₃ e gli autovettori associati a λ = 1 sono dati da:





7 2 t 3t t





e t è scelto imponendo la condizione di normalizzazione:

t = 100 + 50 + 20

7

2 + 3 + 1 = 170

15 2

= 340 15 = 68

3 e la distribuzione stazionaria è data da:

x =





7 2 68

3

3 ⁶⁸ ₃

68 3



 =





238 3

68

68 3



 =



 79. 333

68.0 22. 667



 .

3- ESERCIZIO DEL 10 GIUGNO 2002

Una società di ricerche di mercato ha stimato la seguente matrice di transizione P per descrivere il passaggio dei votanti da un gruppo politico (A, B) ad un altro:

P =

A B

A B

· 0, 9 0, 2 0, 1 0, 8

¸

Alle ultime elezioni la distribuzione dei votanti tra le tre coalizioni era stata:

x (0) = £ ₅₀

100 50 100

¤ T

a) Determinare quale partito raggiungerà una maggioranza relativa nelle prossime elezioni.

b) Scrivere l’equazione caratteristica per la matrice P e verificare che gli auto- valori sono:

λ ₁ = 1; λ ₂ = 0, 7

c) Determinare la distribuzione dei votanti nel lungo periodo.

SOLUZIONE

a) La distibuzione dei votanti dopo un periodo è ottenuta da:

x (1) = Px (0) =

· 0.9 0.2 0.1 0.8

¸ · ₁

2 1 2

¸

=

· 0.55 0.45

¸

e quindi il gruppo A avrà la maggioranza (assoluta) nelle prossime elezioni.

b) L’equazione caratteristica per la matrice P è data da:

det (P − λI) = det

· 0.9 − λ 0.2 0.1 0.8 − λ

¸

= λ ² − 1. 7λ + 0.7 = 0 che ha come soluzione λ ₁ = 1 e λ ₂ = 0.7, come richiesto.

c) Per determinare la distribuzione dei votanti nel lungo periodo si deve indi- viduare la distribuzione stazionaria cioè l’autovettore con somma delle componenti pari a 1 (100%) associato all’autovalore λ = 1. Si deve quindi risolvere:

Px =1x da cui (P − I) x = 0, cioè:

· −0.1 0.2 0.1 −0.2

¸ · x ₁ x ₂

¸

=

· 0 0

¸

da cui gli infiniti autovettori sono dati da:

x =t

· 2 1

¸

, t ∈ R/{0}

La distribuzione stazionaria è ottenuta in modo che la somma delle componenti sia pari a 1, cioè:

t (2 + 1) = 1 da cui t = 1/3 e

x (∞) =

· ₂

3 1 3

¸

e la coalizione A sarà maggioritaria nel lungo periodo con il 66% dei consensi.

4 - ESERCIZIO DEL20 FEBBRAIO 2003

• Si discuta al variare del parametro reale k e si risolva il sistema lineare omo- geneo Ax = 0 dove

A =



 1 0 −1 1 −1 −4

2 1 k





• Determinare l’equazione caratteristica e verificare che per i valori di k per cui la matrice A non ha rango pieno, allora λ = 0 è un autovalore.

• Determinare gli autovettori associati a λ = 0.

SOLUZIONE

• La riduzione di A porta alla matrice





1 0 −1

0 −1 −3

0 0 1 − k





perciò, se k 6= 1 si ha r(A) = 3 ed il sistema ammette la sola soluzione nulla.

Se invece k = 1 si ha r(A) = 2 per cui le soluzioni sono ∞ ¹ ed esattamente

S =

 

 x ∈ R ³ : x =



 x ₃

−3x 3

x ₃





 



• Nel caso di k = 1, la matrice diviene:





1 0 −1

0 −1 −3

0 0 0





e l’equazione caratteristica è data da λ ³ − λ = 0, da cui è immediato che λ = 0 è un autovalore.

• A questo autovalore corrispondono tutti gli autovettori multipli di



 1

−3 1



.

5 ESERCIZIO n. 1 DEL 27 OTTOBRE 2001

1) Siano A ∈ R ^m,n e V = {x ∈ R ⁿ : Ax = 0}. Dimostrare che V è uno spazio vettoriale.

2) Un gestore di fondi ha stimato la seguente matrice delle sensibilità di tre titoli rispetto a 2 fattori di rischio:

Fattore 1 Fattore 2

Titolo 1 1 -1

Titolo 2 -1 0

Titolo 3 1 1

La composizione attuale del portafoglio è descritta dal vettore n = £

1 1 1 ¤ T

e il prezzo dei tre titoli è dato dal seguente vettore: P = £

10 10 10 ¤ T

.

a) Verificare che la sensibilità del portafoglio ai due fattori di rischio è rispettivamente 1 e 0 e che il valore corrente del portafoglio è 30.

b) Dato che il gestore cerca di replicare un indice azionario che ha sensibilità al primo fattore pari a 1 e sensibilità al secondo pari a -1, scrivere il sistema lineare per determinare la nuova composizione.

c) Utilizzando il procedimento di eliminazione gaussiana, determinare quindi la com- posizione di portafoglio necessaria per replicare l’indice di mercato.

SOLUZIONE

V è sicuramente non vuoto e contiene il vettore nulllo di R ⁿ . Se qs. è l’unico elemento di V , V è uno s.v. banale di dimensione nulla. Nel caso il SL omogeneo ammetta inifnite soluzioni, siano x e y ∈ R ⁿ elementi di V . Quindi Ax=0 e Ay=0.

Per mostrare che V è uno spazio vettoriale verifichiamo le proprietà di chiusura rispetto alla somma e alla moltiplicazione per uno scalare:

a) chiusura rispetto alla somma: mostriamo che x+y ∈ V : A (x + y) = Ax + Ay

= 0 + 0

= 0

dove abbiamo utilizzato la proprietà distributiva rispetto alla somma e il fatto che x e y∈ V.

b) chiusura rispetto alla moltiplicazione per uno scalare: mostriamo che αx ∈V, ∀α ∈ R :

A(αx) = Aαx = αAx =α0 2.

a) La sensibilità del portafoglio rispetto ai fattori di rischio la determino mediante il prodotto:

S ^T n

dove S è la matrice delle sensibilità e n il vettore delle quantità dei titoli. Nel nostro caso:

S ^T n =

· 1 −1 1

−1 0 1

¸ 

 1 1 1



 =

· 1 0

¸

Quindi il vettore riga £ 1 0 ¤

rappresenta la sensibilità del portafoglio ai due fattori di rischio.

Se P e n sono vettori colonna che raccolgono rispettivamente i prezzi dei diversi titoli e le loro rispettive quantità, il valore corrente del portafoglio è ottenuto dal prodotto tra il vettore riga P ^T e il vettore n:

P ^T n = £

10 10 10 ¤ 

 1 1 1



 = 30

b) Il gestore, per replicare l’indice azionario, deve individuare una nuova com- posizione di portafoglio ^_ n che sia soluzione del seguente sistema lineare:

· S ^T P ^T

¸ _

n=



 1

−1 30





e cioè risolvere: 



1 −1 1

−1 0 1

10 10 10



 ^_ n=



 1

−1 30





c) Imposto il S.L. che risolvo mediante riduzione canonica:

¯ ¯

¯ ¯

¯ ¯

1 −1 1 1

−1 0 1 −1

10 10 10 30

¯ ¯

¯ ¯

¯ ¯

Con le operazioni R 2 = R 2 + R 1 , R 3 = R 1 /10 − R ¹ si ottiene:

¯ ¯

¯ ¯

¯ ¯

1 −1 1 1 0 −1 2 0

0 2 0 2

¯ ¯

¯ ¯

¯ ¯

da cui si deduce n ₂ = 1, e quindi n ₃ = n ₂ /2 = 1/2 e n ₁ = n ₂ − n 3 + 1 = 3/3. Quindi la nuova composizione deve essere:

£ ₃

2 1 ¹

2

¤ T

6 ESERCIZIO n. 2 DEL 27 OTTOBRE 2001

Una società di ricerche di mercato ha stimato la seguente matrice di transizione P per descrivere il passaggio dei clienti da un’azienda automobilistica ad un’altra :

P =

F O V

F O V



 

9

10 0 0

1 10 8

10 1 10

0 ₁₀ ² ₁₀ ⁹



 

1) Calcolare x (1) sapendo che dalle ultime ricerche di mercato la distribuzione per- centuale dei clienti tra le tre aziende è:

x (0) = £ ₂₀

100 60 100 20

100

¤ T

2) Scrivere l’equazione caratteristica per la matrice P e verificare che gli autovalori sono:

λ ₁ = 1; λ ₂ = 9

10 ; λ ₃ = 7 10 3) Determinare la distribuzione stazionaria del sistema.

4) Diagonalizzare la matrice di transizione, dato che gli autovettori associati a λ 2

sono:

x _λ

₂

= t ₂ £

−1 0 1 ¤ T

, t ₂ ∈ R\ {0}

e quelli associati a λ ₃ sono:

x λ

3

= t ₃ £

0 −1 1 ¤ T

, t ₃ ∈ R\ {0}

SOLUZIONE

a) La distribuzione percentuale dei clienti tra le tre aziende tra un periodo sarà:

x (1) = Px (0) =





9

10 0 0

1 10 8

10 1 10

0 ₁₀ ² ₁₀ ⁹









1 5 3 5 1 5



 =





9 50 13 25 3 10



 =



 0. 18 0. 52 0. 3





b) L’equazione caratteristica per la matrice P è

det (P − λI) = det





9

10 − λ 0 0

1

10 8

10 − λ 10 ¹

0 ₁₀ ² ₁₀ ⁹ − λ





= µ 9

10 − λ

¶ µ 7 10 − 17

10 λ + λ ²

¶

= 63 100 − 223

100 λ + 13

5 λ ² − λ ³ = 0

e per sostituzione si verifica che

λ ₁ = 1; λ ₂ = 9 10 ; λ ₃ = 7

10 sono autovalori. Per esempio per λ ₃ = ₁₀ ⁷ :

det µ

P − 7 10 I

¶

= µ 9

10 − 7 10

¶ Ã 7 10 − 17

10 7 10 +

µ 7 10

¶ 2 !

= 1

100 µ 2

10

¶

(70 − 17 ∗ 7 + 49)

= 1

100 µ 2

10

¶

(70 − 119 + 49) = 0cvd

c) La distribuzione stazionaria del sistema si ottiene individuando l’autovettore associato a λ = 1 con somma delle componenti pari a 1, cioè:

(P − I) x = 0

e quindi: 

 − 10 ¹ 0 0

1

10 − ₁₀ ² ₁₀ ¹ 0 ₁₀ ² − 10 ¹



 x = 0

e dalla prima e terza equazione si ottiene x ₁ = 0 e x ₂ = ¹ ₂ x ₃ e quindi gli autovettori associati a λ = 1 sono:

x _λ

₁

= t



 0

1 2

1



 , t ∈ R/ {0}

e t si sceglie in modo che:

t µ

0 + 1 2 + 1

¶

= 1− > t = 1

3 2

= 2 3 La distribuzione stazionaria è quindi:

x (∞) =



 0

1 3 2 3



 , t ∈ R/ {0}

d) La matrice è diagonalizzabile poichè ha autovalori distinti. Quindi si ha (scegliendo per comodità t = 2 per x _λ

₁

e t ₂ = 1 e t ₃ = 1per gli altri due autovalori):

X =



 0 −1 0

1 0 −1

2 1 1



 ; D =





1 0 0

0 ₁₀ ⁹ 0 0 0 ₁₀ ⁷





Con il procedimento di calcolo dell’inversa di Gauss-Jordan si ottiene:

X ⁻¹ =





1

3 1

3 1

3

−1 0 0

1 3 − ² 3 1

3





e quindi P è diagonalizzabile nella forma:

P =



 0 −1 0

1 0 −1

2 1 1









1 0 0

0 ⁹

10 0 0 0 ₁₀ ⁷









1 3

1 3

1

−1 0 3 0

1 3 − ² 3

1 3





Osservazione: Nel caso come matrice X si fosse scelta:=





0 −1 0

1

2 0 −1

1 1 1



 allora

X ⁻¹ =





2 3

2 3

2 3

−1 0 0

1 3 − ² 3 1

3





una variazione positiva dei tassi comporterà una variazione positiva del valore netto del portafoglio.

7 ESERCIZIO DEL 10 GENNAIO 2002

Un gestore ha stimato la seguente matrice delle sensibilità di due titoli rispetto ad un fattore di rischio:

F ₁

∆P ₁ 0.2

∆P ₂ -1

dove ∆P _i , i=1, 2, indica la variazione del prezzo del titolo i e F il fattore di rischio (quindi ∆P ₁ ' 0.2 ∗ F 1 e ∆P ₂ ' −1 ∗ F 1 ). La composizione attuale del portafoglio è data dal vettore n ^T = [10, 10]. I prezzi dei due titoli sono raccolti nel vettore

P ^T = [100, 100].

• Determinare il valore del portafoglio e la sua sensibilità al fattore di rischio.

Stabilire se un aumento in F ₁ comporta una variazione positiva o negativa nel valore del portafoglio.

• Il gestore intende costruire un portafoglio che replica un indice azionario di riferimento caratterizzato da una sensibilità pari a 0.1 al fattore di rischio.

Impostare il S.L. per determinare la nuova composizione del portafoglio.

• Se possibile, risolvere con Cramer, il S.L. del punto precedente.

SOLUZIONE

Un gestore ha stimato la seguente matrice delle sensibilità di due titoli rispetto

ad un fattore di rischio

F 1

∆P ₁ 0.2

∆P 2 -0.1

dove ∆P _i , i=1, 2, indica la variazione del prezzo del titolo i e F il fattore di rischio (quindi ∆P ₁ ' 0.2 ∗ F 1 e ∆P ₂ ' −0.1 ∗ F 1 ). La composizione attuale del portafoglio è data dal vettore n ^T = [10, 10]. I prezzi (in Euro) dei due titoli sono raccolti nel vettore P ^T = [100, 100].

• Il valore V del portafoglio e la sua sensibilità sono date da:

V = n ^T P = £

10 10 ¤ · 100 100

¸

= 2000

∆V = n ₁ ∆P ₁ + n ₂ ∆P ₂

' n 1 ∗ 0.2 ∗ F 1 + n ₂ ∗ (−1) ∗ F 1

= (n ₁ ∗ 0.2 − n 2 ∗ 1) ∗ F 1

= (10 ∗ 0.2 − 10 ∗ 1) ∗ F 1

= −8 ∗ F 1

La sensibilità del portafoglio è quindi pari a -8 . Di conseguenza un aumento nel valore di F ₁ determina una riduzione nel valore del portafoglio.

• Il SL che è soluzione del problema del gestore è dato da:

· 100 100 0.2 −1

¸ · ^_ n 1 _ n 2

¸

=

· 2000 0.1

¸

• Poichè il det

· 100 100 0.2 −1

¸

= −120 6= 0, , il sistema ammette un’unica soluzione

_ n, calcolabile con il metodo di Cramer e data da:

_ n 1 = det

· 2000 100 0.1 −1

¸

det

· 100 100 0.2 −1

¸ = −2010

−120 = 67 4 = 16. 75

_ n ₂ = det

· 100 2000 0.2 0.1

¸

det

· 100 100 0.2 −1

¸ = −390

−120 = 13 4 = 3. 25

8 - ESERCIZIO DEL 24 GIUGNO 2002

Un gestore di fondi ha stimato la seguente matrice delle sensibilità di tre titoli rispetto a 2 fattori di rischio:

Fattore 1 Fattore 2

Titolo 1 0,2 -0,5

Titolo 2 -2 0

Titolo 3 2 -1

La composizione attuale del portafoglio è descritta dal vettore n = £

1 1 1 ¤ T

e il prezzo dei tre titoli è dato dal seguente vettore: P = £

10 10 10 ¤ T

.

a) Determinare la sensibilità del portafoglio ai due fattori di rischio e il valore cor- rente del portafoglio.

b) Dato che il gestore cerca di replicare un indice azionario che ha sensibilità al primo fattore pari a 1 e sensibilità al secondo pari a -1, scrivere il sistema lineare per determinare la nuova composizione.

c) Utilizzando il procedimento di eliminazione gaussiana, determinare quindi la com- posizione di portafoglio necessaria per replicare l’indice di mercato.

SOLUZIONE

a) La sensibilità del portafoglio ai due fattori di rischio e il valore corrente del portafoglio si calcolano mediante i seguenti prodotti vettoriali:

Sens. P ort. =



 0.2 −0.5

−2 0

2 −1





T 

 1 1 1





=

· . 2 −2 2

−. 5 0 −1

¸ 

 1 1 1





=

· 0. 2

−1. 5

¸

V alore P ort. =



 10 10 10





T 

 1 1 1





= £

10 10 10 ¤ 

 1 1 1





= 30

Il sistema lineare che il gestore deve risolvere per replicare l’indice azionario è dato

da: 

 10 10 10

2

10 −2 2

− ¹ 2 0 −1







 n 1

n 2

n 3



 =



 30 1

−1





dove n _i , i = 1, 2, 3, sono le quantità da determinare dei tre titoli.

c) Partendo dalla seguente matrice completa,





10 10 10 30

2

10 −2 2 1

− ¹ 2 0 −1 −1





le operazioni necessarie per ricondursi alla forma canonica sono:

Passo 1:

R 1 = R 1 /10 da cui la matrice 



1 1 1 3

2

10 −2 2 1

− ¹ ₂ 0 −1 −1





Passo 2:

R ₁ = R ₁ /10 R 2 = −5

11 µ

R 2 − 2 10 R 1

¶

R ₃ = 2 µ

R ₃ + 1 2 R ₁

¶

da cui si ottiene la matrice:





1 1 1 3

0 1 − 11 ⁹ − 22 ⁴

0 1 −1 1





Passo 3:

R ₃ = − 11

2 (R ₃ − R 2 ) da cui la matrice in forma ridotta diviene:





1 1 1 3

0 1 − 11 ⁹ − 22 ⁴

0 0 1 − ²⁶ 4





Il rango della matrice dei coefficienti è pari a 3 ed uguale a quello della matrice completa. Si ha quindi un’unica soluzione. Procedendo a ritroso, la soluzione è quindi data da: 

 n ₁ n ₂ n ₃



 =



 15

− ¹¹ 2

− ¹³ 2



 =



 15

−5. 5

−6. 5





9 - ESERCIZIO n. 1 DEL 6 DICEMBRE 2002

Un gestore ha stimato la seguente matrice delle sensibilità di tre titoli rispetto ad un fattore di rischio

∆F 1

∆P ₁ 0.2

∆P 2 -1

∆P ₃ 0.5

dove ∆P _i , i=1, 2, 3, indica la variazione del prezzo del titolo i e ∆F quella del fattore di rischio.

a) Assegnata una composizione n = [n ₁ , n ₂ , n ₃ ] ^T , scrivere in termini di n ₁ , n ₂ e n ₃ la sensibilità di portafoglio. Dato che si intende immunizzare il portafoglio scrivere l’equazione che deve essere soddisfatta dal vettore n.

b) Dato che il vettore dei prezzi dei tre titoli è descritto dal vettore P = [15, 10, 5] ^T , il gestore decide di investire nel titolo 2 un ammontare di capitale doppio rispetto a quello complessivamente investito nel titolo 1 e nel titolo 3. Tenuto conto della condizione di immunizzazione del punto precedente, scrivere il sistema che deve essere soddisfatto dal vettore n. Quante soluzioni avrebbe questo sistema? Individ- uarle.

c) Date le infinite soluzioni del punto precedente, determinare l’ammontare di cui deve disporre il gestore dato che intende investire nel titolo 3 esattamente 150E.

SOLUZIONE

a) Data la composizione n = [n ₁ , n ₂ , n ₃ ] ^T , la sensibilità di portafoglio è data da:

β _π = 0.2n ₁ + (−1) n 2 + 0.5n ₃ e la condizione di immunizzazione è data da:

0.2n ₁ + (−1) n 2 + 0.5n ₃ = 0

b) L’equazione che descrive il vincolo sull’ammontare da investire nel titolo 2 è data da:

10n ₂ = 2 (15n ₁ + 5n ₃ ) Insieme all’equazione di cui al punto a si ha:

0.2n ₁ + (−1) n 2 + 0.5n ₃ = 0

−30n 1 + 10n ₂ − 10n 3 = 0 o in forma matriciale:

· 0.2 −1 0.5

−30 10 −10

¸ 

 n ₁ n ₂ n ₃



 =

· 0 0

¸

Possiamo studiare il sistema utilizzando le seguenti operazioni sulla matrice dei coefficienti:

· 0.2 −1 0.5

−30 10 −10 0 0

¸

R ₁ = R · ₁ /0.2; R ₂ = R ₂ / (−10) 1 −5 ⁵ 2

3 −1 1 0 0

¸

R ₂ = R · ₂ − 3R 1

1 −5 ⁵ 2

0 14 − ¹³ 2

0 0

¸

R ₂ = R ₂ / (14)

· 1 −5 ⁵ 2

0 1 − ¹³ 28

0 0

¸

Quindi r (A) = 2 ed essendo il sistema omogeneo le infinite ∞ ¹ soluzioni sarebbero:



 n ₁ n ₂ n ₃



 =





5 ¹³ ₂₈ t − ⁵ 2 t

13 28 t

t



 = t



 − 28 ⁵ 13 28

1





c) Se il gestore intende investire nel titolo 3 esattamente 150E, allora:

n ₃ P ₃ = 150 da cui:

t5 = 150 cioè:

t = 150 5 = 30

Di conseguenza la composizione desiderata di portafoglio è data da:

n =



 n ₁ n ₂ n ₃



 = 30



 − 28 ⁵ 13 28

1



 =



 − ⁷⁵ 14 195 14

30



 =



 −5.357 1 13.929

30.0





e il capitale di cui il gestore deve disporre ammonta a:

n ^T P = £

− ⁷⁵ 14 195

14 30 ¤



 15 10 5



 = 2925

14 = 208.93E 10 - ESERCIZIO n. 2 DEL 6 DICEMBRE 2002

Una società di ricerche di mercato ha stimato la seguente matrice di transizione P per descrivere il passaggio dei clienti tra tre diverse aziende (A, B e C):

P =

A B C

A B C



 

8

10 0 0

2 10 8

10 1 10

0 ₁₀ ² ₁₀ ⁹



 

1) Scrivere l’equazione caratteristica per la matrice P e verificare che gli autovalori sono:

λ ₁ = 1; λ ₂ = 4 5 ; λ ₃ = 7

10 2) Dato che

x (0) = £

20 60 20 ¤ T

determinare la distribuzione stazionaria del sistema.

3) La dinamica da un periodo all’altro sarebbe data da x (t) = Px (t − 1).

Come si modificherebbe questa equazione se ogni periodo entrassero 3 nuovi clienti nell’azienda A, 2 in quella B e nessuno nella C?

SOLUZIONE

1) L’equazione caratteristica per la matrice P è data da:

det (P − λI) = det





8

10 − λ 0 0

2 10

8 10 − λ 10 ¹

0 ₁₀ ² ₁₀ ⁹ − λ





= −λ ³ + 5 2 λ ² − 103

50 λ + 14 25

= 2.5λ ² − 2.06λ − 1.0λ ³ + 0.56 = 0

Per sostituzione nell’equazione caratteristica si verifica che gli autovalori sono dati da:

λ ₁ = 1; λ ₂ = 4 5 ; λ ₃ = 7

10

λ 1 = 1 : − (1) ³ + 5

2 (1) ² − 103 50 (1) + 14

25 = 0 λ ₂ = 4

5 : − µ 4

5

¶ 3

+ 5 2

µ 4 5

¶ 2

− 103 50

µ 4 5

¶ + 14

25 = 0 λ ₃ = 7

10 : − µ 7

10

¶ 3

+ 5 2

µ 7 10

¶ 2

− 103 50

µ 7 10

¶ + 14

25 = 0 2) La distribuzione stazionaria del sistema è l’autovettore associato a λ=1:



 − 10 ² 0 0

2 10 − 10 ²

1 10

0 ₁₀ ² − 10 ¹



 x = 0

da cui: 

 −2 0 0

2 −2 1

0 2 −1



 x = 0

Con l’operazione R ₂ = R ₂ + R ₁ si ottiene:



 −2 0 0

0 −2 1

0 2 −1



 x = 0

e quindi con R ₃ = R ₃ + R ₂ :



 −2 0 0

0 −2 1

0 0 0



 x = 0

Di conseguenza si ha:

−2x 1 = 0

−2x 2 + x ₃ = 0 cioè gli autovettori sono dati da:

x =



 0

t 2 t





Per individuare la distribuzione stazionaria del sistema si deve scegliere t in modo

che: t

2 + t = 40 + 40 + 20 cioè t = 200/3 e quindi:

x =



 0

100 200 3 3





3) Con l’ingresso di nuovi clienti si dovrebbe scrivere:

x (t) = Px (t − 1) + b dove

b =



 3 2 0





11 - ESERCIZIO DEL 10 GENNAIO 2002

Un gestore ha stimato la seguente matrice delle sensibilità di due titoli rispetto ad un fattore di rischio:

F 1

T itolo 1 0.2 T itolo 2 -0.1

dove ∆P _i , i=1, 2, indica la variazione del prezzo del titolo i e ∆F del fattore di rischio (quindi ∆P ₁ ' 0.2 ∗ ∆F 1 e ∆P ₂ ' −0.1 ∗ ∆F 1 ). La composizione attuale del portafoglio è data dal vettore n ^T = [10, 10]. I prezzi (in Euro) dei due titoli sono raccolti nel vettore P ^T = [100, 100].

• Determinare il valore del portafoglio e la sua sensibilità al fattore di rischio.

Stabilire se un aumento in F 1 comporta una variazione positiva o negativa nel valore del portafoglio.

• Il gestore intende costruire un portafoglio che replica un indice azionario di riferimento caratterizzato da una sensibilità pari a 0.1 al fattore di rischio.

Impostare il S.L. per determinare la nuova composizione del portafoglio.

• Se possibile, risolvere con Cramer, il S.L. del punto precedente.

SOLUZIONE

• Il valore V del portafoglio e la sua sensibilità sono date da:

V = n ^T P = £

10 10 ¤ · 100 100

¸

= 2000

∆V = n ₁ ∆P ₁ + n ₂ ∆P ₂

' n 1 ∗ 0.2 ∗ F 1 + n ₂ ∗ (−0.1) ∗ ∆F 1

= (n ₁ ∗ 0.2 − n 2 ∗ 0.1) ∗ ∆F 1

= (10 ∗ 0.2 − 10 ∗ 0.1) ∗ ∆F 1

= 1 ∗ ∆F 1

La sensibilità del portafoglio è quindi pari a 1 . Di conseguenza una vari- azione positiva del fattore di rischio, ∆F > 0, determina un aumento nel valore del portafoglio.

• Il SL che è soluzione del problema del gestore è dato da:

· 100 100 0.2 −0.1

¸ · _

n ₁

_ n ₂

¸

=

· 2000 0.1

¸

• Poichè il det

· 100 100 0.2 −0.1

¸

= −30.0 6= 0, , il sistema ammette un’unica soluzione ^_ n, calcolabile con il metodo di Cramer e data da:

_ n ₁ = det

· 2000 100 0.1 −0.1

¸

det

· 100 100 0.2 −0.1

¸ = −210.0

−30 = 7

_ n ₂ = det

· 100 2000 0.2 0.1

¸

det

· 100 100 0.2 −0.1

¸ = −390

−30 = 13

12 - ESERCIZIO DEL 16 SETTEMBRE 2003 a) Si consideri la matrice:

A =





1 −2 2

−1 2 1

0 0 −1





a) Calcolarne autovalori ed autovettori.

b) Determinare per quali valori di α il vettore v ^T = £

α − 1 α 1 ¤ è un au- tovettore di A;

c) Senza calcoli, giustificare perchè λ = 0 è un autovalore di A.

SOLUZIONE

a) L’equazione caratteristica di A è dato da:

λ ³ − 2λ ² − 3λ = 0 da cui:

λ ¡

λ ² − 2λ − 3 ¢

= 0

e le radici sono date da λ ₁ = 0, λ ₂ = −1 e λ 3 = 3. Gli autovettori sono per t ∈ R/0:

• λ 1 = 0 :

x _λ

₁

₌₀ = t



 2 1 0



 ;

• λ 2 = −1 :

x _λ

₂

₌₋₁ = t



 −2

−1 1



 ;

• λ 3 = 3 :

x _λ

₃

₌₃ = t



 1

−1 0



 ;

b) Se v è un autovettore di A, allora:





1 −2 2

−1 2 1

0 0 −1



 v = λv

da cui: 

 −α + 1 α + 2

−1



 − λ



 α − 1 α 1



 =



 0 0 0



 ,

cioé : 

 −α + λ (−α + 1) + 1 α − αλ + 2

−λ − 1



 =



 0 0 0





Il sistema può essere verificato solo se λ = −1 è un autovalore di A. Infatti qs.

condizione è verificata. Sostituendo quindi λ = 1, si ottiene:



 −1 + 1 2α + 2

0



 =



 0 0 0





e quindi α = −1.

c) Poichè det (A) = 0, la terza riga è somma delle prime due righe, allora A deve

ammettere un autovalore nullo.