al variare di α, β ∈ R.

Esercizio 1 Stabilire il carattere della serie P ∞ k=2

1

k

(log k)

al variare di α, β ∈ R.

Suggerimento: ricordare cosa succede per R +∞

2

1

x

(log x)

dx.

Esercizio 2 Stabilire se le seguenti serie numeriche sono convergenti e/o assoluta- mente convergenti:

• P ∞

k=0 (−1) ^k _k

+10000 ^k (C.);

• P ∞

k=0 (−1) ^{k k} _k

⁺¹ +8 (C.) ;

• P ∞ k=2

k

+1

k

+8 sin _{log k} ¹ (+∞);

• P ∞ k=2

k

+1 k

+8



sin _{log k} ¹  2

(A.C.);

• P ∞

k=0 sin(e ^k ) ^k _k

⁺¹ +8 (A.C.);

• P ∞ k=0

e ²

− 1

sin(3 ^−k ) (+∞);

• P ∞ k=0

k

4

2

+5

(A.C.);

• P ∞ k=1

 ₁

k − _6k ¹

− sin _k ¹  1/3

(A.C.);

• P ∞ k=1

 ₁

k − _6k ¹

− sin _k ¹  1/5

(+∞).

Legenda: A.C.= assolutamente convergente; C.= convergente, ma non assolutamen- te convergente; N.C.=non convergente; +∞=divergente a +∞.

Esercizio 3 Dire per quali valori del parametro x ∈ R le seguenti seguenti serie risultano convergenti:

• P ∞

k=0 cos(kπ) log(1 + _k ¹

) (x > 0) ;

• P ∞

k=1 [sin(e ^1/k − 1)] ^x (x > 1);

• P ∞ k=1

x

k+|x|

(−1 < x < 1) ;

• P ∞ k=0

2k+1 3

1+e

e

k

(x > log ¹ ₂ = − log 2);

• P ∞ k=1

1

k (tan x) ^k ({x ∈ R : ∃n ∈ Z t.c. − ^π ₄ + nπ ≤ x < ^π ₄ + nπ});

• P ∞

k=0 (sin 2 ^−k )(x ² +4x+1) ^k (−1 < x < √

5−2 oppure −2− √

5 < x < −3);

1

• P ∞ k=1

1

k

(e ^x − 2) ^k (0 ≤ x ≤ log 3) ;

• P ∞

k=0 arctan _{x 2} ¹

(x 6= 0) ;

• P ∞

k=1 (2 sin x−cos( ^x _k )) ({x ∈ R : ∃n ∈ Z t.c. x = ^π ₆ +2nπ o x = ^5π ₆ +2nπ});

• P ∞ k=1

√ k ^2x + 1 − k ^x (x > 1) ;

• P ∞ k=1

1

k (x ² − 2) ^k (1 ≤ x < √

3 oppure − √

3 < x ≤ −1) ;

• P ∞ k=1

1

k

(x ² − 2) ^k (1 ≤ x ≤ √

3 oppure − √

3 ≤ x ≤ −1) ;

• P ∞

k=1 [arctan x − ^π ₃ + _k ¹ − sin _k ¹ ] ^1/3 (nessun x) ;

• P ∞ k=1

 ₄

π arctan x − cos( ¹ _k )  1/2

(nessun x);

• P ∞ k=1

 ₄

π arctan x − _2k ^x

− cos( ¹ _k )  1/2

(x = 1);

• P ∞

k=1 (e ^x/k

− |x ² − 3|) (x ∈ {2, −2, √ 2, − √

2}) .

Si dica anche per quali x le serie proposte risultano assolutamente convergenti.

Esercizio 4 Sia F (x) := R x 0

1

1+t

dt; dimostrare che la serie

∞

X

k=0

[F (2k) − F (k)]

`

e convergente. (Suggerimento: usare il criterio del confronto e la disuguaglianza

1

1+t

≤ _t ¹

).

Esercizio 5 Disegnare i seguenti sottoinsiemi di R ² e individuarne parte interna, frontiera, chiusura e punti di accumulazione:

• {(x, y) ∈ R ² : x > 0, x + y ≥ 0};

• {(x, y) ∈ R ² : 3x + 2y ≥ 1, x ² + y ² = 2};

• {(x, y) ∈ R ² : y ≥ −2, ^x _y < 1};

• {(x, y) ∈ R ² : 2 ≤ x ² + y ² ≤ 3, x > 1};

• {(x, y) ∈ R ² : xy < 1};

• {(x, y) ∈ R ² : 0 ≤ xy < 1};

2

• {(x, y) ∈ R ² : ^x ₄

+ y ² ≤ 1, x ² + y ² ≥ 1}.

Esercizio 6 Per ciascuna delle seguenti funzioni si determini il dominio D e lo si disegni. Individuare poi parte interna, frontiera e punti di accumulazione di D:

1

sin(x + y) , 1

x − sin y , p

arctan(x ² + y), r e ^x − 1 e ^y − 1 , log



2 + x − y x + y

 .

Esercizio 7 Per ciascuna delle seguenti funzioni f : R ² → R, individuare il dominio D e dire se sono continue in D. Si determinino poi i punti di accumulazione di D; per ciascun punto di accumulazione (x ₀ , y ₀ ), calcolare (se esiste) lim _(x,y)→(x

_,y

₎ f (x, y).

• ^e _x

+y ⁻¹

;

• e ⁻

;

• ^e

_x

+y ⁻¹

;

• ^log(1+x _x

+y

^+y

⁾ ;

• ^sin(x

_x−1 ^−2x+1) ;

• ^x+y+1 _x+y−1 ;

• ^sin(x+y+1) _(x+y−1)

;

• ^sin(x _x

−4x+3

^−2x+1) ;

• _x

+2xy+2y ¹

.

Stessa cosa per quanto riguarda le funzioni dell’esercizio 6.

Esercizio 8

a) Dimostrare che se D ₁ , D ₂ ⊂ R ² sono insiemi aperti, allora anche D ₁ ∪ D ₂ e D 1 ∩ D 2 sono insiemi aperti.

b) Dimostrare che se D ₁ , D ₂ ⊂ R ² sono insiemi chiusi, allora anche D ₁ ∪ D ₂ e D ₁ ∩ D ₂ sono insiemi chiusi.

c) Dimostrare che le seguenti condizioni sono equivalenti:

(i) D ⊂ R ² ` e un insieme aperto;

(ii) per ogni successione (x _n , y _n ) _n∈N tale che lim _n→+∞ (x _n , y _n ) = (x ₀ , y ₀ ) con (x ₀ , y ₀ ) ∈ D, si ha che esiste N ∈ N tale che (x ⁿ , y n ) ∈ D per ogni n ≥ N .

d) Dimostrare che le seguenti condizioni sono equivalenti:

(i) D ⊂ R ² ` e un insieme chiuso;

(ii) per ogni successione (x _n , y _n ) _n∈N tale che (x _n , y _n ) ∈ D ∀n e lim _n→+∞ (x _n , y _n ) = (x ₀ , y ₀ ), si ha che (x ₀ , y ₀ ) ∈ D.

3